数理统计答案(研究生)

1、 第一章第一章 抽样和抽样分布抽样和抽样分布 1.1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值设子样值x1,x2,xn的平均数的平均数 为和方差为为和方差为作变换作变换 ，得到，得到y1,y2,yn,它的平均它的平均数为数为 和方差为和方差为 。试证：。试证： 。 x2xsy2ys222,xyxacy sc siixayc解：由变换解：由变换 ，即，即 iixayciixayciixacy2222222(),11()()()iiiiiiiyiiixa cy nx na cnyx a cycxxa cya cyyyc snnn x而s12. 在五块条件基本

2、相同的田地上种植某种在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方（单位：斤），求子样平均数和子样方差。差。解：作变换解：作变换 11100,100,005100iiiiyxayynxay22222222211( 8)( 6)356 0345xyiissyyn 3.3.设设X1,X2,Xn是参数为的泊松分布的母体是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求的一个子样，是子样平均数，试求E 和和D 。解：解： XX111( ),()iiiixpExExExnnnn22111()iiiiiDx

3、DxDxDxnnnn4.4.设设X1,X2,Xn是区间（是区间（-1，1）上均匀分）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。均值和方差。解：解： 21 121( 1,1),0,2123xUExDx 11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnn5.5.设设X1,X2,Xn是分布为的正态母体的一个是分布为的正态母体的一个子样，求子样，求 的概率分布。的概率分布。解：解： 2211()niiYX21( ,),(0,1),.,iinxXNNYY 则y且之间相互独立22221()()iiiiiixYxy由 分布定义 ，Y服从

4、自由度为n的 分布。 22( )Yn216.设母体设母体X具有正态分布具有正态分布N(0,1)，从此母体从此母体中取一容量为中取一容量为6的子样（的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。）。又设又设 。试决定常数。试决定常数C,使使得随机变量得随机变量CY服从服从 分布。分布。解：解：22123456()()YXXXXXX21123(0,1),(0,3),XNZXXXN22111(0,1),(1)33ZZN2456ZXXX亦服从N(0,3)且与Z1相互独立， 2222(0,1),(1)33ZZN且与 相互独立。由 分布可加性， 22222221212111()(2),33333ZZZZY

5、c 7.7.已知已知 ，求证，求证证明：令证明：令 ( )Xt n2(1, )XFn2( ),(0,1)/UXt nUNn其中2222( ),nUU2且 与独立亦与独立2222,(1, )/UXFXFnn由 分布定义8设母体 ,从中抽取容量n的样本 求（1）n=36时， 解： 2(40,5 )XN(3843)Px25(40,)64xN384040434038435/65/65/6xPxP 2.43.6(3.6)( 2.4)(2.4)0.9918PU （2）n=64时，求 401P x25(40,)64xN解：40184015/85/8582 ( ) 10.89045xP xPp U 第二章第二

6、章 参数估计参数估计1.1.设母体设母体X具有负指数分布，它的分布密度具有负指数分布，它的分布密度为为 f(x)= ,00,0 xexx其中其中 。试用矩法求的估计量。试用矩法求的估计量。解：解： f(x)= （ ）0( )xe,00,0 xexx001( )xExxf x dxx edx用样本 估计Ex，则有 x11,xx12.设母体设母体X具有几何分布具有几何分布,它的分布列为它的分布列为PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2, 先用矩法求先用矩法求p的估计量的估计量,再求再求p的最大似然估的最大似然估计计.解解 :( 1)矩法估计矩法估计12111(1) (1) kkkkEXkpppp

7、ppp1px2111(1) )()1 (1)iixxxxxx(2)极大似然估计极大似然估计11(1)(1)iiinxnxniLppppln() ln(1)lniiLxnpnpln10,1iinxdLnpdpppx13.设母体设母体X具有在区间具有在区间a,b上的均匀分布上的均匀分布,其分布密度为其分布密度为 f(x)= 1,0,axbba其他其中其中a,b是未知参数是未知参数,试用矩法求试用矩法求a与与b的估计的估计量量.解解:用用 和和 分别估计分别估计EX和和DX得得 21 , ,()212abXU a b EXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXS14.设母体设母体X的

8、分布密度为的分布密度为 f(x)= 其中其中 (1) 求求 的最大似然估计量的最大似然估计量; (2) (2)用矩法求用矩法求 的估计量的估计量. 解解: 1,010,xx其他0( )xf x 1,010,xx其他0( )1最大似然估计最大似然估计 1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx 2矩法估计用 估计EX 110( )1EXx f x dxxxdx X1XX5.设母体X的密度为试求 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：1( ),2xf xex 1111( )()22iixxnnniiiLf xeelnln2lniixL

9、nn 2ln0iixdLnd 得 1iixn 0( )11222ixxE xE Xx f x dxxedxxedx11()iiiiEExE xnn 是 的无偏估计.6.设母体X具有分布密度 f(x)= 其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量. 解:似然函数 1,0(1)!0,kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxx ln0,iidLnkkkxdxx或7.设母体X具有均匀分布密度 ,从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平

