平稳随机进程谱分析

1、第二章平稳随机进程的谱分析本章要解决的问题:随机信号是不是也能够应用频域分析方式? 傅里叶变换可否应用于随机信号? 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的概念随机进程的谱分析2.1.1预备知识一、付氏变换:对于一个肯定性时刻信号X(t),设x(t)是时刻t的非周期实函数,且x(t)知足狄利赫利条件(有限个极值，有限个断点，断点为有限值)且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即:1. 在(一8,8)范围内满足狄利赫利条件2. %任)绝对可积，W.8j|%(力|d,<8-83.若力代表信号，则虫力信号的总能量有限，即知足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为:g2e

2、*di一g其反变换为:QO管(')=言)如3£刖d®4OOXx3)为力(力的频谱。当名«)代表电压时，则X.崂表示了电压按频率的分布6一般说,Xx3是3的复函数7即XxW)包含了振幅谱和相位谱。二、帕赛瓦等式由上面式子能够取得：OOOO8|1)12d.=jX/(8)eW出oo-<X)-ooOo4dfds-oo二有Xx3)X1(5d3ooggXx3) 12d 3oau?d«=2Jg-!称为非周期性时刻函数的帕塞瓦(Parseval)等式。物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左侧代表x(t)在时刻(8,8)区间的总能量(单位阻抗)

3、。因此，等式右边的被积函数x*3）表示了信号x(t)能量按频率散布的情形,为能量谱密度。2.1.2.随机进程的功率谱密度一个信号的付氏变换是不是存在，需要知足三个条件，那么随机信号是不是知足这三个条件从而存在付氏变换呢？随机信号持续时刻无穷长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无穷的，因此，其付氏变换不存在。可是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然能够利用博里叶变换这一工具。为了将傅里叶变换方式应用于随机进程，必需对进程的样本函数做某些限制，最简单的一种方式是应用截取函数。截取函数x7(t)：/八产|*WT式8图x(t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数X7(t)知

4、足绝对可积条件。因此,x7（t）的傅里叶变换存在，有4（力e-如df-T很明显，X7也应知足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达式的转变）700用2T除上式等号的两头，能够取得FOO/j砂出=|XXT,m）2<137*-<x>等号两边取集合平均，能够取得：TDQ、万另j婿出=4而fj|Xx（T,a>）|2da>J令Tfoo,再取极限，即可取得随机进程的平均功率。互换求数学期望和积分的顺序，能够取得：（注意这里由一条样本函数推行到更一般的随机进程，即下面式子对所有的样本函数均适用）7->8 2T上式等号的左侧表示的正是随机进程消耗在单位电阻上的平均功率（包括时

5、刻平均和统计平均），以后咱们将简称它为随机进程的功率并记为Q。再看等式的右边，它固然也存在，而且等于Q。又因为|Xx（T,M非负, 定存在，记为Sx（g）：士匚式中=湮加IX式丁，“）町注意：（1）Q为肯定性值，不是随机变量（2）§x（G）为肯定性实函数。（见式）两个结论：1. Q=A<EXt）>式中，A<.>=lim<.>表示时刻平均。它说明，随机fo2r进程的平均功率能够通过对进程的均方值求时刻平均来取得，即对于一般的随机进程（例如，非平稳随机进程）求平均功率，需要既求时刻平均，又求统计平均。显然，Q不是随机变量。若随机进程为平稳的，则Q=A&

6、lt;EXt）>=EXt）=Rx（0）这是因为均方值与时刻t无关，其时刻平均为它自身。Sx()dc»由于已经对|Xx（T,0）求了数学期望，所以Sx（g）再也不具有随机性，它是G的肯定性函数。 功率谱密度：Sx（g）描述了随机进程x（t）的功率在各个不同频率上的散布称Sx（g）为随机进程x（t）的功率谱密度。 对Sx（切）在x（t）的整个频率范围内积分，即可取得x（t）的功率。 对于平稳随机进程，则有：【例2.1】段随机过程X（分="COS（就+）其中4和也皆是实常数，分是均匀分布在区间（0/2）上的随机变量。试求过程X（分的平均功率.解I因为过程X"）的均

