1.2chapter向量与向量空间小结ppt课件

1、一、内容小结一、内容小结3. n维向量组维向量组 及相关概念及相关概念向量向量 代数代数 混合积混合积向量积向量积数量积数量积向量的表示法向量的表示法向量的线性运算向量的线性运算向量的概念向量的概念2. 空间解空间解 析几何析几何 投影及公垂线投影及公垂线平面直线的关系平面直线的关系距离距离直线方程的转化直线方程的转化平面及方程平面及方程直线及方程直线及方程 Schimidt 正交化方法正交化方法向量空间向量空间向量组秩与极大无关组向量组秩与极大无关组向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、内容小结一、内容小结向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混

2、合积向量的积向量的积向量概念向量概念1. 向量代数向量代数(1)(1)向量的概念向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、1) 加法：加法：cba (2)(2)向量的线性运算向量的线性运算dba ab2) 减法：减法：cba dba 3) 向量与数的乘法：向量与数的乘法：设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为 , 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0

3、 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,轴轴上上的的投投影影分分别别为为向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,(3)(3)向量的表示法向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,zzyyxxbabababa kbajbaibazzyyxx)()()( ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazz

4、yyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa )1coscoscos(222 )cos,cos,cos(0 a(4)(4)数量积点积、内积）数量积点积、内积） cos|baba 其中其中 为为a与与b的夹角的夹角 zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹

5、角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式.PrPr jj (5)(5)向量积叉积、外积）向量积叉积、外积） sin|bac 其中其中 为为a与与b的夹角的夹角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合右手系，指向符合右手系. 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ., 面积面积为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的为以为以 )(cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa (6)(6)混合积混合积., , )( 积积为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体向向量量它它的的绝绝对对值值表表示示

6、以以是是一一个个数数混混合合积积 . 0)(, 共共面面2. 空间解析几何空间解析几何平面平面点法式方程点法式方程一般方程一般方程三点方程三点方程截距式方程截距式方程平面束方程平面束方程直线直线一般方程一般方程参数方程参数方程两点方程两点方程对称式方程对称式方程(1) 直线及其方程直线及其方程pzznyymxx000: 对对称称式式方方程程)( :000为为参参数数参参数数方方程程tptzzntyymtxx 121121121:zzzzyyyyxxxx 两点方程两点方程 00:22221111DzCyBxADzCyBxA一一般般方方程程(2) 平面及其方程平面及其方程0)()()(:000 z

7、zCyyBxxA点点法法式式方方程程0: DCzByAx一一般般方方程程1: czbyax截截距距式式方方程程0 :131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx三点方程三点方程0)(:00:2222111122221111 DzCyBxADzCyBxADzCyBxADzCyBxAL 的平面束方程的平面束方程过直线过直线(3) 化空间直线的一般方程为标准方程化空间直线的一般方程为标准方程 00:22221111 DzCyBxADzCyBxAL),(0000zyxML上上取取一一定定点点在在21 s方方向向向向量量),(222111pnmCBACBAkji 由对称式方程可得

8、所求由对称式方程可得所求.(4) 间隔间隔:0:),(0000的的距距离离到到点点 DCzByAxzyxP .222000CBADCzByAxd :0021间的距离间的距离与与两平行平面两平行平面 DCzByAxDCzByAx.22212CBADDd :),(1110000的的距距离离到到点点pzznyymxxzyxM 01MMd),(pnm ),(1111zyxM, : 1111111pzznyymxxL 两异面直线两异面直线: :2222222间的距离间的距离pzznyymxxL 2121PrMMjd 212121)( MM.222111121212222111pnmpnmkjizyyxx

9、pnmpnm (5) 平面及直线间的位置关系平面及直线间的位置关系平面与平面平面与平面: , 0:11111 DzCyBxA , 0:22222 DzCyBxA 2222222121212121212121|cosCBACBACCBBAA 21 ;0212121 CCBBAA.212121CCBBAA 21/ 直线与直线直线与直线: ,:1111111pzznyymxxL ,:2222222pzznyymxxL 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 21LL , 0212121 ppnnmm,212121ppnnmm 21/ LL共面共面与与21L

10、L0222111121212 pnmpnmzzyyxx平面与直线平面与直线: ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx 222222|sinpnmCBACpBnAm L.pCnBmA . 0 CpBnAm /L0, 0000 DCzByAxCpBnAmL且且 知知与与L, 求交点求交点:,000 ptzzntyymtxx令令,0tDCzByAx得得代入代入 从而可得交点从而可得交点.(6) 投影及公垂线问题投影及公垂线问题点在直线或平面上的投影点在直线或平面上的投影. 点关于直线或平面的对称点点关于直线或平面的对称点. 直线在平面上的投影直线在平面上的投影. 两异面直线的公垂线

11、两异面直线的公垂线: ,:1111111pzznyymxxL ,:2222222pzznyymxxL ),(21pnm 0111111 pnmpnmzzyyxx0222222 pnmpnmzzyyxx3. n维向量组及相关概念维向量组及相关概念(1) 线性相关与线性无关线性相关与线性无关0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A结论结论1.1,)1(,2121个个向向量量线线性性表表示示余余至至少少有有一一个个向向量量可可由由其其中中线线

