2.2.3一元二次不等式的解法学案Word版含解析2020年新人教B版

1、2.2.3 一元二次不等式的解法【教材分析】课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.【情境导学】我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一k二步（宽比长少12步），问阔及长各几步？”若将上述问题改为“阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），直田积（矩形面积）不小

2、于八 百六十四（平方步）"，你能求出阔和长的取值范围吗？【知识导学】知识点一元二次不等式的概念一般地，形如ax2+ bx+ c>0的不等式称为一元二次不等式,其中 a, b, c是常数，而且 至LQ.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”"1” y 等.【新知拓展】1 .代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解.当 m<n 时，若（x m）（x n）>0,则可得 x>n 或 x<m；若（xm）（x n）<0,则可得 m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间.2 .含有参数的一元二次型的不等式在解含有参

3、数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不 重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：关于不等式类型的讨论：二次项系数 a>0, a<0, a=0.关于不等式对应的方程根的讨论：两个不同的实根（20）,两个相同的实根（A= 0）,无实根（水0）.关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1 >x2, x1 = x2, x1<x2.【课堂自测】1 .判一判(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)x(x 2)>0 的解集为(0,2).()(2)(x+ a)(x+ a+ 1)<0(a是常数)是一元二次不等式.()(3)不论实数a取什么值，不等式

4、ax2+bx+ c>0的解集一定与相应方程ax2+ bx+ c=0的 解有关.()(4)设二次方程ax2+bx+ c=0的两解为xi, x2(xi<x2),则一元二次不等式 ax2+bx+ c>0的解集不可能为x|xi<x<x2.()答案 (1)X ，(4)X2 .做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式x22x+3>0的解集为.(2)不等式一x2-3x + 4>0的解集为.(3)已知不等式ax2- bx+ 2<0的解集为x1<x<2,贝U a+b=.答案 (1)R (2)x| 4<x<1 (3)4【典型例题】题型一

5、 不含参数的一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)2x2+7x+3>0; (2)x2-4x-5<0;811(3)-4x2+18x-841>0; (4)-2x2+3x-5>0;(5)-2x2+3x- 2<0.2x+ 1>0,解(1)方程可变为(2x+ 1)(x+3)>0,从而转化为两个不等式组x+3>0 或2x+1<0, x+3<0.1因此原不等式的解集为(8, - 3)U 2, + 00 .(2)原不等式可化为(x-5)(x+ 1)<0,因此原不等式的解集为1,5.(3)原不等式可化为2x 9200,所以原不等式的解

6、集为x x=9 .(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,即(x3)2+1<0,因此原不等式的解集为？.3 c 7(5)原不等式可化为2x23x+2>0,即2x4 2+8>0,因此原不等式的解集为 R.【典例分析】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0,使二次项系数为正.(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则用配方法求解.【跟踪训练】求下列不等式的解集：(1)3x2+5x2>0; (2)-9x2+6x-1<0;(3)x2-4x+ 5>0; (4)2x2+x+ 1<0.1解(1)原不等式可化为(3x1

7、)(x+ 2)>0,所以原不等式的解集为(8, -2)U 3, +00 .11(2)原不等式可化为(3x1)2>0,所以原不等式的解集为 一0°, 3 Ua+ 00 .(3)原不等式可化为(x-2)2+1>0,所以原不等式的解集为 R.(4)原不等式可化为2 x + ； 2+7<0,所以原不等式的解集为？. 48题型二 含参数的一元二次不等式的解法例2 求不等式ax2 (a+1)x+ 1<0(a R)的解集.解若a = 0,原不等式为x+1<0,解集为(1, +00)；若a<0,原不等式可化为x-1 (x-1)>0,解集为00, 1 U

8、(1, + oo); aa1若a>0,原不等式可化为 x- (x-1)<0, (*)a、，一，1一，、 一其解的情况应由1与1的大小关系决定，故 a当a=1时，由(*)式可得解集为？；当a>1时，由(*)式可得解集为! 1 ;a当0<a<1时，由(*)式可得解集为1, 1 .a1,综上所述，当a<0时，解集为一0°,=U(1, +oo);当a=0时，解集为(1, +oo)；当 a0<a<1时，解集为1, 1 ;当a= 1时，解集为？；当a>1时，解集为I,1 . aa【典例分析】解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系

9、数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)若二次项系数为定值，则按不含参数的步骤解，再根据参数的取值确定解集范围【跟踪训练】解关于x的不等式x2-(a+ a2)x+a3>0.解 原不等式可化为(x a)(x a2)>0.方程 x2(a+a2)x+a3= 0 的两根为 xi = a, x2 = a2由 a2a = a(a1)可知：当 a<0 或 a>1 时，a2>a.解原不等式得乂>22或乂<2,不等式的解集为( 8, a) u (a2, +oo).当0<a<1时，a2<a,解原

10、不等式得x>ax<a2,不等式的解集为(一°°, a2)U(a,十川.当a=0时，原不等式为x2>0,.xw0,不等式的解集为(一8, 0)U (0, +oo),(4)当a=l时，原不等式为(x 1)2>0,，xwl,不等式的解集为(一8, 1)U(1, +oo).综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为(°°, a)U(a2, +°°)；当0<a<1时，原不等式的解集为(8, a2)U(a,十川；当a = 0时，原不等式的解集为(j 0)U(0, +oo);当a=1时，原不等式的

11、解集为(一8, 1)U(1, +oo),【随堂测验】1在下列不等式中，解集是?的是()Ax23x5>0Bx2 4x 4>0Cx24x4<0D2 3x 2x2>0答案 D解析 A的解集为R; B的解集是(00, -2)U (-2, +oo)；方程x2 + 4x-4= 0的A= 42 + 4X4>0,故C的解集不为空集，用排除法应选 D.2.在R上定义运算。：aOb = ab+2a+b,则满足xO(x-2)<0的实数x的取值范围为 ()A (0,2)B ( 2,1)C. ( 8, - 2)U (1, +oo)D. (-1,2)答案 B解析vx©(x 2

12、)=x(x2)+2x + x 2<0, . X2 + X 2<0 即(x1)(x+ 2)<0,解集为(一2.1) . .选 B.3 .不等式一0.1x25x+3000>0的解集为()A. ( 8, 200)B. (150,+oo)C. (150,200)D. (-200,150)答案 D解析 原不等式可化为x2 + 50x 30000<0, (x150) (x+200)<0,所以不等式的解集为( 200,150).14 .若t>2,则关于x的不等式(xt) x , <0的解集为().11,A. p tB. (-00, t)U j, +oo-11C. -00, f U(t, +00)D. t, I答案 A111 .解析 vt>2,t>.(xt) x* <0 的解集为 p t .5.解不等式 1<x23x+1<9x.解由