7、方值ECXt）=后口-口/（创/+）t =芭游”L7+Tccur202a?=彳+彳/三8虱2如n+23)&F=y-sin2«>otJ01侬民的函数，故XQ还 求得过程X3）的平均功率的。根据式（3.7）,我们可Q=A<EXz(f)3>-limsin2«>oicU=y2.1.3,功率谱密度的性质1 .功率谱密度为非负的，即Sx(a)>0证明:根据定义式(3.1.14),SA%为' Sx(s) =lim71Toeo矶 |Xx(T,3)Z因为|X式T,%|22o,故S*9)>02 .功率谱密度是3的实函数Q证明：S()=lim-

8、Tfoo乙因为|Xx(T,/)进行了取模运算，这是。的实函数，所以Sx(g)也是。的实函数，且为肯定性实函数。3 .对于实随机过程来说，功率谱密度是幻的偶函数。即S£M=SM-)证明：根据博里叶变换的性质，我们知道，当打(力为1的实函数时，其频谱满足OQXx<T产>=j为("如小因此:八一神)式中，*表示食共辗。于是有|XXf,6|2=XX7“)XY7”>=X-T,s)XXT,-6=|X"T,-s)|z即：矶|Xx(2>)|2S(©)=hm-Ttoo乙,得：Sx()=SX(一小)4,功率谱密度可积，即8jSx（3）d/«

9、O-co证明：对于平稳随机进程，有：EXt)=-jSx(a)da)可以说明功率谱密度函数曲线下面的总面积（即随机过程的全部功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程的均方值是有限的，因此S（可积.联合平稳随机进程的互功率谱密度、互谱密度可由单个随机进程的功率谱密度的概念，和相应的分析方式推行而来。考虑两个平稳实随机进程X、Y（t）,它们的样本函数别离为x«）和y（£）,概念两个截取函数工丁（。、jy。）为：，八产Q>-T<t<TU其它-W其广因为工丁。）、丁丁（。都知足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时刻范围（-T,T）内，两个随机进程的互功率。

10、xy（T）为：（注意Xt（。、丁丁（£）为肯定性函数，所以求平均功率只需取时刻平均）Tx7(i)y7(i)df-T'一T由于Xr（，）、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用,即：因为已设X。）为实过程，所以若。一淅"八可以得到T。*“丁）=cHT=篇 OO蜀f(T,)Xy(T,3)注意到上式中，x«)和y(£)是任一样本函数，因此，具有随机性，取数学期望，并令Tf8,得：limEQxy(T)=Qxy=limx(t)y(t)dtT->OOT->oO2124 J-8Tf82T概念互功率谱密度为：Sx，3)=lim式T.8>X，

11、T>吟)得:0初=言Sxy(m)dojg同理，有：，吟=lim/Et£，(T,3)X*(T,e)：l丁*oo£,0”=右|S»O)dQ4J'J-co又知以上概念了互功率和互功率谱密度，而且导出了它们之间的关系。222、互谱密度和彼此关函数的关系平稳随机进程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，彼此关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。概念：对于两个实随机进程X（t）、Y（t）,其互谱密度Sxy（©）与彼此关函数Kxy+C）之间的关系为5£0可出以+he-即dt.8即AR,t+飞）、S若X（t）、丫各自平稳且联合平稳、，则有

12、五封"）*-（函）即：853）=、一gOO&y（8）=Wfsxv（）d«>"-OO式中，Av.>表示时刻平均。显然：当x（t）和y（t）广义联合平稳时,有&Y（小+C=及ARjjy（工£+D）=/?又了（于）证明：略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。结论：对于两个联合平稳（至少是广义联合平稳）的实随机进程，它们的互谱密度与其彼此关函数互为傅里叶变换。233、互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度不同，它再也不是频率出的正的、实的和偶函数。性质1：xy()=yx(3)=Syy(G)证明：SXY(a)=rRXY(T)e-j(

