随机参数板梁组合结构有限元分析的随机因子法

1、收稿日期:2004 04 20基金项目:陕西省自然科学基金资助项目(D7010418作者简介:梁震涛(1979 , 男, 西安电子科技大学博士研究生.随机参数板梁组合结构有限元分析的随机因子法梁震涛, 陈建军, 马洪波(西安电子科技大学机电工程学院, 陕西西安 710071摘要:以随机物理参数板梁组合结构为对象, 研究了其在随机力作用下的有限元分析方法. 利用随机因子法, 建立了结构的弹性模量和外载荷同时具有随机性时结构的有限元方程; 利用代数综合法推导出结构位移和应力响应的均值、方差的计算表达式. 通过算例, 分析了结构物理参数和外载荷的随机性对结构位移和应力响应的影响, 并验证了文中模型和

2、方法的合理性与可行性. 关键词:板梁组合结构; 随机物理参数; 随机因子法; 有限元分析中图分类号:TH114 文献标识码:A 文章编号:1001 2400(2005 02 0201 05Random factor method of finite element analysis forrandom plate beam composite structuresLIANG Zhen tao, C HE N Jian jun , MA Hong bo(School of Elecronic Mechanical Engineering, Xidian Univ. , Xi an 710071,

3、 ChinaAbstract: The fini te element analysis methods for plate beam composite structures with random physical parameters under the random loads acti on are studied. Based on the random factor method, considerin g the randomness of boththe elastic module of the structures and the applied load, the fi

4、nite element equations of the structures are built, and the computational expressions of the mean value and mean variance of the s tructural displacement response and stress response are developed by the algebra method. Through examples, the influences of the randomness of the structural physical pa

5、rameters and loads on the structural displacement and stress response are analyzed, and the rationali ty and feasibility of presen ted model and approach are validated. Key Words: plate beam composi te structures; random physical parameters; random factor method; fini te elementanalysis组合结构是工程中常见的一类

6、结构, 其结构分析是组合结构设计的重要环节. 文1, 2分别对板 桁组合和索 桁组合结构的分析进行了研究. 但所涉及的内容均属于确定性模型, 即将结构的全部参数和作用荷载均视为确定性量. 显然, 此类模型无法反映出组合结构中的随机因素对分析结果的影响.在结构工程中, 结构的物理参数、所受荷载的不确定性是客观存在的, 实际上在某些情况下, 结构本身的随机性是必须考虑的, 特别是在设计阶段. 目前, 关于随机参数结构分析问题已有一些研究成果, 如文3基于Kronecker 代数和摄动理论导出随机结构的有限元分析方法, 对向量值和矩阵值函数的不确定结构的静力响应和可靠性进行了研究. 文4采用区间分析

7、法来处理结构静力分析和设计中的不确定性问题. 文5讨论了把结构的形状参数考虑为随机变量时平面结构静响应统计特性分析的随机边界元法. 文6建立了基于单元的静力区间有限元法. 文7, 8分别利用随机有限元法研究了随机结构参数对结构响应的影响. 文9, 10对随机桁架结构的分析提出了随机因子法. 然而, 关于随机参数组合结构的分析问题研究迄今尚未有文献报道.笔者以随机物理参数板梁组合结构为对象, 研究了其在随机力作用下的有限元分析方法. 利用随机因子2005年4月第32卷 第2期西安电子科技大学学报(自然科学版 JOURNAL O F XIDIA N UNIVERSITYApr. 2005Vol.

8、32 No. 2法, 建立了结构的弹性模量和外载荷同时具有随机性时结构的有限元方程; 利用代数综合法推导出结构位移和应力响应的均值、方差的计算表达式.1 板梁组合结构有限元模型的建立板梁组合结构的形式多种多样, 具体形式如图1所示, 并考虑板梁组合结构为同一种材料 .图1 板梁组合结构示意图图2 矩形薄板单元各节点的位移1 1 板单元刚度矩阵的建立设所讨论的板为厚度远小于其长、宽尺寸的薄板, 采用4节点矩形板单元. 板单元的坐标系与总体坐标系完全一致. 在薄板弯曲问题中, 单元的每个节点有3个自由度:挠度w 、法线绕x 轴的转动 x 和绕y 轴的转动 y 见图2 , 即i =(w i , xi

9、 , yi T=w i , i, -iT , i =14 . (1单元的4个节点共有12个自由度, 取适当的形函数, 根据最小势能原理, 可求得板单元的刚度矩阵K e 为K e =030ab K 1K 4K 2-K 5-K 6K 3对K 7K 10K 11K 1K 10K 80K 4K 2称-K 110K 9K 5K 6K 3K 12-K 15K 16K 17-K 20K 21K 1K 15K 130K 20K 180-K 4K 2-K 160K 14K 210K 19K 5-K 6K 3K 17-K 20-K 21K 12-K 15-K 16K 7-K 10-K 11K 1K 20K 180

