2020年中考数学冲刺——“圆”的突破(含答案)

1、2020年中考数学冲刺一一“圆”的突破1 .如图，P是直径AB上的一点，AB = 6, CP，AB交半圆 定于点C,以BC为直角边构造等腰 RtA BCD , / BCD =90° ,连接 OD .小明根据学习函数的经验，对线段AP, BC, OD的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AP, BC, OD的长度的几组值，如下表:M 1M 23456AP0.001.002.003.004.005.00BC6.005.484.904.243.462.45OD6.717.247.076.716.165.33在

2、AP, BC, OD的长度这三个量中确定AP 的长度是自变量，BC 的长度和 OD的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系 xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；一91 8 ,子,51J- Ht.-!.L . . . .13,.JVio .i 2 3 4 5 砂 l)«l!«Ml>(3)结合函数图象，推断：当 OD=2BC时，线段AP的长度约为 4.5P 0解：(1)由图表观察，可看出随着 AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确 定的值和其对应，所以 AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，故答案分别为：AP, BC, O

3、D;(2)如右图，可先描点，再画出如图所示图象;(3)由图象可推断：当 OD = 2BC时，线段AP的长度约为4.5,故答案为：4.5.1-J K 匚 T _/一口一|_431 一一 ar T 11)(11)112 .如图1,在平面直角坐标系中，。01与x轴相切于点A ( - 3, 0),与y轴相交于B、C两点，且BC=8,连接AB.(2)求AB的长；(3)如图2,经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点 M,与OB的延长线交于点N,求出BM -BN的值.(1)证明：如图1- 1,连接AO1，与x轴相切于点A, ./OAOi = 90 ,又/ AOB=90° , / OAO1+Z AOB

4、= 180 ° ,AOi / OB,Z ABO= Z OiAB,-OiA=OiB, Z OiAB = Z ABO1, ./ ABOi = / ABO;(2)解：如图1-2,过点Oi作OiHLBC于H,则 CH = BH =BC=4,.-.z 00 = 7 HOA = Z OAO1= 90 ,，四边形AOiHO是矩形，/. AO = AO = 3,在 RtAOiHB 中,OiB=01H2+BH2=5,'1 HO = OiA= OiB= 5,OB= HO - BH = 1,在 RtA AOB 中，AB=/ao2+bo£= V32+i£=Vic ；AB'

5、,(3)解：如图2,作点B关于x轴的对称点B',则点OB'=OB=1, ABBB'=2, / AB'O=Z ABO.由(1)知，/ ABO = Z ABOi, ./ ABOi = Z AB'O,i80° -/ABOi = i80° - Z AB'O,即/ ABN=Z AB'M,又丁病碗,/ AMB' = / N,AMB'AANB (AAS),MB'= NB,BM - BN = BM - B'M= BB'=2,BM - BN 的值为 2.图1-13.如图，以 ABC的BC边上一点O

6、为圆心的圆，经过 A、B两点，且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点，连接 AD交BC于F,若AC= FC .(1)求证：AC是。的切线；(2)若 BF =8, DF=74C，求 OO 的半径.(3)过点B作。的切线交CA的延长线于G,如果连接AE,将线段AC以直线AE为 对称轴作又称线段 AH,点H正好落在OO上，连接BH,求证：四边形 AHBG为菱形.(1)证明：如图1,连接OA, OD,则/ OAF = Z D, .D为BE的下半圆弧的中点，EDF,EOD = Z BOD = -X 180° =90° ,2 ./ OFD+Z D=90° , .CA=

7、CF,CAF=Z CFA=Z OFD , ./ CAF+ZZ OAF =90° ,即/ CAO= 90° ,.-.OA±CA, . AC是。O的切线；(2)如图1,设半径为r,贝U OF = BF-OB=8- r, .在 RtA OFD 中，OF2+OD2=DF2,(8- r) 2+r2= (5/4() 2,解得，ri=6,2=2 (舍去)，.。0的半径为6;(3)如图2,连接EH,由对称性可知 AC= AH, / CAE = / HAE ,又 AE= AE,CAEA HAE (SAS), ./ C=Z EHA,熊=3， ./ EHA=Z ABE, ./ C=Z