13、ordTJ-oO.=J二&x(方)？一，祈"©令7=T=e=(g)JYX(r)e"°"d2=Syx(性质2：ReSxy(6?)=ReSxy(-o)；ReSyx(=ReSyx(一证明：式中Re表示实部。亦即互谱密度的实部为G的偶函数。S*y(3)=JRxy(c)etv-oO=f°°Rxy(t)cos6>t+jsin(J-oO所以：ReSxy(G)=Rxy(t)cos(duIt令-TRxy(-t)cosa)izlTReSxy(-)其它同理可证。性质3：编)=-ImCSx”一ImSYx(®)1=一ImSy*

14、(一式中,ImJ表示虚部.亦即互谱密度的虚部为侬的奇函数证明：类似性质2证明。性质4：若X(t)与Y正交，则有Sxy()=O>S"(&)=0证明：若X(t)与Y(t)正交，则XY(，1"2)=Ryx(，1,*2)=°所以，S*y(=SYX(a)=0性质5：若X与Y不相关，X(t)、Y别离具有常数均值mx和mY，则$K丫(3>=5丫*“)=2/啊物力(3)证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以EX)7(t2)=mxmYSat3)=J(r)edrmxmyeiandt=17imxmY5(g)(注意1<->27r次的)性质6：+v)-e-

15、>SXy(<«)AiRyxd9t+t)<>SyxQu)式中，Av:>表示时刻平均。这给出了一般的随机进程(包括平稳、)的互谱密度与彼此关函数的关系式。例设两个随机进程X(t)和Y联合平稳，其彼此关函数Ry(c)为：10Y0求互谱密度sXY(，sYX3)解：先求Sxy(G)：8除丫(吟=&Ye3d工一g8=j9屋3%“.五=9(e-物论)&9再求取X3)9S"O)=S4(侬)=于千T功率谱密度与自相关函数之间的关系肯定信号：X0X(jd)o随机信号：平稳随机进程的自相关函数C功率谱密度。1 .概念：若随机进程X是平稳的，自相关函数

16、绝对可积，则自相关函数与功率谱密度组成一对付氏变换，即：8SxO)=fL8.8ds-g这一关系就是著名的维纳-辛钦定理、或称为维纳辛钦公式。2 .证明：下面就来推导这一关系式。证明方式类似式的证明。因为：由(3.1.14)式Sx(a) = limT >oo£|Xx(T,门2Tlim±£Xx(T,0)X；(TM)Tts21lim矶J X (GdtT X(t2)e 也互换积分和数学期望顺序=盘20J-r区&-ANr叫-血血设丁=，2一。，=，2+。，贝此2=所一黜=则Sx(=阳：华建仁权x3e-Fu+C二一 f 1 r2r limT->8 2T L

17、2T朋（25=lim=烈/:（1-争&x«）et=ERxe一，”氏.斗呢(2”、kl(注意T>oo,>0;且工一>00时，Rv(T)>0©2T因此，通常情形下，第二项为0=仁.(T)e-JardT证毕。推论：对于一般的随机进程X(t),有：QQ8AcRxdti +）> =Sx(a)=j4J?x(£.$+D)eT，d?一8S“3)e，"dg则平均功率为1 >jT ）1 «co（7=0）时刻平均加统计平均。利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳一辛钦定理表示成:8J0氏M(r)=；jSx(