10、K 15K 130-K 10K 80-K 4K 2-K 21K 19K 16K 14K 11K 9-K 5K 6K ,(2其中D 0=Et 3/12(1- 2, E 为板的弹性模量, 为板的泊松比,K 1=21-6 +302a 2+302b 2 ,K 2=8b 2-8 b 2+40a 2 , K 3=8a 2-8 a 2+40b 2, K 4=3b +12 b +302b , K 5=3a +12 a +302a,K 6=30 ab ,202西安电子科技大学学报(自然科学版 第32卷K 7=-21+6 -302a 2+152b 2 ,K 8=-8b 2+8 b 2+20a 2 , K 9=-2

11、a 2+2 a 2+20b 2, K 10=-3b -12 b +152b ,K 11=3a -3 a +302a , K 12=21-6 -152a -152b ,K 13=2b 2-2 b 2+10a 2 , K 14=2a 2-2 a 2+10b 2 , K 15=-3b +3 b +152b ,K 16=-3a +3 a +152a ,K 17=-21+6 +152a 2-302b2 ,K 18=-2b 2+2 b 2+20a 2 , K 19=-8a 2+8 a 2+20b 2 , K 20=3b -3 b +302b ,K 21=-3a -12 a +152a.1 2 梁单元刚度矩

12、阵的建立对于梁单元, 取单元坐标系与总体坐标系完全一致, 考虑梁在XOZ 平面内的弯曲和绕X 轴的扭转(如图3所示. 将弯曲刚度与扭转刚度矩阵组合起来, 则得到6自由度空间梁单元的刚度矩阵为K(e=12EI /l 30-6EI /l 2-12EI /l 30-6EI /l 0G I p /l 00-G I p /l0-6EI /l 204EI /l 6EI /l 202EI /l -12EI /l306EI /l 212EI /l 306EI /l 20-GI p /l00GI p /l 0-6EI /l 22EI /l6EI /l 24EI /l, (3图3 梁单元各节点的位移其中G =E/

13、2(1+ , E 为梁单元的弹性模量, G 为梁单元的剪切弹性模量, I 为梁单元的截面惯性矩, I p 为梁单元的极惯性矩, l 为梁单元的长度.1 3 板梁组合结构总刚度矩阵各板单元和各梁单元的刚度矩阵组合成整体结构的总刚度矩阵时, 是按节点的顺序将公用节点在结构统一坐标下的刚度元素叠加而成. 这里讨论的各板单元和梁单元的坐标系与总体坐标系是完全一致的, 故无需坐标转换, 直接将各元素按节点顺序相加即可, 得到K =K(e+K e. (42 随机板梁组合结构的有限元分析现利用随机因子法, 对物理参数和所受的外载荷同时具有随机性的结构进行有限元分析. 注意到结构物理参数中泊松比 取值的分散程

14、度较小, 且其分散性对结构位移和应力的响应影响很弱11, 故如下分析中将 视为确定性量. 2 1 结构的位移响应结构有限元控制方程为 K =P ,(5式中 为结构的位移响应列向量, P 为外载荷列向量.ne 1ne 2, 由式( 203第2期 梁震涛等:随机参数板梁组合结构有限元分析的随机因子法K =ne1e=1K(e+n e2e=1K e=ne1e=1E K (e 1+n e2e=1EK e 1=En e1e=1K (e 1+ne2e=1K e 1 .(6这里将所有的随机变量均表示为一个随机因子与其确定性量的乘积, 其确定性量的值等于随机变量的均值, 随机因子的均值为1, 其变异系数等于随机

15、变量的变异系数(变异系数=均方差/均值. 即有E =! E ! E #, P =! P ! P #, 其中E #, P #分别为弹性模量E , 外载荷向量P 的确定量部分; ! E , ! P 分别为相应的随机变量因子. 由此可见, 当E 为随机变量时, K (e , K e , K 亦为随机变量.通过上述变换, 结构刚度矩阵可以表示为K =!E ne1e=1(K (e 1#+ne2e=1(K e 1#=! E K # , (7式中(K (e 1 #, (K e 1 #, K#分别为随机组合结构中梁单元、板单元和结构总体刚度矩阵中的确定性部分.现将式(7 和关系式P =! P ! P #代入有

