知识点058完全平方公式(解答)

1、1、已知n是正整数，1 +工是一个有理式 A的平，那么，A= ¥ (严1)+1目 | (n+1) *一 口(班1)考点：完全平式。专题：计算题。分析：先通分，分母 n2 (n+1 ) 2是完全平的形式，然后把分子整理成完全平式的形式，从而 即可得解.d 11 n2?+ (n+1) 2+n21+=n?(注 1) 2112M 22222222解答：解：分子：n2 (n+1 ) + (n+1 ) +n =n (n+1 ) +n +2n+1+n=n2 n n+1 ) 2+2n nn+1 ) +1 , =n ( n+1 ) +1 2,.分子分母都是完全平的形式,A=卫孚？n (n+1)故答案为

2、:n (n+L) -+1 二口(n+1)点评：本题考查了完全平式， 先通分,然后把分子整理成完全平公式的形式是解题的关键,页脚度较大，灵活性较强.2、关于x的二次三项式:x2+2mx+4 - m2是一个完全平式，求 m的值.考点：完全平式。专题：计算题。分析：这里首末两项是 x和m这两个数的平，那么中间一项为加上或减去x和m积的2倍.解答：解：x2+2mx+4 - m2是完全平式,x +2mx+4 m = (x 如),1- 4- m2=m 2,m= 士叵2倍，就构成了一个即 m1 = VS, m2= - VS.点评：本题是完全平公式的应用；两数的平和，再加上或减去它们积的完全平式.注意积的 2

3、倍的符号，避免漏解.3、x, y都是自然数，求证：x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平.考点：完全平式。专题：证明题。分析：先假设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平，那么就可写成完全平式，从而可求y=2x ,x=而xy是自然数，则 叱iy必是无理数，那么就与已知相矛盾，故可得证.2解答：解：设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平， 那么有 x2+y+1= (x+1 ) 2, y2+4x+3= (y+、R) 2,y=2x , 4x=2")即 y=2x , x=又x、y是自然数,必是无理数,.与已知矛盾, 故x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全

4、平.点评：本题考查了完全平式、无理数、自然数的定义.两数的平和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平式.4、(2003?)若 x2+2xy+y 2 - a (x+y) +25 是完全平式，求 a 的值.考点：完全平式。分析：先把前三项根据完全平公式的逆用整理，再根据两平项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可.解答：解：原式=(x+y) 2a (x+y) +5 2,原式为完全平式，a (x+y)=上5? (x+y),解得a= ±10.点评：本题考查了完全平式，需要二次运用完全平式，熟记公式结构是求解的关键，把(x+y)看成一个整体参与运算也比较重要.5、将多项式4x2+1

5、加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平.则添加单项式的法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程.考点：完全平式。专题：开放型。2分析：因为整式包括单项式和多项式两种情况，所以根据4x是平项，是乘积二倍项的情况利用完全平公式添加，以及完全平式是单项式的平的情况添加一个单项式消去其中的一项即可.解答：解：添加的法有 5种，其演示的过程分别是（1分）添加 4x,得 4x2+1+4x= （2x+1） 2; （2 分）添加-4x,得 4x2+1 - 4x= （2x-1） 2; （3 分）添加 4x4,得 4x2+1+4x 4= （2x2+1） 2; （4 分）添加4x ,得 4x +1 4x =1

6、 ; （5 分） 添加-1,得 4x2+1 - 1= (2x) 2. (6 分)点评：本题主要考查完全平公式， 应充分理解整式的完全平既可以是一个单项式的平，也可以是一个多项式的平，针对上述两种情况来进行考虑，可防止漏解.6、多项式x2+1加上一个整式后是含 x的二项式的完全平式.例题：x2+1+2x = (x+1 ) 2（1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含 例题）：x的二项式的完全平式的式子（不能用已知的 x2+1+- 2x = (x- 1) 2; x2+1 +1 x 一4一=(=x2+1) 2.（2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个含x的二项式的完全平式x2+1+x4+x2 =