18、®)cosej=dL33 .单边功率谱由于实平稳进程x（t）的自相关函数A*（7）是实偶函数,功率谱密度也必然是实偶函数。有时咱们常常利用只有正频率部份的单边功率谱。（常见的几种付氏变换关系需要记住）例平稳随机进程的自相关函数为Ax（c）=Ae"M,A>o,2>0,求进程的功率谱密度。解：应将积分按+C和一C分成两部份进行。0.8Sx9）=j,4"隈一厘dr+j月日一"葭历机80门OO£（用一血Wg-（s+汕”=A：+4：?8一押一一目+产）A2nB02+/例3.4设XN）为随机相位随机过程X«）=dcosWot+其礼4,

19、帆为实常数;。为随机相位，在（0,2吟均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，具有自相关函数。为邓求X的功率谛密度解：注意现在J：Kx（c）口2不是有限值，即不可积，因此Ax（C）的付氏变换不存在，需要引入b函数。.2SX（6D）=匚Ax（T）el0）TdT=J二一cos（6DQT）eieordroO82A290J冲丁1=土一'e-dr2-2停+-/物c（注意：COS（fi?0T）=）2=f°°（"好+。一处停）eTdr4J8欣2=5（切一切0）+3（&+/0）（注意：）例3$设随机过程丫。疝的瑞其中人%皆为常数，X为具有功率将密度Sx（S

20、的平稳过程,求过程PG）的功率谱密度。解，首先，我们可求得过程P（力的自相关函败W+t)=双VQ)Y(，”)：)KjEQiX")siii也曲斯(£+r)sin«o(<+r)5加=fR<7)tcGS«cr-cos(2ftM+%)显然，它与时刻t有关，所以Y为非平稳随机进程,Sy(8)=4<2?y($/+r)已-Wdr因此，最后得到过程V（分的功率谱密度为（必然要注意一般随机进程与平稳随机进程的平均功率和谱密度的求法区别）离散时刻随机进程的功率谱密度、离散时刻随机进程的功率谱密度1 .平稳离散时刻随机进程的相关函数设X（n）为广义平稳离散时

21、刻随机进程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为：Rx（柿二£X（”？,）X（部T+简写为:Rx（W=EX（部）X（%+懒）32 .平稳离散时刻随机进程的功率谱密度oo当凡C（秘）满足条件式£RM时，我们定义X5）的切尸一oo功率谱密度为火式（桃）的离散傅里叶变换，并记为多（28s4%=S&（幽）e-i3=-8式中，T是随机序列相邻各值的时刻距离。Sx（G）是频率为2%记为0的周期性持续函数，其周期为丁=2%。Sx（g）的傅里叶级数的系数恰为Ax。），这里3产hJT就是奈奎斯特频率（不是采样频率）。这说明离散序列的功率谱为周期函数。因为Sx（G）为周

22、期函数，周期为2%,J?»（M二方-）SxC3）J加"dsQ%在判上。时.有现|X5）2=段SMOds一Ctiq3.谱分解z变换概念在离散时刻系统的分析中，常把广义平稳离散时刻随机进程的功率谱密度概念为（相）的z变换，并记为（Z）,即coQJn-g式中且H*（极）则为外（刃的逆N变换。即7?式（冽）=2欠j，Si（z）z*Tdz上式中，D为在S（Z）的收敛域内围绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。性质Sx()=Sx(y)因为自相关函数AxQ）=Ax（m），带入式即可。谱分解谱分解定理：设X（n）是广义平稳实离散随机进程，具有有理功率谱密度函数s（z）。则S（z）可分解为：

23、以=8（3）8（八）式中（Z-1）（Z-aM）BQ）=C（zB（2二%）1Bz）-。（IT）-献）/式中，若J%|<1.则必定有必>1,$=L2,2M若I0.IV1,则必定有|8*1,k=j,s,N。可见,.在演z）中包含了单位圆之内的全数零点和极点;B（z-b中包括了单位圆之外的全数零点和极点。证明：总能够将SR(Z)表示成两个多项式之比:°°NS'x（z）=五/（"）溜6=D（z）-8上式中:由于AxQ")是实函数，因此多项式N(z)、D(z)的系数也都是实数、且有MVN。对式(349)因式分解，形式如下：SU(2一叼)一做.)设

