圆的方程知识点总结和典型例题

1、圆的方程知识点总结和经典例题1. 圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a)几何法：由圆心到直线的距离 d与圆的半径r的大小关系判断. 代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.(2) 过一点的圆的切线方程的求法1. 当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率， 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.2. 若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出 的切线只有一条，这是因为有一条过这点

2、的切线的斜率不存在.+ (y b)2= r2(r > o)圆心：(a，b)，半径：r一般x2 + y2+ Dx + Ey+ F = o(D2+ E2圆心：DE，-2，方程4F > 0)1半径：刃 D2+ E2 4F注意点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.对于方程x2 + y2 + Dx + Ey+ F = 0表示圆时易忽视 D2+ E2 4F > 0这一条件.2点与圆的位置关系点 M(xo, yo)与圆(x a)2 + (y b)2 = r2 的位置关系：(1) 若 M(xo, yo)在圆外，贝U (xo a)2+ (yo

3、 b)2>r2(2) 若 M(xo, yo)在圆上，贝U (xo a)2+ (yo b)2二r2(3) 若 M(xo, yo)在圆内，贝U (xo a)2+ (yo b)2三r23. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆的位置关系的判断方法设直线 I : Ax+ By+ C = o(A2 + B2工 o), 圆：(x a)2+ (y b)2= r2(r>o),d为圆心(a, b)到直线I的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d<rA>0相切d三r上0相离d>rA<0(3) 求弦长常用的三种方法1.利用圆的

4、半径r,圆心到直线的距离d,弦长I之间的关系r2二d2+ 2解 题.2利用交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计 算弦长.3利用弦长公式设直线I: y= kx+ b,与圆的两交点(xi, yi), (x2, y2)，将直线方程代入圆的 方程，消元后利用根与系数的关系得弦长I二；1+ k2| X1 - X2二 1 + k2 Xl + X2 2 4X1X2.4. 圆与圆的位置关系(1) 圆与圆位置关系的判断方法设圆 0仁(X a1)2 + (y b”2= r2(r1>0), 圆 02： (x a2)2 + (y b2)2= r2(r2>0).方法位置

5、关系几何法：圆心距d与r1, r2 的关系代数法：两圆方程联立组成 方程组的解的情况外离d>1 + r2无解外切d= r1+ r2一组实数解相交r1 r2 <d<r1 + r2两组不同的实数解内切d = r1 r2(r1丰一组实数解内含0w d< r1 r2 (门工 r2)无解易误点：两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形.1 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1) 化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2) 计算两圆圆心的距离d;(3) 通过d, r1+ r2,门一r2的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围, 必要时可借助于图

6、形，数形结合.2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰 的，要理清圆心距与两圆半径的关系.(2) 两圆相交有关问题1.圆系方程11C. 4D. 4 60交点的圆的方程可设为：x2 + y2 + Dix+ Eiy + Fi + ?(x2 + y2 + D2x + E2y + F2)=0(入工一1),然后再由其他条件求出 人即可得圆的方程.2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆 Ci ix2 + y2+ Dix+ Eiy+ Fi = 0 与圆 C2：x2+ y2+ D2x+ E2y+ F2= 0 相交, 则两圆公共弦所在直线的方程为(Di D2)x+ (Ei- E2)y+ F

7、i-F2 = 0.3. 公共弦长的求法(i)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出 弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构 成的直角三角形，根据勾股定理求解.5. 对称问题(i)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式点|P (x，y)关于 Q (a，b)的对称点为 P' (2a-x，2b-y) .| (2)点关于直线成轴对称(3) 曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称6. 与圆有关的最值问题的常见解法(i)形如 尸I形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.x a形如t= ax+ by形式的最值问题，可转化为动直

8、线截距的最值问题.形如(x a)2 + (y b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问 题.|7. 典型例题1. 直线3x+ 4y 5= 0与圆x2+ y2= 1的位置关系是()A 相交B 相切C.相离D 无法判断一 5【解析】圆心(0,0)到直线3x+ 4y 5 = 0的距离d = 5 = i，又圆x2 + y2= i的半32+ 42径r = i，. d = r，故直线与圆相切.2. 直线3x+ 4y+ i2= 0与圆(x i)2+ (y+ i)2 = 9的位置关系是()A .过圆心B .相切C.相离D .相交但不过圆心【解析】圆心(i， i)到直线3x+ 4y+ i2=

9、 0的距离d =3x i + 4x - i +12；32 + 42二r.【答案】D3. 求过点(1, 7)且与圆x2 + y2= 25相切的直线方程.【解析】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k,则切线方程为y+ 7=k(x 1),一 k一 743即kx y k 7=。.二赛2+1 = 5,解得k= 3或k= 4.所求切线方程为 y+ 7 = 3(x 1)或 y+ 7= 4(x 1), 即卩 4x 3y 25= 0 或 3x+ 4y+ 25 = 0.4. 过点A(4, 3)作圆C: (x 3)2 + (y 1)2= 1的切线，求此切线的方程.| 【解析】因为(4 3)2 + ( 3 1)2=

10、 17> 1,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k,则切线方程为y+ 3= k(x 4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1,所以 3k+34k = 1,即 k+4=肝,15 所以 k2 + 8k+ 16 = k2 + 1,解得 k= g.15所以切线方程为 y+ 3= j(x 4), 即卩 15x+ 8y 36= 0.(2)若直线斜率不存在，圆心 C(3,1)到直线x= 4的距离也为1, 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4.综上，所求切线方程为15x+ 8y 36= 0或x = 4.5.6.求直线1: 3x+ y 6 = 0被圆C: x