10、均数和方差的最大似然估计量的值. 解: ， 的最大似然估计 1( ),0f xx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX22221,0.40331212DX8.设母体X的分布密度为 f(x)=(),0,0 xexx试求 的最大似然估计。解：( )Xf x (),0,0 xexx似然函数()11( )innxiiiLf xelnln(),0iidLLxnd 无解为了使L达到最大， ，尽可能小，尽可能大，而0iixn(1)1,miniii nxxx 12设母体X服从正态分布 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）12( ,1),(,)NXX1122133XX（2）2121344

11、XX（3）3121122XX都是 的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：11212212121()333333EExxExEx同理： 都是 的无偏估计。23和222222123215135111( )( ),( )( ),( )( )339448222DDD3方差最小为有效对形如1,1,niiiiix xxEx且时以 为最有效2Dxn13.设X1,X2,Xn是具有泊松分布 母体的一个子样。试验证：子样方差 是 的无偏估计；并且对任一值也是 的无偏估计，此处 为子样的平均数( )P*2S*20,1,(1)XSX解：*2( ),XPEXDXEXES*2*2(1)(1)(1)EX

12、SEXES 14 .设X1,X2,Xn为母体 的一个子样。试选择适当常数C,使 为 的无偏估计。解：2( ,)N 1211()niiiCXX22211221()()()()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiE xx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExE xxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1,2(1)2(1)iiixxEcnn 18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100, 小时

13、,s=40小时用 估计 ,构造函数1000 x x(0,1)/xuNsn近似给定置信概率 ,有121P uu 即22()1ssP xuxunn 22401000 1.96992.210401000 1.961007.810sunsun置信下限 x 置信上限 x整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数

14、的置信概率为90%的置信区间 ：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知 ，构造函数0.01();cm*2.125,0.017xs0.01()cm(0,1)/xuNn给定置信概率90%，有21P uu 即0022()1P xuxunn 02()(2.1250.0041)xun置信区间为为（2）若 未知构造函数*(1)/xTt nSn给定置信概率90%，查得 ，有0.05(15)1.7531t2(1)1p Ttn 母体平均数 的置信概率为90%的置信区间为 ，即（2.1250.0075）*0.05(15)sxtn21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试

15、验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,(1)mmmxsnnn构造函数(0,1)/xpuNsn近似给定置信概率95%，有21P uu 即2211(1)(1)1mmmmmmpupunn nnnn nn 故p的置信概率为95%的置信区间为（0.250.11）22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为 的置信区间的长度不大于L?解：2122( ,),XN 已知构造函数(0,1)/xuNn给定置信概率 ，有 ，使12u21P uu 即22()1P xuxunn 置信区间长度 22

16、uLn22224/nuL23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差 的数值。设（1）n=10, =5.1(2)n=46, =14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10,*s*s*s22( ,), ,XN 未知*25.1s用 估计 ,构造函数 给定置信概率 =99%,查表得*2s2*2222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589,(9)1.735使2220.9950.005(9)(9)0.99p母体 的置信概率为0.99的置信区间是*2212233(,)(9)ss即(3.150,11.62)(2)n=46, 时,所求的置信区间是*

17、14s *2*2220.0050.995(1)(1)(,)(45)(45)nsns即(10.979,19.047)25.设母体X服从正态分布 , 和 是子样X1,X2,Xn的平均数和方差; 又设 ,且与X1,X2,Xn独立,试求统计量 的抽样分布.解:2( ,)N X2nS21( ,)nXN 111nnXXnSn12221()01()(1)nnE XXD XXnn,又 1,nXX服从正态分布,故 , 1(0,1)11nXXNn222(1)nnSn又2nS与1,nXX独立根据t分布定义1122211(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTt nnSSnnnSnn26.设X1,X2,Xm和Y1,

18、Y2,Yn分别是从分布为 两个母体中抽取的独立随机子样, 分别表示X和Y的子样平均数, 和 分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数 和 ,试求随机变量2212(,)(,)NN 和XY和*xS*yS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.解: 是正态变量线性组合,仍服从正态分布.XY122221222()()()()()(0,1)EXYDXYmnXYUNmn又222222(1),(1)yxnSmSmn且相互独立由 分布可加性 ,22222(2)xymSnSmn且与XY独立根据t分布定义122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTt mnmSnSmSnSmnm

19、nmn27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利用第一章2.2中 分布的性质3,证明方差22的置信区间(给定置信概率为 )是1*2*222(,)221111SSuunn证明:对正态母体 的置信概率为 的置信区间是21*2*222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn当n45时,2( )2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu(1)代入(1)式,即*2*222(,)221111SSuunn证毕.29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:* 2* 20.1425,30.000

20、0250.1392,40.000021AABBxsxs设测试数据分别具有分布21(,)N 和22(,)N .试求 的置信概率为95%的12置信区间.解:2212(,),(,)ABXNXN ,4,5ABnn* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs121*(2)(2)11ABABXXTt nnSnn构造函数给定置信概率95%,查得 ,使0.025(7)2.3646t0.025(7)95%P Tt所求置信下限为:*0.02511(7)0.00330.004060.0007645ABxxts 置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736

