2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3卷

1、一一 -一一一一 . 241、已知集合 |A 1,0,1,2, B x|x 1|,则|A B ()A | 1,0,1A. IB. Bj0,1C. C. 1,1D. D.|0,1,2答案：A解答：B x|x21 x| 1 xf,所以 |A B 1丽.2.若 |z(1 i) 了，则叵二|()A1 1 iB.riC1D.1答案:解答:z(1 i) 2i ,z2i2i(1 i)(1 i)(1 i)i(1 i)3.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90位，阅读过

2、红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.|0.5B.0.6C应dJ08答案：C解答：90 80 60 07100.41(1 2x2)(1 x)4的展开式中团的系数为()A.I12B.16D.124答案:解答: 由题意可知含 ©的项为1 C43 1 x3 2x2 C； 13 x 12x3 ,所以系数为E2.5 .已知各项均为正数的等比数列 小卜勺前4项和为 旧,且说 3a3 词,则L"| ()a. 16B.叵C.4D.回答案:C解答:设该等比数列的首项 同，公比回，由已知得,4c2,a

3、q3aiq 4a1、，-nZ123、 一因为40且q 0,则可解得q 2,又因为ai（1 q q q ） 151-一，一2 一即可斛付a11 ,则a3a1q4x _.6 .已知曲线y ae xlnx在点（1, ae）处的切线万程为 y 2x b ,则（）A. a e,b 1B.|ae|,|b 1-1,C.a e ,b 1D.a e 1, b 1答案:D解析:令 f (x) aex xlnx,贝 u f (x) aex In x 1f (1) ae 1 211aee得f (1) ae 2 b ,可得 |b1|.故选 d.7.函数y2x32x 2 x在6,6的图像大致为（）ABCDB解析f(x)为

4、ABCD的中心ECDABCD平面8.如图排除选项C.又ECD为正三角形，平面2x3y f (x)2x 2 x2 432 43f(4)242 42482( x)32x3f( x) 2 x 2x 2x 2x f(x)答案:且直线BM , EN是相交直线且直线BM , EN是相交直线且直线BM , EN是异面直线且直线BM , EN是异面直线解析: 连结BD，因为点N为正方形|ABCD|的中心,所以点 瓦为UD的中点，可知直线BM , EN是相交直线，设正方形BM, EN都是平面| BED|的直线,且不平行，即直线ABCD|的边长为明，则由题意可得:DE 2a, DM a, DN V2a, DB 2

5、72a ,根据余弦定理可得:BM2 DB2 DM 2 2DB DM cos BDE 9a2 42a2cos BDE ,EN2 DE2 DN2 2DE DN cos BDE 6a2 4V2a2 cos BDE,为10.01,则输出回的值等于（）答案:解析:six 1第一次循环:s , x2第二次循环:d 11s 1, x -22221111s2下,x23第三次循环:第四次循环:1111_23，x_42222s 1s 11111227.26,x27第七次循环:此时X成立，循环结束，可得输出的s 1 2 22 261226.故选C.10双曲线C：的右焦点为E,点回为©的一条渐近线的点，回

6、为坐标原点.的面积为（C:盛D:-222xy142解析:由双曲线的方程可得一条渐近线方程为y22xPFO| 中 | POPF叵做PH垂直OFI因为tan POF=' 2到；所以1 3- 3-2S PFO 6 224；故选A；ii.什若f(x)是定义域为回的偶函数，且在（0,）单调递减，则（A.13-"皿4）监2）监3）B.123f(log3 )f(2 3)f(2 2)4C.D.321f-W*)231f(23)f(22)f(l0g3，)答案:C解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)|单调递减,则函数在|(,0)|上单调递增;因为1f(lOg3 4)f( 34) f(lOg3

7、4)320 2 工 2 1 log 3 4 又因为32f(2 2)f(2 3).1f(lOg34);故选C.12.设函数f(x) sin x -0 ,已知f(x)在0,2 有且仅有5个零点，下述四5 个结论：T) f(x)在0,2有且仅有3k极大值点2)1 f(x)在0,2有且仅有2卜极小值点f(x)在0,单调递增1 104)口的取值围是其中所有正确结论的编号是C.答案:D解析:根据题意，画出草图，由图可知由题意可得,2X1,X2 ,所以24 八292一1229510,故对;,解得x 得 x523010，图像中凹轴右侧第一个最值点为最大值点，故 0对;2X| ,X2,f(x)在0,2 有团个或