24、9是N(z)的一个根，是S(Z)的一个零点，那么，/应知足Sjr（ai）=。而按照性质见式(348)可知，若上式成立，则下式必成立:这就是说，a也必然是N(z)的一个根；或说内-1是S(Z)的一个零点。于是，两个零点%和aji老是同时出现。同理，若人是S；(z)的一个极点，则尸1也一定是S(z)的一个极点。或说，两个极点一定同时出现。按照上面的讨论，即可将式(3.4.11)分解成两项相乘，即%(2)=8B(Z7)式中队z)4(z-BJ“,(z-BGIWLf(z-a)(L边8(z"L(13(z时)/式中,若|%|<?,则必定有i=L2,、跖若1%1<1,则必定有|露&quo

25、t;叫右=1,2产,及可见，.在B(z)中包含了单位圆之内的全数零点和极点；B(Z-l)中包括了单位圆之外的全数零点和极点。即证。例3.6设1141V1,求S和&(%解：应用式(3.4.5),能够取得-18治(石)=g-/f+Z/z-才l=1TOn0azz一1一0才za整理得：Z(1一却2_(1x(z)一q«)(i口)(1-azT)(l勰)七一.将2=/以代人上式，即可求得S*(0)=242、平稳随机进程采样定理1 .预备知识在分析肯定性的离散时刻信号时，香农采样定理占有重腹地位。它成立了持续信号与其采样离散信号之间的变换关系。设S是一个肯定性持续限谱实信号，它的频带范围限于

26、（-0c，+Q）之间。香农采样定理告知咱们，当采样周期小于或等于i/2£（g=2力；时），可将s（t）展开成：>“、告si加）sd）=£sinT）3_林相力=1co式中，T为采样周期.s（件T）为在时间£=/T时对s（£）的振幅采样。因此，采样频率为：T 2fc原信号的恢复：知足采样定理的采样值通过一个低通滤波器（冲激响应为S“函数），就可以够无失真的恢恢复信号。2 .平稳随机进程的采样定理此刻将香农采样定理推行到随机信号。概念：若X为平稳随机进程，具有零均值，它的功率语密度Sx（G）限于（-Q,+吗）之间：（即假设持续进程的功率谱有界）则可证明，

27、当知足条件T小于或等于1/2人时，即可将X按它的振幅样本展开为:X。)=lu,m2jX5T)fN-g力4V34一的这就是平稳随机进程的采样定理。式中，T为采样周期X(nT)表示在时刻t=nT时，对随机进程X(t)的任一样本函数X«)的振幅采样，则表示均方意义下的极限。例如XG)=l.im发Nf8表示EQimQCG)一火(£)¥=0Nf8就是说，在W-8的极限条件下，X。)与发的均方误差为零.证明：因为x(t)的自相关函数及l?x«)是T的肯定性因数，由维纳-辛钦定理，Rx(t)<Sx(cd),又因为Sx(g)带宽有限，由预备知识的香农采样定理，Rx

28、(r)的振幅能够展开成：力小三目/亦siii3丁一诏Rx(c=SRxH也十一.元»="OO式中T为采样周期，KX/T)为在时间时对农力的振幅采样。由付氏变换时移性质，可得：一a)a衣式看一乃一)e这里a为任一常数。显然。Sx(G)e-,"带宽也是有限的。再由香农采样定理，将（7一展开:我-xi方一OO令La=z',再令c'=r,则上式可变成:g&=E RAr-co程=一 g2（侬人+豆）1，万）十曲）一外（"此刻令:发=c文/）挈誓力.-2V若E£limX&）一发=WlimtX（f）-戈（DXd）一limX（f）