12、性性相相关关 mmmm 结论结论2., ,212121唯唯一一线线性性表表示示能能由由则则线线性性相相关关而而线线性性无无关关设设mmm 结论结论3 .,12121也也线线性性相相关关则则线线性性相相关关若若mrrr 结论结论4. 一个向量线性相关一个向量线性相关. 结论结论5. 两个向量线性相关两个向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例. 结论结论6. 含有零向量的向量组线性相关含有零向量的向量组线性相关. 结论结论7. , ,:,:2121srABABAsr 则则组组线线性性无无关关且且组组线线性性表表示示组组能能由由如如果果和和设设有有向向量量组组 结论结论8. ., ,:,:2121

13、线线性性相相关关则则向向量量组组且且组组线线性性表表示示组组能能由由如如果果和和设设有有向向量量组组AsrBABAsr 结论结论9. 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.结论结论10. nk个个n维向量必线性相关维向量必线性相关.(2) 向量组的秩与极大无关组向量组的秩与极大无关组 定义定义., ,)2( ,)1( ,21212121的的一一个个最最大大无无关关组组是是则则称称线线性性相相关关总总有有线线性性无无关关如如果果满满足足个个向向量量中中是是维维向向量量组组成成的的向向量量组组是是设设TTrTnTrrrr 结论结论1. 最大线性无关组不唯一最

14、大线性无关组不唯一. 结论结论2. 向量组与任一个最大线性无关组等价向量组与任一个最大线性无关组等价. 结论结论3. 向量组的任两个最大线性无关组等价向量组的任两个最大线性无关组等价. 结论结论4. 一个向量组中一个向量组中, 任意两个最大无关组所含向量任意两个最大无关组所含向量个数相同个数相同. 定义定义 向量组向量组T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组向量组T 的秩的秩. 记为记为rank(T).(3) 向量空间向量空间 定义定义 设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就

15、称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间nVVVV(4) Schimidt正交化方法正交化方法11 1112122),(),( 222321113133),(),(),(),( 11111111),(),(),(),( rrrrrrrr 二、题型及方法二、题型及方法1. 向量的运算及应用向量的运算及应用2. 求空间直线方程求空间直线方程3. 求平面方程求平面方程4. 求距离求距离5. 求投影求投影6. 讨论向量组的线性相关与线性无关讨论向量组的线性相关与线性无关7. 求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组8. 将线性无关向量组正交化单位化将线性无关向量组正

16、交化单位化1. 向量的运算及应用向量的运算及应用.,423| ),2, 2 , 1(),6 , 3, 2( . 1 PCAPBPCPCPBPAex求向量求向量平分平分且且已知向量已知向量Solution.,|的的平平分分线线上上一一定定在在APBPBPBPAPA |PBPBPAPAkPC从而可设从而可设)0( )4 , 5 , 1(21 kk,63423| kPC可可求求得得再再由由).12,15, 3( PC., , 2 . 2求求该该向向量量的的两两倍倍轴轴正正向向的的夹夹角角则则是是它它们们与与角角轴轴的的正正方方向向成成等等轴轴和和且且与与已已知知一一向向量量的的模模为为zyxexSo

17、lution.可设其单位向量为可设其单位向量为),2cos,cos,(cos , 12coscoscos222 则则, 02cos2cos2 即即.24: 或或解得解得得其单位向量为得其单位向量为:),0 ,22,22().1, 0 , 0( 或或故所求向量为故所求向量为:),0 , 2, 2().2, 0 , 0( 或或., 0 , . 3cacbbacbacbaex 计计算算适适合合等等式式已已知知单单位位向向量量Solution., 0)( 2 cba, 0)(2222 cacbbacba0)(23 cacbba.23 cacbba. | | . 4babaex 利用向量积证明利用向量积

18、证明Solution.ba 2)(ba baba 222 cos222baba baba 2222)(ba .ba ., 2| , 1|,2 . 5bababaBbaAex 且且其其中中设设 . 6,)2(.,)1(积积为为为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形面面与与使使得得的的值值试试确确定定使使得得的的值值试试确确定定BABA Solution., 0 , )1( BABA则则要要使使)()2(babaBA )(2(222baba 42 . 2 )()2()2(babaBA )()(2abba )(2(ba ba )2( )2(2 6 . 51 或或.)(5( ,)4(,Pr)3(),2(

19、)2)(2(),cos()1(:),2 , 1 , 1(),2, 2 , 1(),5 , 1, 3( . 6的的方方向向余余弦弦求求已已知知 jexSolution. ),cos()1(,6356 ),12, 4, 5(2)2( ),8 , 0 , 7(2 8071245)2()2( kji ),28,44,32( , 3Pr)3( j),5 , 1, 3(351)4( )7 ,11, 8(221513)5( kji 164912164 ,168cos ,1611cos .167cos Solution.设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos22