8、ABE, -0A= OB, ./ OAB=Z OBA, BE为。O的直径， ./ EAB = 90° ,OAB+Z OAE = 90° ,又 / CAE/ +ZOAE = 90° , ./ CAE=Z OAB, ./ C=Z OBA=ZZ OAB = Z CAE,.AC= AB,CAEA BAO (ASA),ae=ao = oe,AEO是等边三角形， ./ AEO=60° , ./ABE = 90° - Z AEO =30° , Z AHB=Z AEO = 60° , ./ ABG=90° - / ABE =60

9、° , . CA=AH, CA = AB,.AH= AB,又 AHB= 60° ,.ABH是等边三角形,，AB=BH = AH, . GB, GA是。的切线,，GB=GA,又/ ABG=60° , . ABG是等边三角形，.-.AB=BG = AG,.-.BH= AH = BG = AG, 四边形AHBG是菱形. .已知： ABC是。的内接三角形，AB为直径，AC = BC, D、E是。O上两点，连接AD、 DE、 AE.(1)如图 1,求证：/ AED-Z CAD=45° ；(2)如图2,若DELAB于点H,过点D作DGLAC于点G,过点E作EKXAD

10、于点K,交AC于点F,求证：AF=2DG；(3)如图3,在(2)的条件下，连接 DF、CD,若/ CDF = / GAD , DK = 3,求。O的半径.图1图2雷3(1)证明：如图1,连接CO, CE, . AB是直径，ACB=90° ,AC= BC, ./ B=Z CAB = 45 ° , ./ COA=2ZB=90° ,一口!-二.， ./ CAD = Z CED, ./ AED-Z CAD = Z AED-Z CED=Z AEC = Z COA=45° ,2即/ AED-Z CAD = 45° ;(2)如图2,连接CO并延长，交。于点N

11、,连接AN,过点E作EM，AC于M,则/ CAN = 90 ° ,. AC=BC, AO = BO,.-.CNXAB,二.AB垂直平分CN,.AN= AC, ./ NAB=Z CAB,.AB垂直平分DE,.AD= AE, ./ DAB = Z EAB, / NAB - / EAB=Z CAB - / DAB ,即/ GAD = / NAE, . / CAN=Z CME = 90° ,AN / EB, ./ NAE=Z MEA, ./ GAD = Z MEA,又. / G = /AME =90。，AD = EA,ADGA EAM (AAS), .AG= EM, AM = DG

12、 ,又 / MEF+/MFE =90° , / MFE + Z GAD = 90° , ./ MEF = Z GAD,又. / G = Z FME =90° ,ADGA EFM (ASA),DG = MF,.DG=AM, AF = AM + MF= 2DG ;(3) . / CDF = Z GAD, / FCD = / DCA, . FCDc/dA DCA, ./ CFD = Z CDA=Z CBA,. AC=BC, AB 为直径，.ABC为等腰直角三角形， ./ CFD = / CDA=/ CBA=45° ,.GFD为等腰直角三角形，设 GF = GD

13、 = a,贝U FD=a, AF = 2a,GD a 1 > =AG %才 . / FAK=/ DAG , /AKF = /G=90° ,AFKA ADG,FK DG 1 AK AG 丁在 RtAAFK 中，设 FK = x,则 AK= 3x, FK2+AK2= AF2,.x2+（3x） 2= （2a） 2,解得，x=1iL （取正值）， 5FK= ifl2a,5在 RtAFKD 中，FK2+DK2=FD2,，（乂里a） 2+32=（加a） 2, 5解得，a=色国（取正值）， 4：.gf= GD=AF=42 FCDA DCA,CD = !CCA CD'2_/.cd2=c

14、a?fc,CD2=CG2+GD2, 22CG +GD = CA?FC,设 FC = n,则（竺Ln） 2+（组）2=亚+n4'42解得，n=&g, 8,-.AC= AF+CF+ 288.AB=AC = 2§,G5.如图，在？ABCD 中，AB=4, BC= 8, / ABC = 60。.点 P 是边 BC 上一动点，作 PAB的外接圆。0交BD于E.(1)如图1 ,当PB = 3时，求PA的长以及OO的半径；(2)如图2,当/ APB=2/PBE时，求证：AE平分/ PAD;(3)当AE与4ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的。的半径.DBD解：（1）如图1,过点

15、A作BP的垂线，垂足为 H,作直径AM,连接MP,在 RtAABH 中，/ ABH = 60 ./ BAH = 30 ° ,BH = AB=2,2AH=AB?sin60° =2疾,h HP= BP - BH = 1,在 RtA AHP 中，ap=Vah'+hp£=. AB是直径， ./ APM= 90° ,在 RtAAMP 中，/ M=Z ABP = 60° ,AMAP sin60cOO的半径为亚9,3即PA的长为丘，OO的半径为(2)当/ APB=2/PBE 时，. / PBE=Z PAE, ./ APB = 2/ PAE,在平行四边