7、(x2+1 ) 2.考点：完全平式。专题：阅读型。分析：把等式右边根据完全平公式展开即可求解.完全平公式（aib) 2=a2及ab+b 2.解答：解：例题(x+1 ) 2=x2+2x+1 , ，应填入2x;11),.1 (x T ) 2=x2 - 2x+1 ,.应填入-2x;寺+1)应填入L4；42=L4+x2+1 ,4(2)(x2+1 ) 2=x4+2x2+1=x 4+x2+x2+1 ,应填入的多项式是x4+x2.故应填：2x; - 2x; L4; x4+x2.4点评：本题考查了完全平式的运用，两数的平和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平式，熟练掌握完全平公式并会逆用是求解的关键

8、.7、有一个多项式，它的中间项是8ab,前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平式(要求写出两种不同法)多项式：()+8ab+ ()考点：完全平式。专题：开放型。分析：根据完全平公式，乘积二倍项为8ab,所以两个数的积是4ab,可以分解出因式 2a、2b, 2、2ab , a、4b, 4a、b, ab、4, 4ab、1,选择两种情况填入平项即可.解答：解：由于(4ab+1 ) 2=16a2b2+8ab+1 ;(2ab+2 ) 2=4a2b2+8ab+4 .故本题答案为：16a2b2, 1; 4a2b2, 4.点评：本题考查了完全平式，根据完全平公式的结构特征来进行分析

9、，对乘积二倍项8ab的不同分解是求解的关键.8、一个正整数a恰好等于另一个正整数 b的平，则称正整数 a为完全平数.如 64=8 2, 64就是一个完全平数；若 a=2992 2+2992 2 >29932+2993 2.求证：a是一个完全平数.考点：完全平式。专题：证明题。分析：本题考查是的完全平公式的应用，考虑29922、29932都是数值较大的数，计算起来很不便，因此可采用换元法，设 x=2992 ,则2993=2992+1=x+1 ,然后再根据所设及题意对原 式进行变形配成完全平式.解答：证明：令2992=m ,则2293=m+1 ,于是 a=m 2+m 2? (m+1 ) 2+

10、 ( m+1 ) 2,=m 4+2m 3+3m 2+2m+1 ,=m 4+2m 3+2m 2+m 2+2m+1 ,=(m?) ?+2 ?m? (m+1 ) + (m+1 ) 2,=(m2+m+1 ) 2,所以是a一个完全平数.点评：本题考查了完全平式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用.9、小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的运算这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：(x- 1) (x2+x+1 ) =x3 - 1, (2a+b) (4a2-2ab+b2) =8a 3+b 3,小明说： 这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式

11、 ”，小强说： 是啊！而且右边都可以看成是某两项的立的和(或差) ”小明说：还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说： 对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说： 上项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗? (1)能否用字母表示你所发现的规律？(2)你能利用上面的规律来计算(-x-2y) (x2-2xy+4y 2)吗？考点：完全平式。专题：阅读型。分析：左边为一个二项式与一个三项式相乘，左边二项式中间加减号与三项式前两项加减号正好相反，二项式两项为三

12、项式第一第三项的一次项.解答：解：(1) (a+b) (a2-ab+b2) =a 3+b3;(a b) (a +ab+b ) =a b ;(2) (-x-2y) (x2-2xy+4y2) = ( - x) 3+ ( - 2y) 3= - x3- 8y3.点评：本题考查了完全平式， 是信息题，两数的和乘以这两个数的平和减去它们的差， 等于这 两个数的立和(或两数的差乘以这两个数的平和加上它们的和，等于这两个数的立差)，读懂题目信息是求解的关键. 10、阅读下列材料： 一个自然数a恰好等于另一个自然数 b的平，则称自然数 a为完全平数.已知a=2004 2+2004 2X20052+2005 2,

13、试说明a是一个完全平数.考点：完全平式。专题：阅读型。分析：本题考查是的完全平公式的应用，考虑20042、20052都是数值较大的数，计算起来很不便，因此可采用换元法，设 x=2004 ,则2005=2004+1=x+1 ,然后再根据所设及题意对原 式进行变形配成完全平式.解答：解：设 x=2004 ,则 2005=2004+1=x+1 ,故有：a=x2+x2 (x+1 ) 2+ (x+1 ) 2,=x2- 2x (x+1 ) + (x+1 ) 2+2x (x+1 ) +x2 (x+1 ) 2,=x - (x+1) 2+2x (x+1) +x2 (x+1) 2, =1+2x (x+1 ) +x

