3简单的线性规划问题

1、第3章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.3简单的线性规划问题高效演练 知能提升A级基础巩固一、选择题1 .目标函数z= 3x y,将其看成直线方程时，z的意义是()A .该直线的截距B.该直线在y轴上的截距C.该直线在y轴上的截距的相反数D .该直线在x轴上的横截距解析：把目标函数变形为y= 3x z,由此可见，z是该直线在y轴上的截距 的相反数.答案：C2.已知a>0, x, y满足约束条件fx>1x+ y<3若z= 2x + y的最小值为1,则a=()y>a(x 3),1 1A.4B.2C. 1D. 2解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化

2、为 y轴上的截距，当z= 2x + y经过点B时，z最小，x=1,x=1,1由？代入y= a(x 3)得a=2x+y=1 y= 1,2答案：B2xy 2>03.平面直角坐标系xOy中, M为不等式组x + 2y1>03x+y 8<0所表示的区域上一动点，则直线0M斜率的最小值为（）1 1A. 2 B. 1 C. 3 D. 2解析：作出可行域，由图象可知当点 M位于点A时，0M的斜率最小，由x+2y1 = 0,x= 3,1 ? 丫3x+y8 = 0y= 1,1 1即A（3, 1）,此时0M的斜率为3 = 3答案：Cx+ 2y<84. （2014 广 东 卷）若变量x, y

3、满足约束条件0W xS40< y§3则z= 2x+y的最大值等于（）A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 解析：画出x, y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l： y=2x,平移直线I,经过可行域上的点A（4, 2）时，z取最大值，即Zmax = 2X 4+2= 10,故选 C.x+2/=8答案：C5.设点P(x, y),其中x, y N，满足x+ yw3的点P的个数为()B. 9个D .无数个解析：选择单位长度,A. 10 个C. 3个 找整数点.答案：A二、填空题fx+y<56 .图中阴影部分的点满足不等式组2x+ y<6x>0 y>

4、Q在这些点中，使目标函数z= 6x+8y取得最大值的点的坐标是 .解析：目标函数可化为y= ；x+8，因为；>1,所以当过点(0, 5)时，目标函数z= 6x+ 8y取得最大值.答案：(0, 5)fx>27.设z= kx+y,其中实数x, y满足x 2y+4>02xy4w 0.若Z的最大值为12,贝卩实数k=解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为 a（4, 4）,这时 12= 4k+ 4, k=2.答案：2x-2<08.已知x, y满足约束条件y1W0tx + 2y-2>0则z= x-y的取值范围为 .解析：画出可行域，如图中的阴

5、影部分所示.由图知，一z是直线y= x-z在y轴上的截距，当直线y= x-z经过点A(2,0)时，z取最小值，此时x= 2, y= 0,则z的最大值是x y= 2-0= 2;当直线 y= x-z经过点B(0, 1)时，z取最大值，此时x= 0, y= 1,贝卩z的最小值是x y= 0- 1 = - 1,所以z= x- y的取值范围为一 K z< 2.答案：1, 2三、解答题9.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元;另一种是每袋24千克，价格为120元.在满 足需要的条件下，最少要花费多少元？解：设购买重量为每袋35千克的x袋，

6、重量为每袋24千克的y袋，则所要花费的金额z= 140x + 120y，依题意，可得关于x、y的约束条件：35x+24y > 106x N, y N,目标函数z的值最小,又x, y N，寻找可行域上靠近边界的几个点.令x= 0,知y5,当x= 1,知y3,当x= 2,知y2,当 x= 3, 知 y1, 当 x= 4,知 y0, 将靠近边界的几个点(0, 5), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)分别代入目标 函数,可知直线z= 140x + 120y过点(1, 3)时，目标函数z有最小值500元.10.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢

7、板给 每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A、B的外壳分别为6个.两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最 小？ 解:设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳(3x + 6y)3x+ 6y45个，B种产品外壳(5x + 6y)个，由题意可得5x+ 6y55 x N, y N,所有的薄钢板的总面积是z= 2x+ 3y.可行域是如图所示的阴影部分，其中 11： 3x+ 6y= 45; I2： 5x+ 6y= 55, h与 b的交点为 A(5, 5),因目标函数z= 2x+ 3y在可行

8、域上的最小值在区域边界的 A(5, 5)处取得,此时z的最小值为2X 5+ 3X 5 = 25.即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A, B的两种外壳的用量，同时又能能力提升fy>011.实数x, y满足不等式组 x-y>02x y- 2<BJ-2, sD._-£ 1使用料总面积最小.、选择题则3=刖的取值范围是()AJ 7 3C. -3，+*解析：如下图，画出满足不等式组tx y>0 的解2x-y- 2<02s-y-2=02*/IV1x(x, y)构成的可行域 ABO,求得B(2, 2).因为根据目标函数的几何意义 是可行域上一点与点(-1,1)连线的斜

9、率，可求得目标函数的最小值-1,最大值2.故3的取值范围是I - 1 , 1 .答案：Ax+y-3<Q12.若函数y= 2x图象上存在点(x, y)满足约束条件x-2y-3<Qx>m,则实数m的最大值为()13A.? B. 1 C.? D. 2解析：如图所示，当直线x= m经过y= 2x与x+ y-3 = 0的交点时，函数yy=2x,=2x的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组得x= 1,x+y-3=0所以m< 1.答案：B13.某学校用800元购买A, B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用 品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A, B两种用

10、品应各买的件数为()B. 3件，3件A. 2件，4件D.不确定C. 4件，2件解析：设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则100x+ 160y< 80,x>1y>l x, y N*求z= 800 100x- 160y取得最小值时的整数解(x, y),用图解法求得整数解为(3, 3).答案：B二、填空题x>114.已知$ xy+1<0 则x2+ y2的最小值是.2xy 2<Q'x>l解析：由x y+1<Q画出可行域，得交点 A(1, 2), B(3, 4),如图所示，2x y 2<0根据x2 + y2表示可行域一点到原点的

11、距离，可知 x2 + y2的最小值是|AO|2= 5.答案：5px+ 4y>415.给定区域 D:x+ y<4令点集 T=(xo, yo) D|x°, yolx0Z, (xo, yo)是z= x+ y在D上取最大值或最小值的点，则T中的点共确定 _条不同的直线.解析：画出可行域，其中z= x+ y取最小值的整点为(o, 1),取得最大值时的整点为(o, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, o),共 5个.故可确定的直线有5+ 1 = 6(条).答案：6三、解答题16.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 5。亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：蔬菜年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元o.55万元韭菜6吨。9万元。3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大，求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润.解