16、形 ABCD中，AD/BC, ./ APB=Z PAD,PAD=2Z PAE, ./ PAE=Z DAE , AE 平分/ PAD;(3)如图 31,当 AEXBD 时，/ AEB=90° , .AB是。O的直径, /. r= AB = 2 ；2如图3- 2,当AEXAD时，连接 OB, OE,延长 AE交BC于F, . AD / BC,AFXBC, BFEc/dA DAE,在 RtAABF 中，/ ABF= 60° ,AF-= AB?sin60° = 2正，BF=-AB=2,EF叵=冢序而 EF = 3.,5在 RtABFE 中,2 由+. Z BOE=2Z B

17、AE = 60 ° , OB=OE, . .OBE是等边三角形,当 AEAB 时，/ BAE=90° ,AE为。O的直径, ./ BPE = 90° ,如图3- 3,过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点 N,延开PE交AD于点Q,在 RtADCN 中，/ DCN = 60° , DC = 4,DN = DC?sin60° :2" CN = Acd=2, 2 .PQ= DN = 2R,设 QE = x,贝U PE= 2- x,在 RtAAEQ 中，/ QAE = Z BAD BAE= 30° ,AE=2QE = 2x, PE

18、/ DN , . BPEA BND ,.PE _ BP =,DN 5N- 2行 k_BPWTFBP= 10 .§iSx,3在 RtAABE 与 RtA BPE 中，ab2+ae2= bp2+pe2,16+4x2= ( 10 - _§Ix) 2+(2盛-x)解得，xi=6/(舍)，*2=衣，. AE=2 正，BE= Jab2+AE'=爪。(2«) £= 2祈，r=中,6.已知： ACD内接于OO, AC=AD,直径AB交弦CD于点H.(1)如图1,求证：ABXCD；(2)如图2,连接CO并延长交AD于点E,弦MN经过点E,交AC于点F,若MF =E

19、N,求证：AE=CF；(3)如图3,在(2)的条件下，点P为线段CH上一点，连接AP, PF, / FPC = / APD,AP交CE于点G,连接GH, GH = 7, EF = 25,求线段 OG的长.AS3图1(1)证明：如图1,连接CO, DO,则 CO = DO,又 AC = AD,AB垂直平分CD即 ABXCD；(2)如图2,连接OF,过点O作OQLMN于点Q, OR，AC于点R, OTAD于点T,- - - 1-1 则 MQ=NQ, CR=AC=AD=AT,乙乙 FM =EN,MQ - FM = NQ- EN,即 FQ = EQ , .OE= OF, . AC= AD, AH LC

20、D, ./ CAH = Z DAH , CH = DH ,.OT= OR,RtAEOTRtAFOR (HL), .ET=FR,AT+ET=CR+FR,即 AE=CF;(3)解：如图3, RtAEOTRtAFOR, ./ EOT=Z FOR,EOF = Z TOR,在四边形 AROT 中，/ RAT+/TOR= 360° -90° -90° =180° , ./ RAT+Z EOF= 180° ,又 / COF+Z EOF = 180° , ./ COF = Z RAT, .OE=OF, ./ OEF = Z OFE, ./ COF =

21、 Z OEF+ZOFE = 2ZOEF,又. / RAT=2/CAO, ./ OEF = Z CAO, .OA= OC, ./ OCA=Z OAC, ./ OEF = Z ACO,EF=CF = AE = 25,过点 C 作 CK / AD 交 AP 的延长线于点 K,则/ PCK=Z ADC , ZK=Z EAG , / GCK = /GEA, .AC= AD, ./ ACD = Z ADC ./ ACD = Z PCK,又,. CP=CP, Z CPF = Z APD = Z CPK,CPFA CPK (ASA),.CK= CF = AE,CGKA EGA (AAS), .CG=EG,DE

22、= 2GH= 14,. AC=AD, CF =AE,AF= DE= 14,AC= 25+14= 39,过点E作EWU AF于点 W,AW= FW=7, .CW= 25+7=32,在RtAAEW中，EW=必府=亚"P = 24， 在 Rt CEW 中，CE = W ' +C W ' = J. 4)+m 2 2 = 40， .CG = 20, .cos/ ECW=0 = £ = ±CE 40 5在 RtCOR 中，cosZOCR= ,A017.已知：四边形 ABCD内接于OO,连接AC, AB = AD(1)如图1,求证：CA平分/ BCD；(2)如图