20、2 .21cos ,21cos ,22cos .),3 , 0 , 1(,43, 2,. 7212121的的坐坐标标求求的的坐坐标标为为如如果果和和分分别别为为轴轴的的夹夹角角轴轴和和它它与与已已知知设设有有向向量量PPyxPPPPex .32,3 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx, 1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 .,10)7, 2 , 1( ),3 , 2, 1(),1 , 3, 2( . 8 求求且且满满足足

21、垂垂直直于于已已知知 exMethod1. ),(则有则有设设zyx 032 zyx032 zyx1072 zyx解得解得(x,y,z)即为所求即为所求.Method2.:平行的向量为平行的向量为与与 )1, 5, 7(321132 kji )1 , 5 , 7( 从从而而可可设设得得由由10)7, 2 , 1( ,10107107)7, 2, 1( , 1 ).1 , 5 , 7( 2. 求空间直线方程与平面方程求空间直线方程与平面方程 .)1, 1 , 1(010: . 9的平面方程的平面方程和点和点求过求过 MzyxzyxLexSolution. 可设平面方程为可设平面方程为 0)1(

22、zyxzyx 0)1()1()1( zyx即即,23)1, 1 , 1( 代入得代入得将将. 015为为所所求求 zyx. , 0 ),1, 1 , 0()1 , 1 , 1(.1021求求其其方方程程且且垂垂直直于于和和过过点点设设平平面面 zyxMMex Solution.),1 , 1 , 1(),2, 0 , 1(121 MM)1 , 1 , 2(201111 211 kjiMM 由点法式得，由点法式得，0)1()1()1(2 zyx. 02 zyx即即也可用一般式方程来解也可用一般式方程来解. .,001)1 , 1, 1(, 0 .11求求此此平平面面方方程程的的垂垂线线到到直直线

23、线并并且且通通过过从从点点设设一一平平面面垂垂直直于于平平面面 xzyzexSolution.),1, 1, 0(001110 kji已已知知直直线线的的方方向向向向量量为为, 0)1()1()1(0)1 , 1, 1( zyx方方程程为为与与已已知知直直线线垂垂直直的的平平面面过过. 0 zy即即).21,21, 0( 从而得垂足为从而得垂足为Method1., 0 DCzByAx设设平平面面方方程程为为, 0 z由于该平面垂直于平面由于该平面垂直于平面. 0 C, 0 DByAx故故平平面面方方程程为为.,)21,21, 0()1 , 1, 1(可可得得所所求求在在平平面面上上与与由由 M

24、ethod2.所求平面的法向量为所求平面的法向量为),0 , 1 ,21(21211100 kjin, 0)1()1(21 yx故所求平面方程为故所求平面方程为. 012 yx即即 .010430142202)4 , 0 , 1( .12平平行行的的直直线线方方程程平平面面垂垂直直且且与与与与求求过过点点 zyxzyxzyxexSolution.),0 , 3, 6(221121 kji已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为),5 , 2 , 1(3143036 kjis所所求求直直线线的的方方向向向向量量为为故所求直线方程为故所求直线方程为:.54211 zyxex13 求求过过点点)3

25、, 1 , 2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程. Method1.先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyxMethod2.,312 pznymx 设直线方程为设直

26、线方程为由于与已知直线垂直相交得由于与已知直线垂直相交得, 023pnm0123303 pnm npnm42.431122 zyx直直线线方方程程为为 . 054320432: .14垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程求求过过原原点点与与已已知知直直线线 zyxzyxLexSolution.),1, 1, 1( 0 M在在已已知知直直线线上上取取定定点点为为),1, 2 , 1(432321 kji已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为,:pznymx 设设所所求求直直线线方方程程为为 011112102pnmpnm则则.,即可即可解得解得pnm3. 求距离与投影求距离与投影 . 1671

27、6: ;142111: .1521的的方方程程它它们们的的公公垂垂线线之之间间的的距距离离和和求求两两直直线线LzyxLzyxLex Solution.),1 , 2 , 1(1 ),4 ,11, 0(1 M),1 , 6, 1(2 ),0 , 7, 6(2 M)8, 0 , 8(16112121 kji 212121)( MMd. 2512880)8, 0 , 8(1611214186 公垂线方程为公垂线方程为: 0121808411zyx016180876 zyx.0113307 zyxzyx. 042362:)5 , 7 , 3( .16的的坐坐标标的的对对称称点点关关于于平平面面求求P

28、zyxPex Solution.:)5 , 7 , 3(垂垂直直的的直直线线方方程程为为与与平平面面过过 P356723 zyxt tztytx356723得得,74 t的的方方程程得得代代入入平平面面 ,QP在平面上的投影点坐标在平面上的投影点坐标从而点从而点).717,785,79(P 由由中中点点公公式式可可得得4. 讨论向量组的线性相关与线性无关讨论向量组的线性相关与线性无关 .2 ,2 ,)2( ;,)1( , .17232131133221321线线性性相相关关线线性性无无关关证证明明线线性性无无关关设设 exProof. 0)()()( )1(133322211 xxx设设 0)()()( 323212131 xxxxxx即即 ,321线线性性无无关关 则则 031