11、2 + y2 2y4= 0截得的弦长.【解析】圆 C: x2 + y2 2y 4= 0 可化为 x2 + (y 1)2 = 5, 其圆心坐标为(0,1)，半径r = 5.- 亠3X 0+1 6 F0点(0,1)到直线l的距离为d=寸32+ 1 = 2 ，I = 2 . r2 d2= .10,所以截得的弦长为.10.直线x+ 2y 5+ 5 = 0被圆x2 + y2 2x 4y= 0截得的弦长为()7.8.9.B 相交D .内切A , B两点满足方程组x= 0,y=2.【解析】圆的方程可化为C: （x 1）2+ （y 2）2= 5,其圆心为C（1,2）,半径r=5.如图所示，取弦AB的中点P,连

12、接CP,则CP丄AB,圆心C到直线AB的距离 d= CP =丄土4*5 = 1.在 RtAACP 中，AP =Jr2 d2 = 2,故直线 2 + 22V被圆截得的弦长AB = 4.两圆x + y2 = 9和x2 + y2 8x+ 6y+ 9= 0的位置关系是（）A .外离B .相交C.内切D .外切【解析】两圆x2 + y2 = 9和x2 + y2 8x+ 6y+ 9= 0的圆心分别为（0,0）和（4,3）,半径分别为3和4所以两圆的圆心距d=“J42+ 3 2= 5.又4 3<5<3 + 4,故两圆相交.圆 O1: x2 + y2 2x= 0和圆 O2: x2 + y2 4y=

13、0 的位置关系为（）A 外离C.外切【解析】圆01的圆心坐标为（1,0）,半径长ri = 1;圆02的圆心坐标为（0,2）,半径长2 = 2; 1 = r2 riv O1O2 = 5< r 1 +2= 3,即两圆相交.求两圆x2 + y2 2x+ 10y24 = 0和x2 + y2 + 2x+ 2y 8 = 0的公共弦所在直线 的方程及公共弦长.x2 + y2 2x + 10y 24 = 0,1解析,联立两圆的方程得方程组x2+y2 + 2x+2y-8 = 0,两式相减得x 2y+ 4 = 0,此为两圆公共弦所在直线的方程. 法一：设两圆相交于点A，B ,x 2y+ 4= 0,x= 4,

14、2 2解得x2 + y2 + 2x+ 2y 8 = 0,y= 0所以AB =一 4 0 2+ 0 2 2= 2 5，即公共弦长为2 5.法二：由 x2 + y2 2x+ 10y 24= 0,得(x 1)2+ (y+ 5)2 = 50,其圆心坐标为 (1 , 5)，半径长 r = 52，圆心到直线 x 2y + 4 = 0的距离为d1 2X 一5 + 4-J+ 22=3质.设公共弦长为21，由勾股定理得r2= d2 +12,即50=(3 5)2+12,解得l = .'5,故公共弦长21 = 2 5.10. 求圆C仁x2 + y= 1与圆C2: x2 + y2 2x2y+ 1= 0的公共弦

15、所在直线被圆25C3： (x 1)2+ (y 1)2= 4 所截得的弦长.作差精彩点拨】I联立圆Cl、C2的方程I - I得公共弦所在的直线I圆心C3到公共弦的距离d 圆的半径r【解析】设两圆的交点坐标分别为 A(xi, yi), B(X2, y2),则A, B的坐标是方程组x + y2= 1,2o , c的解，两式相减得x+ y 1 = 0.x2 + y2 2x 2y+ 1 = 0因为A, B两点的坐标满足| x+ y 1 = 0,所以AB所在直线方程为x + y 1=0,即C1, C2的公共弦所在直线方程为x+ y 1= 0,105 1圆C3的圆心为(1,1),其到直线AB的距离d= 2,

16、由条件知r2 d2=寸5= ，所以直线AB被圆C3截得弦长为2 X 寻23.11. 已知圆C与圆(x 1)2 + y°= 1关于直线y= x对称，则圆C的方程为()A. (x+ 1)2 + y2= 1B. x2 + y2= 1C. x2+ (y+ 1)2= 1D . x2 + (y 1)2= 1【解析】由已知圆(x 1)2 + y°= 1得圆心C1(1,0),半径长r1 = 1.设圆心C1(1,0关于直线y= x对称的点为(a, b),ba1 1=1a+ 1 = b2 = 2,a = 0,解得&= 1.所以圆C的方程为x2+(y+1)2=1.12. 当动点P在圆x2

17、+ y2= 2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程 为.【解析】 设Q(x, y), P(a, b),由中点坐标公式得a+ 3x= 2，a= 2x-3,所以b+ 1b= 2y- 1.y= 丁，点 P(2x-3,2y 1)满足圆 x2 + y2= 2 的方程，所以(2x 3)2 + (2y 1)2 = 2,3 11化简得x 3 2+ y 2 2 =扌，即为点Q的轨迹方程.13. (1 )ABC 的顶点坐标分别是 A (5, 1), B ( 7,- 3), C (2,- 8), 求它的外接圆的方程；(2)ABC的顶点坐标分别是 A (0, 0), B (5, 0), C (0, 12

18、)，求它 的内切圆的方程.【解答】解：(1)设所求圆的方程为(x-a) 2+ (y - b) 2=r2，因为 A (5, 1), B (7，- 3), C (2, - 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，(5 - a)_ b ) 2=r 2于是 _ a) 24-( - 3 - b)2，可解得 a=2 , b= - 3, r=25 ,/2- a)2f(-S-b)2=r2所以ABC的外接圆的方程是(x-2) 2+ (y+3) 2=25 .(2)vzABC 三个顶点坐标分别为 A (0, 0), B (5, 0), C (0, 12),AB 丄 AC, AB=5 , AC=12 , BC=13 ,5+12 - 13