线性方程组解的存在性PPT课件

1、 1、线性方程组解的存在性、线性方程组解的存在性对线性方程组对线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 方程组的方程组的系数矩阵系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 方程组的方程组的增广矩阵增广矩阵 11121121222212nnmmmnmaaabaaabAA baaab12mbbbb 其中其中 为为 维列向量，维列向量，m12nxxXx 记记 为未知元向量为未知元向量AXb 那么方程组可写成矩阵方式：那么方程组可写成矩阵方式：当当 时，称时，称 为齐次线性方程组。为齐次线性方程组

2、。0b 0AX 关于线性方程组关于线性方程组 能否有解，我们有下面的定理。能否有解，我们有下面的定理。 AXb 定理：线性方程组定理：线性方程组 有解的充分必要条件是增广矩有解的充分必要条件是增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，即：阵的秩与系数矩阵的秩相等，即：( )( )r Ar A AXb 推论推论 任何齐次线性方程组都有解。任何齐次线性方程组都有解。 由于，对齐次线性方程组由于，对齐次线性方程组 ，增广矩阵为，增广矩阵为显然有显然有0AX (0)AA ( )( )r Ar A 由于由于 与与 的关系：的关系： ，故对，故对 施行初等行变换，施行初等行变换，在求出在求出 的秩的同时，也就求出了

3、的秩的同时，也就求出了 的秩，从而可断定方程的秩，从而可断定方程组能否有解。组能否有解。 AA b AAAAA例例1 1 断定下面方程组当断定下面方程组当 为何值时有解？为何值时有解？ 12312312352241360 xxxaxxxxxx a解：解：51221411360aA 13600716101432a1360071610002a ()2r A 当当 时时 ，此时方程组有解，此时方程组有解()()2r Ar A 2a 定理：定理： 假设线性方程组假设线性方程组 有解，记有解，记( )( )r Ar ArAXb n 为未知元的个数，那么当为未知元的个数，那么当

4、时，线性方程组有独一解；时，线性方程组有独一解；rn 当当 时，线性方程组有无穷多个解，且解中包含时，线性方程组有无穷多个解，且解中包含 个自个自rn nr 由未知数由未知数 推论推论 对齐次线性方程组对齐次线性方程组 ，当，当 时，只需时，只需零解；当零解；当 时，有无穷多个解，因此必有非零解。时，有无穷多个解，因此必有非零解。0AX ( )r An ( )r An 如如12341234124202020 xxxxxxxxxxx 111211211102A 所以该方程组必有非零解所以该方程组必有非零解系数矩阵系数矩阵( )34r A 1231231232345426822xxxxxxxxx

5、例例判判断断线线性性方方程程组组、解解的的情情况况？解：解：123411542628A 21312rrrr 3212340120000( 20)rr ()()2r Ar A 所以方程组有无穷多解，并且有一个自在未知数所以方程组有无穷多解，并且有一个自在未知数123401200240 3n 而而(1)3 4A 例例3 3、设设为为矩矩阵阵，则则结结论论（）必必成成立立。0AAX 有有非非零零解解只只有有零零解解0 AXB有有无无穷穷多多解解bAXC 有唯一解有唯一解bAXD A答答案案：4n 解解：未未知知数数个个数数AB故故结结论论 成成立立， 不不成成立立。( )AXbr A 对对，的的情情况况不不确确定定，CD故故结结论论 、 不不成成立立。0()1 2 3AXr An 对对，可可能能为为 ， ， ，总总小小于于(2)5 30AAX 设设为为矩矩阵阵，则则（）。.A有有非非零零解解.B只只有有零零解解.C无无解解.D非非零零解解