23、2,连接BD交AC于点E,若BD为。直径，求证：tan/CAD = ；BE(3)如图3,在(2)的条件下，点F为BC中点，连接 AF并延长交。于G,若FG=2, tan/GAD =导，求 DE 的长3(1)证明：: AB = AD,熊=才， ./ ACB=Z ACD, CA 平分/ BCD;(2)证明：如图2,过点D作AC的平行线交BC延长线于Q,-a=a, ./ CAD = Z CBD,BD为直径,BCD= 90° , .tan/ CAD = tan/ CBD =边,BC DQ / AC，/Q=/ACB, /ACD=/CDQ,由(1)得/ ACB=Z ACD, ./ Q=Z CDQ

24、 , .CD = CQ, . CE/ DQ, .DE： EB=CQ： BC, 即 DE： EB=CD： CB,. .tan/ CAD =1； EB(3)如图3,过点D、B分另ij作DH ±AG于H, BN LAG于N,过O作OMAG于M, 4tan/ GAD =, 3 设 AH=3k, DH =4k, . / BAN+/NAD = 90° , Z NAD+ZADH =90° , ./ BAN=Z ADH ,又. / BNA=/ AHD = 90° , AB=AD,ADHA BAN (AAS),BN= AH = 3k, AN=DH=4k, DH / OM

25、/ BN,且 OB=OD, .MH = MN, NH = AN-AH = k, .OMXAG,MA = MG ,AH= NG = 3k, .FN=3k-2,连接CG,过点C作CP / AB,则/ABF = /PCF, /BAF = /P,又 BF = CF,.'.A ABFAPCF (AAS),FA= FP,灰=菽, ./ BAF = Z GCB ,GCF = Z P,. FCGA FPC,.-，cf2=fg?fp, CF= BF,即 BN2+FN2= FG?F7, (3k) 2+ ( 3k- 2) 2=2 (4k+3k-2),解得 k=1 或 k=& (丁 FN>0.舍

26、去)，9在 RtAAHD 中，AH = 3, DH = 4, -AD= Vah2+-dh'=5,.BD=MAB=5加，在 RtABCD 中，设 CD=x,则 BC=2x, x2+ (2x) 2= (5%) 2,x=a/k (取正值)，.-.BC=2BF= 2限,CD=斥1 HFtanZ CBD = ,2 EB. n匚 Rn -Ub = -oU =.338.如图 RtABC中，Z ABC =90° , P是斜边 AC上一个动点，以 BP为直径作。交BC 于点D,与AC的另一个交点E,连接DE.H图1图2（1）当金二柞时，若标=130° ,求/ C的度数；求证AB =

27、AP；（2）当 AB = 15, BC= 20 时是否存在点P,使得 BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；以D为端点过P作射线DH ,作点O关于DE的对称点Q恰好落在/ CPH内，则CP 的取值范围为 7V CPV 12.5 .（直接写出结果）(1)解：连接BE,如图1所示: BP是直径，BEC=90° ,v 班=130，DF= 50 ,- DF= EF BF= 1000 , ./ CBE=50° , / 0=40° ；证明：: DF= EF, ./ CBP=/ EBP,. Z ABE+Z A=90° , / C+/A=90°

28、; ,，/C=/ABE, . / APB = /CBP+/C, Z ABP=Z EBP+ZABE, ./ APB=Z ABP, . AP= AB；(2)解：由 AB=15, BC=20,由勾股定理得：AC = ABa+BC5 = V152+20S = 25，AB?B0=A0?BE,二>_L即15X20=-X 25X BE22BE= 12,连接DP,如图1 - 1所示: BP是直径， ./ PDB = 90° , . / ABC=90° ,PD / AB, . DCPc/3A BCA,.,CP =AC-CD 25CDBC20= 9CD， BDE是等腰三角形，分三种情况：

29、当 BD = BE 时，BD= BE= 12,.CD = BC-BD = 20- 12=8,.CP=CD = " 8=10;44当BD = ED时，可知点 D是RtCBE斜边的中线，.CD = AbC=10,2.CP=&D = " 10 =年；442当DE = BE时，作EHXBC,则H是BD中点，EH / AB,如图1 2所示:AE= VaB2-BE= 9，.-.CE= AC-AE=25-9=16, CH = BC- BH = 20- BH ,. EH / AB,CH=CE ，BH AE即20日口=四BH 9解得：bh = ,572BD= 2BH= ,579 QQ