21、(-0.00076,0.00736)为 的置信概率为95%的置信区间.1231.两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得*2*2120.245,0.357ss假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比 的置信区间(给定置信概率为95%).2122解:*2*211226,0.245;9,0.357nsns构造函数221221*2*212/(1,1)/FF nnSS给定置信概率 ,有195%*22*21112121*22*2122222(1,1)(1,1)1SSP FnnFnnSS 查表0.0250.02511(8,5)6.76,(5,8)4.82FF所求置信区

22、间的置信下限为10.2450.1424.820.357置信上限为0.2456.764.640.35734.从一批某种型号电子管中抽出容量为10的子样,计算得标准差 (小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差 的单侧置信上限(置信概率为95%).*45s 解:n=10, (小时)*45s 构造函数*2222(1)(1)nSn给定置信概率95%,查20.95(9)3.325,使221(1)1Pn 即*2220.95(1)0.95(9)nsP故所求 的置信概率为95%的置信上限为29 453 4574.053.3251.823第三章第三章 假设检验假设检验1.从已知标准差 的正态母

23、体中,抽取容量为n=16的子样,由它算得子样平均数 .试在显著水平0.05下,检验假设H0:2 . 556.27x26解:1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量26) 1 , 0(/0Nnxu3.给定显著水平 ,有 ,使05. 096. 12u2uuP即05. 096. 1/00nxP4.由样本n=16,56.27x代入96. 12 . 14/2 . 52656.272uu接受H02.从正态母体 中取100个样品,计算得) 1 ,(N32. 5x(1)试检验H0:(2)计算上述检验在 时犯第二类错误的概率.5是否成立?)01. 0(8 . 4解 : (1)1.建立原假设H0:

24、2.在H0成立前提下,构造统计量5) 1 , 0(/0Nnxu3.给定显著水平 ,有 ,使01. 0575. 22u2uuP即01. 0575. 2/00nxP代入575. 22 . 310/1532. 5u拒绝H0(2)真实 时,8 . 4719. 0)575. 0()575. 0()575. 4()575. 210/18 . 45()575. 210/18 . 45()/()/(212102102)(002021ununxdenHnx接受域3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布。问在下 能否接受假设：这批矿砂

25、的(平均)镍含量为3.25。解：设 ， 未知，计算 .252， =0.013。（1）建立假设 ：（2）在假设成立的前提下，构造统计量 01. 0),(2Nx2x*s0H25. 3xu ) 1(/)(*0nttnsx（3）给定 ,查得 =4.6041（4）由样本计算， = =0.34 =5p414341243413434125681建立假设 ：母体X的分布律为上述分布律在 成立的前提下，构造统计量给定显著水平 ，查得0H)4(25122iiiinpnpm）（0H)4(22568125681362562725627286492006492003216320016320048505056)4(222

26、2222）（由样本计算，使p02488. 9405. 760. 026. 253. 094. 272. 0H接受）（方差分析习题方差分析习题1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值 作变换 ，其中b、c是常数，且 。试用 表示组内离差和组间离差，并用他们表示F的值。i jx0b ijyijijyb xc解： 由第一章习题3可知 组内离差 组间离差 ijijyb xc2221xyssb222211AiiAiijQni xxni yQbby22221111rniEijiijiEijijQxxyyQbb/1/1/AAEEQrQrFFQnrQnr2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品

27、中各取一子样，测量其寿命得到数值如下：生产厂 干电池寿命（小时） A24.7 ，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1问四个厂干电池寿命有无显著差异（ ）？5%解：1.建立假设 ： 四个水平下母体 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 0H12342,iixN 0H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr来源 离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=320.23

28、0.5366组内n-r=1637.7总和 663.924160.7AiiQni xx2411603.2niEijiijQxx3,163.24F F1,接受 ，四个厂的干电池寿命无显著差异0H3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据：小学身高数据（厘米）第一小学128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小学150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小学140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（ ）？5%解： ，I=1,2,3 1.建立假设

29、 ： 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 2,iixN 0H1230H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr来源 离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=2233.084.375组内n-r=1553.28总和21466.16rAiiQni xx2799.3EijiijQxx0.052,153.68F ， 所以拒绝 ，认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异0.052,15FF0H4.在一元方差分析中， ，而 ，试求 的无偏估计量及其方差。 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir 10riiini解：在第i水平下 , 估计量为 而总的平均 的估计量为 的估计量为 是无偏的 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir iixxiiiixxiiiEExExi211222122222222212221111122iirriijjijjjjriijjjrjjiiiDD xxnD xn xDxDn xnnnnDxnjinnnnnnnnnnnnnn1.通过原点的一元回归的线形模型为 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。试由n组观察值 ，用最小二乘法估计 ，并用矩法估计,1,2,iiiYxini20,N,1,2,iix yi