14、2 (x+1 ) 2,=1+x (x+1 ) 2,=1+x+x 22,=(1+2004+2004 2) 2,2=4018021 ，a是一个完全平数.起到简便计算的点评：本题考查了完全平式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简， 作用.11、已知 a2 - 4a+4+9b 2+6b+1=0，求 a、b 的值.考点：完全平式；非负数的性质：偶次。分析：本题考查完全平公式的应用，可逆向应用完全平公式和平数非负数的性质.解答：解：1 a2- 4a+4+9b 2+6b+1= (a2) 2+ (3b+1 ) 2=0 ,而(a-2) 2用，(3b+1 ) 2洱,.a- 2=0 , 3b+1=0 ,解得

15、a=2 , b= -4：. J点评：本题考查了两个知识点：完全平公式的逆用；平数非负数的性质.12、试求出所有整数 n,使得代数式2n2+n - 29的值是某两个连续自然数的平和.考点：完全平式。专题：计算题；配法。分析：先设两个连续自然数是 x、x+1 ,然后根据题意列出程，然后解以x为未知数的一元次程，然后利用多次程有整数根的条件来解.解答：解：设两个连续自然数是 x、x+1 ,则根据题意知2n2+n - 29=x2+ （x+1 ） 2,化简为 2x2+2x+30 - 2n2-n=0xU"X（3O-2）F = 44因为x是自然数，所以4n2+2n - 59必为某个整数的平（完全平

16、数），因此设4n 2+2n - 59=k 2- 2±也-16 （ - 59 - 2士 匐4熊包小 - n=因为n是整数，所以4k2+237必为某个整数的平（完全平数）设 4k2+237=a 2贝U有 a2 - 4k2=237 ,即（a+2k） （a2k） =237 ,所以有a-2k=L 或储-Z-由 式得 4k2+237=119 2或 412,代入 式得ni=10 , n2= - 30,，符合条件的整数n是10或-30.点评：本题主要考查了利用完全平式的应用.两数的平和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平式.13、试说明：（a2+3a） （a2+3a+2 ） +1是一个完全

17、平式.考点：完全平式。专题：证明题。分析：把a2+3a看成整体，先利用单项式和多项式的乘法法则展开，再写成完全平公式的形式即可.解答：证明：(a2+3a) (a2+3a+2 ) +1 ,=(a2+3a) 2+2 (a2+3a) +1,=(a2+3a+1 ) 2,(a2+3a) (a2+3a+2 ) +1 是一个完全平式.点评：本题主要考查了完全平公式的运用，整体思想使求解更加简便，把a2+3a看成整体是关键.14、已知 a=2002 , b=2003 , c=2004 ,求 a2+b2+c2- ab ac- bc 的值.考点：完全平式。分析：题中出现两个数的平和及两个数积时，考虑把它们组合整理

18、为完全平的形式，以简便运算.解答：解：.1 2 (a2+b 2+c2 - ab - ac- bc),=a +b - 2ab+a +c - 2ac+b +c - 2bc,=(a b) + (a c) + (b c) ,=(2002 - 2003) 2+ (2002- 2004) 2+ (2003 -2004) 2=1+4+1 ,二6 ,a +b +c - ab - ac - bc=3 .点评：本题考查了完全平式，对原式扩大 2倍求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配法 的思想.15、一个单项式加上多项式 9 (x-1) 2-2x-5后等于一个整式的平， 试求所有这样的单项式.考点：完全平式。专题

19、：综合题。分析：先化简原式，得到 9x - 20x+4 ,由于一个单项式加上多项式 9 (x- 1) - 2x- 5后等于 一个整式的平，故这个单项式可能是常数项， 可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论 即可.解答：解：9(x-1)2-2x-5=9x2-20x+4 ,又,个单项式加上9 (x- 1)之-2x- 5后等于一个整式的平,，此单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，9x - 20x+4+(3x-2) 2,故此单项式是 364于9x2-20x+4+8x= (3x-2) 2,故此单项式是 8x;,9x2 20x+4+32x= (3x+2 ) 2,故止匕单项式是 32x;,9