30、.CD = BC-BD = 20-, 55.CP=CD = -X =7;八，25 ,综上所述， BDE是等腰三角形，符合条件的 CP的长为10或号或7；当点Q落在/ CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示:连接 OD、OQ、OE、QE、BE,由对称的性质得：DE垂直平分OQ,.OD=QD, OE=QE, -.OD=OE,.-.OD=OE=QD = QE,，四边形ODQE是菱形,PQ / OE,PB为直径，PDB = 90° ,PD± BC, . / ABC=90° ,ABXBC,PD / AB, .DE/ AB, .OB= OP,.OE为ABP中位线，PE=AE

31、=9,PC= AC - PE - AE=25- 9-9 = 7;当点Q落在/ CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示:连接 OD、OQ、OE、QD,同理得：四边形 ODQE是菱形， .OD /QE,连接DF, . / DBC= 90° ,DF是直径，.D、O、F三点共线，DF / AQ, ./ OFB = Z A, .OB= OF, ./ OFB = Z OBF = Z A, . PA= PB， . Z OBF+Z CBP=Z A+ZC=90° , ./ CBP=Z C,PB= PC= FA,PCAC= 12.5,2.-.7<CP<12.5,故答案为：7VCP

32、V12.5.9.已知： ABC内接于。O,连接CO并延长交 AB于点E,交。于点D,满足/ BEC =3/ ACD.(1)如图1,求证：AB = AC;(2)如图2,连接BD,点F为弧BD上一点，连接 CF ,弧CF=M BD ,过点A作AG±CD,垂足为点 G,求证：CF+DG=CG;(3)如图3,在(2)的条件下，点 H为AC上一点，分别连接 DH , OH , OH XDH ,过点C作CP± AC,交。O于点P, OH : CP=1: 优，CF=12,连接PF ,求PF的长.(1)证明：如图1中，连接 AD.设/ BEC = 3 a, Z ACD = a. / BEC

33、=/ BAC+Z ACD , ./ BAC=2 a, CD是直径, ./ DAC= 90° , ./ D=90° ./ B=Z D=90° a . /ACB=180° - Z BAC- Z ABC= 180° - 2a- (90° a) =90° ABC=Z ACB,AB= AC.(2)证明：如图2中，连接 AD,在CD上取一点Z,使得CZ=BD.n图2,宣=存，DB= CF, . / DBA=Z DCA, CZ=BD, AB = ACADBA AZC (SAS),.AD= AZ,AG± DZ, .DG=GZ, .

34、 CG = CZ+-GZ = BD+DG = CF + DG .(3)解：连接AD, RA,作OKAC于 e八1 图3 .CRXAC, ./ ACR=90° ,二.RA是直径, /ORXRC, OKXAC, .PR= RC, Z ORC = Z OKC = Z ACR = 四边形OKCR是矩形，RC= OK,K, ORPC于R, CTFP交FP的延长线于T.= 90° ,. OH : PC=1 : &,，可以假设 OH = Ja, PC = 2a,PR= RC=a,rc= OK=a, sinZOHK = -4 = V232 .Z OHK = 45° , .

35、OHXDH, ./ DHO = 90° ,，/DHA=180° -90° -45° =45° , . CD是直径， ./ DAC= 90° , ./ ADH = 90° - 45° =45° , ./ DHA = Z ADH ,.AD= AH, . / COP=/ AOD,AD= PC,.AH： AD = PC=2a,AK= AH + HK = 2a+a=3a,在 RAOK 中，匕n/OAK = =,，OA= >/aK2-K)K= a2+(3a ) £ = V!ca， /.sinZOAK=

36、 = ,AO 10 ' . /ADG+/DAG = 90° , Z ACD + Z ADG = 90° ,DAG = Z ACD,AO= CO, ./ OAK=Z ACO, ./ DAG = Z ACO = Z OAK ,.-.tanZ ACD = tanZ DAG =tanZ OAK = 4, 3 .AG=3DG, CG = 3AG,.-.CG = 9DG,由(2)可知，CG=DG+CF,DG+12= 9DG , .DG=旦，AG = 3DG = 3X旦=g,22 2AD = VdG2+AG2= J q产+碍)'= 2，.PC= AD =2. sin/ F

