1.2chapter二次曲面ppt课件

1、教学要求：教学要求：1.了解常用二次曲面的方程及其图形了解常用二次曲面的方程及其图形; 2. 会用截痕法求曲面的交线会用截痕法求曲面的交线. .椭球面椭球面一一 .抛物面抛物面二二 .双曲面双曲面三三 .锥面锥面四四 .面面一般二次方程表示的曲一般二次方程表示的曲五五 二次曲面与截痕法二次曲面与截痕法二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面相应地平面被称为一次曲面相应地平面被称为一次曲面讨论二次曲面形状的截痕法：讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即截痕的

2、形状，然后相截，考察其交线即截痕的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面 .椭球面椭球面一一)0,( 1222222 cbaczbyax 1, 1, 1 )1(222222 czbyax由方程有由方程有 ,czbyax a,b,c 称为椭球面的半轴称为椭球面的半轴. (2) 用坐标面截得椭球面与三个坐标面的交线：用坐标面截得椭球面与三个坐标面的交线：ozyx,012222 zbyax,012222 yczax.012222 xczby(3) 用平行于坐标面的截面去截用平行于坐标面的截面去截 椭圆截面

3、的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1xyz椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况:,)1(ba 若若1 222222 czayax则则方方程程为为旋转椭球面旋转椭球面. 01 2222轴轴旋旋转转而而成成绕绕由由曲曲线线zyczax 旋转椭球面与椭球面的区别：旋转椭球面与椭球面的区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz 12122222)(

4、zzzccayx,)2(cba 若若 2222azyx 则则方方程程为为球面球面 .抛物面抛物面二二zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq1. 椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的顶点原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz )0(1 z 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 轴上轴上.1zz与平面与平面 不相交不相交.1zz )0

5、(1 z（2用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.xyzo0, 0 qp同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qpzxyo0, 0 qp)0( 2 ,22 ppzyxqp则则方方程程为为若若旋转抛物面旋转抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq2. 双曲抛物面马鞍面）双曲抛物面马鞍面）用

6、截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo xyz 常常用用 .双曲面双曲面三三1. 单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax 012222zbyax(1) 坐标面截坐标面截 )0( 截截面面 zxoy )0( 截截面面 xyoz 012222xczby )0( 截截面面 yzox 012222yczaxxyz(2) 平行于坐标面的截面截平行于坐标面的截面截 1221222211 ,zzczbyaxzz时时当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 轴上轴上.1zz 1221222211 ,yybyczaxyy时时双曲线的中心都在双曲线的中

7、心都在 轴上轴上.y,221by 当当x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,221by 当当z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,221by 当当 .,两相交直线两相交直线czax 1221222211 ,xxaxczbyxx时时双曲线的中心都在双曲线的中心都在y轴上轴上.,221ax 当当实轴与实轴与y 轴平行轴平行, 虚轴与虚轴与z 轴平行轴平行.,221ax 当当实轴与实轴与z 轴平行轴平行, 虚轴与虚轴与y 轴平行轴平行.,221ax 当当 .,两两相相交交直直线线czby 1 ,22222 czayxba则方程为则方程为若若旋转双曲面旋

8、转双曲面单叶双曲面方程还有单叶双曲面方程还有: 1222222 czbyax 1222222 czbyax2. 双叶双曲面双叶双曲面 1222222 czbyax双叶双曲面还有双叶双曲面还有1222222 czbyax1222222 czbyaxxyoz .锥面锥面四四0222222 czbyax顶点在原点顶点在原点, 对称轴为对称轴为 z 轴的锥面轴的锥面. xyzo0222222 czbyax0222222 czbyax .一般二次方程的化简一般二次方程的化简五五考虑二次方程考虑二次方程 0 222321231312233222211 czbybxbyzaxzaxyazayaxa矩阵表示形

9、式为矩阵表示形式为 0321332313232212131211 czyxbbbzyxaaaaaaaaazyx即即0 cBXAXXPYXA ,故一定存在正交变换故一定存在正交变换为对称矩阵为对称矩阵由于由于使使得得有有即即 , 111 zyxPzyx),(321 diagAPP 从而从而 0)( cBPYYAPPY0),(321 cBPYYdiagY 0131211213212211 czdydxdzyx 再经过配方再经过配方, 就能判断出原二次方程表示的曲面图形就能判断出原二次方程表示的曲面图形!. 026224433 . 1222 kzyxxzzyxex曲面曲面讨论下列方程所表示的讨论下列

10、方程所表示的Solution. , zyxX可设可设,302010203 A ,26224 B),1)(5)(1(302010203 AE. 1, 5, 1321 ,11时时当当 202020202AE 000010101 332310 xxxxx,1011 取取,101211 p单位化得单位化得,52时时当当 2020602025AE 000010101 332310 xxxxx,1012 取取,101212 p单位化得单位化得,13时时当当 402000204AE 000100001 003221xxxx,0103 取取,0103 p得得 0212110002121),(321pppP取正

11、交矩阵取正交矩阵,111 zyxYPYX其其中中作作正正交交变变换换原方程变形成原方程变形成: 2121215zyx , 0021211000212126224111 kzyx , 021025 111212121 kzyxzyx即即, 021025 111212121 kzyxzyx即即配方得配方得 ,5)1()1(5)1(212121kzyx ,111 121212 zzyyxx令令.55 222222kzyx 得得, 055 ,5222222 zyxk方方程程成成为为时时当当表示二次锥面表示二次锥面;, 15555,5222222 kzkykxk方方程程成成为为时时当当表示单叶双曲面表示

12、单叶双曲面;15555,5222222 kzkykxk方方程程成成为为时时当当表示双叶双曲面表示双叶双曲面. , 2332,. 2222下的标准方程下的标准方程新直角坐标系新直角坐标系并求此椭圆柱面在并求此椭圆柱面在的图形是一个椭圆柱面的图形是一个椭圆柱面使方程使方程的值的值确定确定zyxOaayzzyxaex , 3 aSolution. . 1)21()23(2222 zx.1),(, 266255),(. 3321323121232221321表表示示何何种种曲曲面面出出方方程程并并指指特特征征值值及及此此二二次次型型对对应应矩矩阵阵的的求求参参数数的的秩秩为为已已知知二二次次型型 xxxfcxxxxxxcxxxxxxfexSolution. , 3 c, 9, 4, 0321 .1为椭圆柱面为椭圆柱面 f.4),( ,),( ,422),(. 432132132232221321的的图图形形是是什什么么曲曲面面方方程程并并指指出出化化成成标标准准形形求求一一个个正正交交变变换换将将设设有有实实二二次次型型 xxxfxxxfxxxxxxxxfexSolut