8、个极小值点，故 R)错;1229510二.填空题rrrTi11492510 510013.已知a , b为单位向量，且a b 0 ,若c 2a71',贝U cos( a, c)答案:解析:r2 r 广2 r2r2y-r rc 2a J5b 4a 5b 445ab 9 ,7r r riT2 ira c a 2a ，5b 2a J5a b 2 ，Sio a2 3a1,贝U S514.记同为等差数列a的前回项和，若忖 0答案:口解析:设该等差数列的公差为回，a23ai，.二aid3a1，故d2ala10,d010 a1 a10§0 2 2 2a1 9d 2 10dS55 a1 a5

9、2a1 4d 5d22215.设同、同为椭圆c：36 2y0 1的两个焦点，M为回上一点且在第一象限，若MF1F2为等腰三角形，则M!的坐标为答案:(3, 15)解析:已知椭圆22- x y / 一，C: 1可知, 36 204,由M为同上一点且在第一象限，故等腰mf1f2MF1 F1F2 8MF2 2a MF1 4, sin F1F2M 82 22-15,yM MF2SinF1F2MVt522,代入C： y 1可得xM36 203.故M的坐标为（3,65）.16.学生到工厂劳动实践，利用同口打印技术制作模型。如图，该模型为长方体ABCD ABiCiDi归去四棱锥|O EFGH |后所得的几何

10、体,其中何为长方体的中心,E, F,G,H分别为所在棱的中点，|AB BC 6所,|AA 4面加 打印机所用原料3 密度为|0.9g/cm ,不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为 叵|.答案:118.8解答:三.解答题17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成AB两组,每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，包组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：甲高于残留百分比直方图乙高亍残留百分比直方图记C为事件“乙离子残留在体白百分比不低于

11、5.5”，根据直方图得到|P(C)|的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中叵可的值;(2)分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表).答案：见解析解答：(1)依题意得a 0.2 0.15 0.70.05 b 0.15 0.15 0.2 a 1,解得 0.15 2 0.2 3 0.3 4 0.2 5 0.1 6 0.05 7 4.050.05 3 0.1 4 0.15 5 0.35 6 0.2 7 0.15 8 6得到甲离子残留百分比的平均值为 4.05,乙离子残留百分比的平均值为6.18.| ABC的角|A, B C的对边分别为a,b, c.

12、已知asinA C bsinA2(1)求回(2)若I ABC为锐角三角形，且1c 1,求I ABC面积的取值围;答案:解答: AC(1)由题设及正弦te理得sin Asin - sinB sin A2：AC.因为 sin A 0 ,所以 sin sinB 2 ACB由 A B C 180，可得 sin=C cos 22田 B o . B B故 cos一 2sin cos一. B -B 1r-因为cos 0 ,故sin ,因此B 60222(2)由题设及(1)知ABC的面积acsin Asin(120 C)731sin Csin C2tanC2由正弦定理得由于 ABC为锐角三角形，故0 A 90

13、 ,0 c 90 ,由(1)知 A C 120 ,所以30 C 90 ,3 S 38 ABC 2因此,ABC面积的取值围是|(二二，二二)|.AB 1|,BE BF 2, FBC 60 .将其沿 |AB, 函折起使得HE与BFI重合,连结 函，如19.图1是由矩形|ADEB|, RtTBC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中图2.(1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且平面 ABC 平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B CG A的大小.答案:见解析 解析: 证明：(1) n四边形IADEBI为矩形,BE/ AD又四边形BFGC为菱形由题意知，|AB BC|, |AB BE I,又

14、| BC 平面|ABC|, 川面|ABC |平面|BCGE.AB平面BCGE ,又 AB(2)分别取BC,AC的中点为O,H ,连结OE,OH ,则|OH AB|,即有OH平面BCGE,四边形IbfgcI为棱形,FBC 60 ,OE BC又 AB平面BCGE,AB OE|,即 OE 平面IABCI,以点O为坐标原点，|OC,OH ,OE1分别为凶轴,四轴，国轴，如图建立空间直角坐标系,AB 1, BE 2A 1,1,0),B( 1Q0),C(1,0,0),G(2,0,，3)可得 AC (2, 1,0), CG (1,073)设平面ACG的一个法向量为n (x, y, z)n Ac02x y0n

