速度势函数及流函数

1、1l1 、势函数存在的条件 l 无旋运动：无旋运动：l按照矢量运算，任何一个函数的梯度再取旋度必恒等于零，l负号表示流动和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值）l标量场的【梯度】( )是一个矢量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。2l无旋运动时无旋运动时，其速度矢 是可以由函数 的梯度来表示的，这个函数 就称为速度矢 的【（位）势函数（位）势函数】。l可见，用一个标量函数就把三维的速度矢都表示出来了，减少了未知量。3l取t 为一固定时刻，若有此时 的几何图像是一个空间曲面

2、，称为等势函数面【等位势面】。当取大小不同的常数值时，上式就是等势面族。可知：（可知：（1 ）速度矢与等势面垂直。）速度矢与等势面垂直。 （2 ）流动（或说速度矢）是从高位势）流动（或说速度矢）是从高位势流向低位势。（流向低位势。（3）等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此）等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此疏松的地方，速度值小。疏松的地方，速度值小。4()00dV d rV d r ()()ddxdydzxyzudxvdywdzV d r l散度：l势函数与速度分量：l 称为 三维拉普拉斯算符，则：l 是一个二阶偏微分方程 泊松方程（Poisson），由此可得到【势函数】

3、与【速度矢】之间的互求关系。5l【平面运动平面运动】需要满足下列两个条件： 在所有平行于某个A 面的平面上，流体质点的运动都是在该平面上进行的。 在A 面的垂线上，各物理量都相等。 l 若取A 面为XOY平面，z 轴垂直向上，以上两个条件就是：平面运动比一般的空间运动简单，具体说来速度只有二个方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函数。6l在大气中，常用 XOY 平面运动作为大气运动的一种近似模型，前提条件是：l研究的问题中XY方向的尺度 Z 方向的尺度，Z 方向的速度分量及物理量沿Z方向的变化比起其它方向小的多，可以近似认为Z 方向的速度分量为零，其它物理量沿Z方向的变化也为零。7l我们对

4、流函数的讨论是建立在二维运动我们对流函数的讨论是建立在二维运动 XOY，且运动无辐散。，且运动无辐散。即：l由无辐散条件 ，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函数写成 ， 的全微分为：8l（1.77）中 为二维矢量微商符l上面的就是流函数， （1.77 ）就是流函数与速度矢的关系。9l根据流线方程的求法，（* ）的流线方程为：l（1.75 ）可积的充要条件是无辐散，与（1.76 ）对比，发现是一样的。对（1.76 ）积分，得： l上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线，或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。10流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩

5、的，不论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困难。）引入流函数的优点：可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 流函数还可以用来表示流体体积通量。11l图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是l上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。12l即流函数的二维拉普拉斯运算等于流体涡度的垂直分量即流函数的二维拉普

6、拉斯运算等于流体涡度的垂直分量13l（1 ）速度矢的分解 l一般的二维流体运动，不一定无旋或无辐散，而是既有旋又有辐散，此时我们可以把一般的二维流体运动的速度矢分成两部分，一部分是有旋无辐散 ，另一部分是无旋有辐散 ，即有： 14l 称为无辐散涡旋流(流函数对应)l l 称为无旋辐散流(势函数对应)15l已知速度矢，如何得到速度的分解：l1）根据速度求出涡度和散度，即：l2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与涡度】的关系，如下：l这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数16l3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两个风速分量，即：17l满足以下条件的为【拉普拉斯流动】：两维平面运动（两维平面运动（u,v 不为零，不为零，w=0 ）理想流体（不考虑粘性，理想流体（不考虑粘性， 0 = ）无辐散流（无辐散流（D=0 ）；无旋流