巧求最值问题八种方法

1、巧求最值问题八种方法如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型.在数学竞賽中作为一个舰点大量存在，解 这类题有一定的难皮和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求置值问题的方法与 技巧。一、利用配方求眾值例1 :若x,y是实数，则x2- + y2-3x-3y + 1999的最小值是。分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。 原式=：丄(尤2 _2；o，+y2)+ 丄(兀2 _6x + 9) + 丄(y2 _ 6 + 9) + 1990= |(x-y)2 +|(x-3)2 +斗()，一 3)2 +1990厶厶厶显然有(x-y)?。，(x-

2、3) 2O,(y-3) 2 0,所以 当x-y=0, x-3=0, y-3 = 0时，得x=y=3时，代数式的值最小，最小是1990;例2,设x为实数，求y =卫一兀+丄一3的最小值。x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成, 因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x取值相同。由于y=x2 -2x + l+ x + -2-l = (x-l)2 +(Vx )2 -1，要求 y 的最小值，必须有 x 1 = 0, Xy/X且 != = 0,解得 x = 1,y/X. 1于是当x = 1时，y=fx + 3的最小值是7。X二、利用重要不等式求

3、最值例3:若xy=1,那么代数式 +的最小值是ox 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，1 1 1 2 / 1、21 1 1 一r + 7 ( ) + ( ) » 2- =；1x 4y2厂f 2)厂(xyY所以:7 + T-的最小值是1x 4y4*三、构造方程求最值例4：已知实数a. b> c满足：a+b+c = 2, a b c=4.求a、b > c中的最.大者的置小值.分析:此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。4 解：设c为最大者，由已知可知,c>0, 得：a+b二2-c, ab=_，則a. b

4、可以看作c>4?4对一(2 c)x + = 0的两根，因为a、b是实数，所以(2-c)2-4->0 ,即ccc3-4c2+4c-16>0, (c + 2)(c-2)(c-4)>0，得 c<2 或 c24,因为 c 是灵大者，所以 c的最小值是4.四、构造图形求黃值例5：使厶2+4 + 丁(8-羽2+16取最小值的实数x的值为分析：用一般方法很难求出代数式的罠值，由于y/x2+4 + J(8_x)?+16=J(x_O)2+(O_2)2 + J(x_8)2+(0_4)2 ,于是可构造图形，转化为：在x轴上求一点 c(x,0),使它到两点A(0, 2)和B (8, 4)

5、的距离和CA + CB置小，利用对称可求出C点坐标，这 样，通过构造图形使问题迎刃而解。解：ylX" + 4 + J(8 - x) +16二 J(x-0) +(0-2) + J(x-8)+ (0-4)".0k+b = -28k + b = Sk=-4b = 2于是构造如图所示。作A (0, 2)关于x轴的 对称点A' (0, -2),令直线A' B的解析式为y二kx+b,3 8 所以y = x-2,令y=0,得x =-4 3即C点的坐标是負0),所以蚣=§时，厶2+4 + J(8_x)2+殆最小值 33五、利用判别式求最值3f +6x + 5例6:

6、求y= ；的置小值52 + x +1解：去分母可以整理出关于x的一元二次方程，(y-6)x2 -(2y-12)x + (2y-10) = 0,因为 x 为实数，所以$()得：4WxW6,解得，故y的最小值是4六、消元思想求最值例7：已知a、b> c为整数，且a+b=2006,c-a=2005? a<b,則a+b+c的灵大值为(200 6年全国初中数学竞赛试题)分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得 b=2006-a, c=2O05+a,将其代入原式得：a+b+ c =a + 20O6 a+2005+a =4011+a又 a+b=20O6,

7、a、b 均为整数，a<b,所以 aW10O2,所以当a=100 2时，a + b+c 的我大值是40 1 1+1002=501 3七、利用数的整除性求眾值例8：已知a、b为正整数，关于x的方程x2-2ax + b = 0的两个实数根xx> x 关于y的方程y2 + lay + h = 0两个实数根为y. y?，且满足山儿一七比=2008,求b的最小值。(数学周报杯2008年全国初中数学竞试题)分析与解：因为方程X2 一 2ax + b = 0与y2 + lay + b = 0有实根，所以有：(2a)2 -4Z?>0, a2 >b9由根与系数的关系，得：x+x2= 2a,

8、 x x2=h- Vj + y2 = 2a. y y2 =b 即 a + >2 = -2d = -(X| +X2) = (-%!)+ (-X2)bv'2 =(-i )(-2)解得:或.)2=一兀2 US =-1把y”)2的值分别代入，Xy2 -X2y2 = 2008 得x(-X|) - x2(-x2) = 2008 ,或X(-x2) 一x2) = 2008 (不成立)即x22 一器=2008, (x2 + X,)(x2 -%!)= 2008因为 x + x2 = 2a > 0, x x2 = b> 0 所以 x > 0, -r 2 > 0于是有 2a也，4

9、b = 2008 即cNa -b = 1x502 = 2x251因为a, b都是正整数，所以a = _Ja = 5O5或*I? 一 = 502厂 a2-b = a = 2 a2-b = 252或“a = 251 a2-b = 4a = S = 502S = 2. 或<了或qZ? = l-5022/? = 5022 -1/? = 2-2512分别解得:a = 251/? = 2512-4经检验只有Jg "2a = 25符合题意./? = 5022 -f 少=251'-4所以b的最小值为:= 2512-4=62997八. 利用函数的增减性求最值例9:设x> x 2是方程2x2 - 4mx + 2nr + 3m - 2 = 0的两个实根，当m为何值时,Xj2+X22有最小值,并求这个最小值。解:因为方程2x2 -4mx + 2m2 + 3m-2 = 0有实根，所以4 = (4m)2 - 82/?/2 + 3m -2) > 0，解得 m < 由根与系数的关系Xj + x2 = 2m,兀2 =+引"26 n37于是xj +x2 = (x, +x2)2 -2x,x2