37、 = sin Z OAK ,.sin/ F = =近瓦FC 10CT = C X FC = X 12=, FT =10 典场PT= 510a/pc2-ct2-CT(-T-)(-5) io 5PF = FT PT=2g<ig_gVio=27Vw101010.如图，AB为。的直径，CD为。O的弦，ABCD于点H,点C为标的中点，AE分别交CD、CB于点F、G.(1)如图1,求证：标;而;(2)如图2,连接BD,若EG = AF,求证： BDC为等边三角形；(3)如图3,在(2)的条件下，连接 CO并延长交BD于点K,若CG= 1,求线段OK 的长.(1)连 AC,D点C是标的中点，菽=班 A

38、B 是。O 的直径，ABXCD, 定正(2) . AB 是直径，ABXCD,.CH = DH,. BC= BD, ./ CBD= 2ZCBA,连接CA、CE,图2- K= CE，/CAE = / CEA, AC=CE,又. AF= EG,CAFA CEG (SAS), .CF=CG, ./ CFG = Z CGF, ./ CGF = Z CBD, .AE/ BD, ./ D=Z CFG = Z CBD,.-.CD = CB=BD, . CBD为等边三角形.(3)由(2)知 CFG为等边三角形,.-.CF=CG=1, CBD为等边三角形，BHXCD,ZCBA=yZCBD = 30 , .OC=O

39、B, ./ OCB=Z OBC=30° , ./ COA= 2/CBA= 60° , ./ OCH = 30° , .COME,由(1)知 AF = CF=1, ZA=30° ,FH = A2 .CH = CF+FH = 1 +1=9，2 2设 OH=a, OC=2a,/呜/二产解得a=亚，2.OC=OB=然，. OK =返.211.已知，在 PAB中，PA=PB,经过A、B作。O.(1)如图1,连接PO,求证：PO平分/ APB;(2)如图2,点P在。O上，PA: AB=d元：2, E是。上一点，连接 AE、BE.求tan/ AEB的值；(3)如图3,

40、在(2)的条件下，AE经过圆心 O, AE交PB于点F,过F作FG，BE于(1)证明：连接OA, OB,则 OA=OB,又 PA= PB,PO垂直平分 AB, PO 平分/ APB;(2)解：延长 PO,交AB于H,过点A作AM± PB于M,由(1)知PH垂直平分AB, . PA： AB = 6： 2,. .设 AB=2,则 AP= BP = /, AH=BH = 1, 在 RtA PAH 中，ph = Jap27H2=3, Sapab=工AB?PH =工PB?AM ,222X3= a/JcXAM,：AM=-!-,5在 RtAPAM 中，pm = Vap2-am£=-M，m

41、登耍4. / AEB=Z APM , .tan/AEB =上;4(3)连接PO并延长，交 AB于点H,由(1)知，PH垂直平分AB,AE为直径，在 RtEFG 中，tan/FEG = ±, 4 设 FG=3x,贝U EG = 4x, EF=5x, EF+BG= 14,BG= 14- 5x,，/ABE = 90° =/AHP = /PHB,PH / EB, ./ HPB = Z GBF, . HPBc/dA GBF,FG _ BH _ 1 , i二一,BG PH 3. Wk _ 1一 14-5 工一可'解得，x= 1,.-.EF=5, BE=BG+EG= 9+4= 1

42、3, . AB=?BE =&， 44,AE=、ab2+b/ =号,.-.oe=-1ae=,28. 0F= OE-EF=- 5=,88：线段OF的长度为至.12.已知锐角三角形 ABC内接于GO (AB>AC), ADBC于点D, BEAC于点E, AD、AE交于点F.(1)如图1,若。O直径为10, AC=8,求BF的长；(2)如图2,连接 OA,若 OA=FA, AC=BF,求/ OAD的大小.图1图2图1解：(1)如图1中，作。O的直径CM,连接AM, BM., CM是直径， ./ CAM = Z CBM = 90° , . CM = 10, AC =8,AM =

43、VcM2-AC£ = 7102-32 = 6， .ADXCB, BEX AC, ./ADC = / MBC = 90° , / BEC=Z MAC = 90° ,AD / BM, AM / BE, 四边形AMBF是平行四边形，BF = AM = 6.(2)如图2中，作OO的直径CM,连接AM , BM,设AD交CM于J.图2由（1）可知四边形 AMBF是平行四边形,.AM=BF, AF = BMAC= BF,.AC= AM, . / MAC = 90° , MO = OC, AOXCM,AD± BC, ./ AOJ=Z CDJ = 90