15、 CG0x V3z0则 xJ3,y2J3 ,得到n (石，273,1),平面|BCG |的一个法向量为AB (0, 1,0),cos AB,nTAB n故二面角AB nB CG A的大小一6- -_3220.已知函数f(x) 2x ax b(1)讨论f (x)的单调性;(2)是否存在 叵目，使得|f(x)|在区间 回的最小值为 a且最大值为1?若存在，求出弱的所有值;若不存在，说明理由答案:见解析解析:,、_ 2_a(1)f '(x)6x2ax6x(x-)3当 |a 0| 时，f'(x) 6x2 0,此时 f(x)在()单调递增.当a 0时，令f'(x) 0 ,解得x

16、3或工3,令|f'(x) 0,解得0ax3此时叵在(,0),( 1,)单调递增，在|(0,-) |单调递减.当a 0时，令f'(x) 0 ,解得x 0或此时f (x)在(综上可得，当当a 0时,当a 0时,ax3na一,令 f'(x) 0,解得一x0.3,学,(0,)单调递增，在1(二,0)1单调递减.)单调递增.a 0时，f (x)在(f (x)依(,0),( I，)单调递增，在|(0，上)|单调递减.(,-),(0,)3f (x)在单调递增，在,0)|单调递减.(2)由(1)中结论可知，当a 0时,f(x)在0,1单调递增,此时 f(x)minf (0) b 1,f

17、(x)maxf (1) 2 a b 1 , a 0,b1 ,满足题意.当la 0|时,若I二1|,即匕，则f(x)在0,1单调递减,此时 f(X)min f (1) 2 a b 1,f(X)max f(0) b 1 ,，a 4,b 1 ,满足题意.若1|,即0 a 3,则f(x)在0,-a单调递减，在|二,1|单调递增.此时 f(X)min323_ aaa2 a bb 127927 f(0) b, f(1) b 2 a.当 0 a 2 时，f(x)max f(1) b 2 a 1由 可得a3j3,b 3J3 1 ,与|0 a 2|矛盾,故不成立.当2 a 3时，f(x)max f(0) b 1

18、由 可得a 3矛盾，故不成立.综上可知,a 0,b1或a 4,b 1满足题意.21.已知曲线C : y-x2 , DI为直线|y义上的动点.过D作©的两条切线，切点分别是La Lb,(1)证明：直线AB过定点；(2)若以|E(o,5)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点，求四边形CADBE的面积.答案: 见解析;解答:(1)当点回在(0,),设过©的直线方程为1y %x m ,与曲线同联立化简得22X 2k0X 1 0 ,由于直线与曲线相切，则有 4k0 4 0,解得心 1,11，.并求得同B坐标分别为(1,2),(1,2),所以直线画的万程为当点回横坐标不为

19、旧时，设直线 晅|的方程为ly kx m (|k0|),由已知可得直线AB不过坐标原点即|m 0|,联立直线 国方程与曲线©的方程可得,2一一一2一消弟化简得|x2 2kx 2m 0|，:有两个交点4k2 8m 0设A(x1，y1)，B(x2, y2),根据韦达定理有,x1 x2 2kx1x22m2由已知可得曲线©为抛物线等价于函数 f(x) 段 的图像, 则有f (x) x ,则抛物线在 A(x1，y1)上的切线方程为y y1 x(x x1),同理，抛物线在 B(x2, y2)上的切线方程为 y y x2(x x2),联立，并消去凶可得y y yy2x2x1人x2由已知可

20、得两条切线的交点在直线y 1上，则有22Xi22X2X2Xi/日(x1x21)(x2 x1)ntti 化间得，x2 x1 , . k 0, 1 x1x22x1x2'即21 ,即为 2m 1 1 ,解得m ，经检验m 1满足条件, 2x1x24m22所以直线祠的方程为y kx 1过定点卜0,g),综上所述，直线AB过定点卜0,1)得证.1(2)由(1)得直线AB的万程为y kx - 2当|k 0|时，即直线 画方程为y J ,此时点 的坐标为卜0, 1)1以|E(0,二)|为圆心的圆与直线中占I 八)12 3 3；2，11此时 Sadbe -AB ED2当匚0时，直线 画方程与曲线方程联立化简得x2 2kx 1 02X 又2 2k , xx21 , y y 2k 1则AB中点坐标为H(k,k2 -1)2,215k -由已知可得EHAB，即k kEH k 2- 1 k 0解得，k 1nn 1由对称性不妨取k 1 ,则直线方程为y x -2求得回的坐标为（1, ）, |AB| 4回到直线ABb巨离同到直线国距离-11 L则 SADBE 31ABi d1 31ABi d2 4V2综上所述，四边形|ADBE|的面积为3H14居.四.选做题（2选1）22.如图，在极坐标系 O中，|a（2q）i，B2q）,c（v2,3）,d（2