29、-d）1«）N-xxjNfg=0即XlimX（分一发4=0vNf8I0匚小5汕>5-#幻或Xd）=I.i.m£x（m匆_安NT8”-W）采样定理就取得了证明。下面别离证明上式的两项均为Oo£limX«）-戈"）X«）N->8/?Y(0)-limyEX(nT)X(t)Sm(HNT9n=_N8j-n九CO.=&（0）-za也半苧力二18(4)令T=O,a=t,得:Rx(0)= Z Rx(nT-t)sinQ'r%) =8比较(4)(5)式得：E Um X(t) X(t)X(t) =oN>8G)rt-n7U(

30、6)sin( a)ct - n7T)a)ct-nn令了=t,a=mT,得:oORx(tmT)=£Rx(nTmT)/1=oO(7)又：EttimX一新)1X(州T)Nrgsin（Gj%。）8=五品(£一切丁)一ZRx(nT-mT)a=oo(8)（7）（8）式比较，上式等号右端为零。于是可得：EtlhntX一发3X（邠丁k=0上式说明，在N-00的极限条件下，XG）-戈与旗州THE交。男方面，父是XWT）的线性组合，因此，X。）一发（，浦也必定与尤正交。即EQimCX-龙:父（£）=o由可见：-却)先=EaimCX(i)-XU)U(O-limCX(O-Xa)(

31、1;)JN-wNfco0证毕。为了书写方便，也常把采样定理写成：V,八?V/一程江)XMZj-»=S但应注意，上式的近似是表示均方意义下的极限，它与一般意义下的近似是不同的。243、功率谱密度的采样定理由平稳随机进程的采样定理，能够通过对平稳随机进程X(t)的采样而取得与之相对应的离散时刻随机进程X(n)o此刻讨论X(n)的自相关函数(或称自相关序列)与X(t)的自相关函数、X(n)功率谱密度和X功率谱密度之间的关系。概念：设X(t)为广义平稳随机进程，用7?c(c)和Sc3)别离表示它的自相关函数和功率谱密度，且Sc(G)的带宽有限(这里下标C表示持续)。此刻，应用采样定理对X(t

32、)采样，组成采样离散时刻随机进程X(n)=X(nT),其中T为采样周期。K«)和S(别离表示X(n)的自相关函数和功率谱密度，则叔加）=充近作”才5+郎=EX（知TAXI”丁+甲T）二尺。（疝T）8S（3R/*ZSc（3+2”&q）«="0C式中%=%即功率谱密度的采样定理。（随机序列功率谱为周期函数）结论：（1） 离散时刻随机进程的自相关函数R（m）正是对持续进程自相关函数A。（T）的采样。（2） S（G）等于Sc（CD）及Sc（的所有列位移之和，即Sc（G）以2%为周期延拓，所以5（勿）为周期函数。s（0）与Sc（G）关系如下图示意：S/o)3图x（r

33、）、SAM与x（）、s（w）的对应关系证明：预备知识：若肯定性函数f（t）为周期函数，周期为T,即f（t）=f（t+mT）,m为任意整数，则它总能够展开为傅立叶级数:（信号与线性系统分析吴大正主编，P129）f（t）=力产指数形式表示：7n-JL2n-0,±1,±2,.,C=皇注意Sc（）是肯定性函数。OO因为£Sc（9+2%）是周期为2%的持续函数，则傅里=8叶级数展开式为：£Sc3+2%）=£%e一汝"（这里与通常的傅=-Q0=-8立叶级数不同）%其中：an=-Sc（CD）eJ,lG）TdG）2%石ejHO)Tdco=Rc(nT) = TR(n)2%=4瓦带入上式得:»c(+ 2 吟)=£TR(n)eT8TQO-£Sc3+2%）=£阳一加"=S（M（离散"=O0=-8时刻功率谱密度的概念）定理证毕。白噪声随机进程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来分类。就概率密度而言，正态散布(或称为高斯散布)的随机