44、6; , . / AJO=Z CJD , ./ DCJ = Z JAO,AF=OA, AF = BM,.OA= BM,.CM = 2BM,sin/ BCM =CM ./ BCM = 30° ,OAD = Z BCM = 30°13. AB是。O直径，点 C、D依次在圆周上，连接 AC、OC、OD ,且AC/OD .(1)如图1,求证：D为标的中点；(2)如图2,连接AD,交OC于点E, OD = 2CE,求证： AOC为等边三角形；(3)如图3,在(2)的条件下，点 P在。O外，PAXAB, PFLAC于点F,点G在AD上，AG=PF, H为BP的中点，连接 GH,若CF:

45、 GH= 加：/,AP = 8,求。O的半径长却 .OA= OC, ./ A=Z C, . OD /AC, ./ BOD = Z A, / DOC = Z C, ./ DOB = Z COD , - C£= BE-(2)证明：如图2中,.-.OD=2CE, OC=OD, . EC= OE, . OD /AC, ./ C=Z DOE, . / AEC=Z DEO,AECA DEO (ASA),AC= OD, ，OA=OC=OD,AC= OA=OC,AOC是等边三角形.(3)解：如图3中，连接PG,延长GH交BD的延长线于 M.设OA=OB=r.PAB图3 .AOC是等边三角形，EC=E

46、O, ./ EAC=Z EAO = 30 ° , AB是直径， ./ ADB = Z GDM = 90° ,BD=-1AB=r, AD=Mr, RAXAB, / CAO = 60° , ./ PAF = 90° - 60° = 30° , PFXAF,F=90° , / APF = 60° ,APF = Z PAG,PA= AP, PF = AG,APFAPAG (SAS),PG= AF=PA?cos30° =4.兀，PF =AG = ApA=4, /F=/PGA = 90° , 二,. CF:

47、 GH = J:布,可以假设 CF = Jk, GH = d，k, r+k= 4/,. / PGD = Z BDA = 90° ,PG / BM,. M = / PGH ,PH= HB, / PHG =/ BHM ,PHGA BHM (AAS),BM=PG=41, GH=HM=k,在 RtAGDM 中，则有(加r 4) 2+ (4/r) 2= Q/jk) 2由 消去k得到：r2-11/r+72 = 0,解得r = 3加或8后(舍弃)，.。的半径长为 3遂.14.在。中，AB为直径，点 P在AB的延长线上，PC与。相切于点C,点D为弧AC 上的点，且2ZDAB-Z P=90°

48、，连接 AD.(3)(1)如图1,求证：弧 AD = M BC；(2)如图 2, PC=6, PB= 2/，求/ ADC 度数；(3)如图3,在(2)的条件下，F为AB下方OO上一点./ ACF =60° , L为OF中点，LKLAL于L,交CF于点K,连接AK,求AK的长.(1)证明：如图1中，连接OD, OC.(1).PC是。0的切线，.OCXPC, ./ PCO= 90 , ./ P+Z POC=90 , .OA= OD, ./ DAB = Z ADO,2/DAB - Z P= 90180 - Z AOD - ( 90° - Z POC) = 90 , ./ AOD

49、= Z POC, - AE= BC-(2)解：如图2中，连接OC, BC.AB是直径，PC是切线,Z ACB=Z PCB,-.OA= OC, ./ OAC=Z OCA, ./ PCB=Z %C, / p=z P, PC = PB -）PA PCPC2= PB7RA,泰=6优，.,AB=PA- PB=4心.OC=OB=OA=2正，.tan/ COB =旦工 JI, OC Y J ./ COB= 60° , .OC=OB, . OBC是等边三角形， ./ ABC=60° ,，/ADC=180° - Z ABC = 120°(3)解：如图 3中，作LH ±AB于H ,设KL交AP于N. CF交AB于M . ./AFC=180° -/ADC =60° , /ACF = 60° , . ACF是等边三角形，由（1）可知，AC = AF = CF=6, /CAP = 30。， . / CAF = 60 ° , ./ CAN=Z FAN = 30° ,ANXCF,.CN= NF = 4aC=3,I-1OL = LF =,在 RtOHL 中，/ OHL =90° , Z HOL =