20、x2-20x+4+16x 2= (5x-2) 2,故此单项式是 16x2;故答案是 耳、8x、32x、16x2.点评：本题是完全平公式的应用；两数的平和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平式.注意积的 2倍的符号，避免漏解.16、是否存在一个三位数 abc (a, b, c取从1到9的自然数)，使得以be + be4+ cab为完全 平数？考点：完全平式。专题：推理填空题。分析：假设存在，那么三数之和可写成 111 (a+b+c),由于111 (a+b+c )完全平数，而111=3 >37, 且3、37是质数，故可知 a+b+c中必有因数3和37,又0Q+b+c磴7,说明a+b

21、+c中不含因 数37,从而aLbc+bca+oab是完全平数，这样的三位数不存在.解答:解：假设存在,根据题意得此c +cah=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111(a+b+c ),-111=3 X37,而3、37是质数，a+b+c的和中必有因数 3和37,又a, b, c取从1到9的自然数，0Q+b+c <27,a+b+c中不含因数37,，：，不是完全平数.故这样的三位数不存在.点评：本题考查的是完全平数、质数、不等式的有关知识.17、已知用23=0,求值： K考点：完全平式。分析：（1）利用完全平和公式（a+b ） 2=a 2+2ab+b 2解答;

22、（2）利用（2）的结果和完全平差公式（a-b） 2=a2-2ab+b2解答.解答：解：（1） .x+ 二3=0,x+ -3 ,工1 + （ x+ ） - 2=9 - 2=7 ,工2 宜即/=7 ；（2）由（1）知，/产尸，（x - -） = u 立- - 2=7 - 2=5 ,x-工点评：此题是完全平公式的应用；两数的平和，再加上或减去它们积的 完全平式.注意积的 2倍的符号，避免漏解.2倍，就构成了一个18、（1）当a= - 2, b=1时，求两个代数式（a+b） 2与a2+2ab+b 2的值;（2）当a=- 2, b= -3时，再求以上两个代数式的值；（3）你能从上面的计算结果中，发现上面

23、有什么结论.结论是：（a+b） 2=a2+2ab+b（4）利用你发现的结论，求：1965 2+1965 >70+35 2的值.考点：完全平式；代数式求值。分析：（1）、（2）将a、b的值分别代入以上两个代数式求值即可;（3）根据（1）、（2）的计算结果推导出完全平和公式；（4）利用完全平和公式计算.解答：解：（1）当 a= -2, b=1 时，（a+b） 2=1,a2+2ab+b 2=1（2分）（2）当 a= 2, b= 3 时，（a+b ） 2=25 , a2+2ab+b 2=25（4分）6分)(3) (a+b) 2=a2+2ab+b 2故答案是：(a+b) 2=a2+2ab+b 2(

24、4)原式=1965 2+2 M965 >35+35 22=(1965+35 )=4000000 ( 10 分)点评：本题是完全平公式的应用；两数的平和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平式.注意积的 2倍的符号，避免错解.19、如果x2+2 (m - 2) x+9是完全平式，那么 m的值等于m：=5 , m= - 1 .考点：完全平式。专题：计算题。分析：根据完全平公式，中间一项为 加，依此可求出m的值.解答：解： x2+2 (m-2) x+9是一个完全平式，.这两个数是x和3,2 (m-2)=电解得m=5或-1,故答案为 m1=5 , m2= - 1.点评：本题是完全平公式的

25、应用，两数的平和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平式.注意积的 2倍的符号，避免漏解，难度适中.20、当a=2, b=-3时，求下列各代数式的值(1) a2+2ab+b 2 (2) (a+b ) 2考点：完全平式；代数式求值。专题：计算题。分析：(1)代数式满足完全平的形式，先用完全平公式化成完全平的形式，再把 a, b的值代 入求出代数式的值；(2)直接把a, b的值代入代数式求出代数式的值.解答：解：(1) a2+2ab+b 2= (a+b) 2= (2 3) 2=1 .(2) (a+b) 2= (2-3) 2=1 .点评：本题考查的是代数式求值，(1)先化成完全平的形式，再把a, b的值代入代数式求出代数式的值.(2)代数式是一个完全平的形式，把a, b的值代入可以求出代数式的值.21、已知多项式4x2+1 ,添上一项，使它成为一个完全平式，你有哪几种法？考点：完全平式。专题：计算题。分析：这里可以认