16、限元方程式(5 中, 并从中解得结构的位移响应 为=(! P /! E (K # -1P # .(8由上式可知, 位移响应 亦为随机变量. 利用求解随机变量函数数字特征的代数综合法, 并注意到随机变量E 与P 之间的相互独立性, 可求得 的均值和均方差分别为=(1+v 2E #, (9 ! =(v 2E +v 2P 1/2 # , (10 其中符号v 表示随机变量的变异系数, #为确定性结构有限元分析求得的位移列阵, 即有#=(K # -1P # .(112 2 结构的应力响应当结构的位移响应求得之后, 根据有限元法中单元结点位移和单元应力之关系, 任一梁单元的应力响应可表为! (e =E B

17、 1 (e , e =1, 2, , ne 1 ,(12式中 (e 为梁单元的结点位移响应向量, B 1为梁单元的几何矩阵.利用求解随机变量函数数字特征的代数综合法, 可求得梁单元应力响应的均值和均方差分别为(e ! =B 1 E ( (e # , e =1, 2, , ne 1 , (13 ! (e ! =B 1 E ( (e #v p , e =1, 2, , ne 1 . (14 则任一板单元的应力响应可表为! e =E B 2 e, e =1, 2, , ne 2 ,(15式中 e为板单元的结点位移响应向量, B 2为板单元的几何矩阵.利用求解随机变量函数数字特征的代数综合法, 可求得

18、板单元应力响应的均值和均方差分别为e ! =B 2 E ( e # , e =1, 2, , ne 2 , (16 ! e ! =B 2 E ( e #v p , e =1, 2, , ne 2 . (17由式(14 和(17 可见, 弹性模量的随机性对结构应力响应的随机性无任何影响.3 算 例一悬臂板梁组合结构, 板的长、宽、厚度分别为200mm, 100mm, 4mm. 梁的长、宽、高分别为200mm, 6mm, 8mm. 将梁划分为5个单元, 板分别划分为5#5个单元. 板和梁均采用同一种材料, 其材料物理参数的均值为 E =210GPa, 变异系数v E =0 1, 板材料的泊松比为

19、=0 3. 在节点12处沿Z 轴的负方向施加均值为500N, 变异系数为v p =0 1的集中力. 为便于对比, 文中分别对确定性和随机性两类模型进行了有限元分析. 表1列出了部分计算结果, 它们分别是:12号节点在Z 方向的位移响应的均值和均方差、号梁单元在1号节点处X 方向正应力响应的均值和均方差, 以及21号板单元在37号节点处X 方向正应力响应的均值和204西安电子科技大学学报(自然科学版第32卷图4 板梁组合结构4 结 论确定性与随机性两种模型结构有限元分析的结果是有差异的. 从概率的观点看, 前者仅是后者中各随机变量的变异系数均为零的特例. 故当结构的弹性模量和外载荷具有随机性时,

20、 常规的确定性结构分析方法无法反映出结构的随机性, 而只能依赖基于概率的结构分析方法.%由表1的结果可知:材料弹性模量的随机性对结构应力响应的随机性无影响, 在分散性相同的情况下, 材料弹性模量的随机性与外载荷的随机性对结构位移响应的随机性产生的影响相同.&文中提出的基于概率的随机参数板梁组合结构静力分析的模型和求解方法是合理可行的, 且该方法较为简便, 能够反映某一参数的随机性对结构响应的影响.表1 结构的位移和应力响应的均值和均方差模 型12节点在Z 轴方向位移响应的均值和均方差号梁单元在1节点片X 方向正应力响应的均值和均方差21号板单元在37号节点处X 方向正应力响应的均值和均

21、方差均值 /m 均方差! /m均值 /MPa 均方差! /MPa均值 /MPa均方差! /MPa确定性模型v E =v P =0-0 00470164 81097 830随机性模型v E =0. 1, v P =0-0 00484 7263E-4164 81097 830随机性模型v E =0, v P =0. 1-0 00474 7263E-4164. 8116. 48197. 839. 783随机性模型v E =0. 1, v P =0. 1-0. 00486. 6840E-4164. 8116. 48197. 839. 783参考文献:1张凤鸣, 熊健民, 周金枝, 等 板桁组合结构分析的超级有限元法J 湖北工学院学报, 2000, 15(1 :21 23. 2聂建国, 陈必磊, 肖建春 力法在索 桁结构静力分析中的应用J 应用力学学报, 2003, 20(3 :111 119. 3张义民, 陈塑寰, 周振平, 等 静力分析的一般随机摄动法J 应用数学和力学, 1995, 16(8 :709 714. 4陈怀海 非确定结构系统区间分析的直接优化法J 南京航空航天大学学报, 1999, 31(2 :146 150. 5刘寒冰, 陈塑寰, 初日德 形状不确定性结构静力响应分析