第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

1、5. 11 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间答 是因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由 n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘 n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2全体正实数R+, 其加法与数乘定义为a b abkoa ak其中 a,b R ,k R 判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间 答 是 . 设 , R.因为 a,b R a b ab R ,R,a R oa a R ,所以

2、 R 对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1) a b ab ba b a ;(2) (a b) c (ab) c (ab)c abc a(bc) a (b c);(3) R 中存在零元素1, a R , 有 a 1 a 1 a ;(4) 对 R 中任一元素a ，存在负元素a 1Rn , 使 a a 1 aa 1 1 ;1(5)1oa a a ;(6) o oa oa a aoa ;(7)oa a a a a a oa oa ;(8) o(a b) o(ab) abab a boa ob.所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间 3. 全体实 n 阶矩阵，其加法定

3、义为A B AB BA按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答 否.Q A B AB BA,B A BA AB (AB BA)AB与BA一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（1 ）,全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4.在P2 2中，W A/A 0, A P22 ,判断W是否是P2 2的子空间答否.1 211 23例如 和的行列式都为零，但3的行列式不为零，也就是说集合对加法1 23 34 5不封闭.习题5.2由 1234 M1 .讨论P22中-111 a1111A A1 1a 11 a的线性相关性.解设x1Ax2 A2X3A3x4 A4Oa

4、x1 x2X3X40x1 ax2即1*3X40.由X1X2ax3X40X1X2X3ax401 a 1 13(a 3)(a 1)31 1 a 1111aa 1 1 1知，a 3且a 1时，方程组只有零解，这组向量线性无关;a 3或a 1时，方程组有非零解，这组向量线性相关2 .在R4中，求向量在基1, 2, 3, 4下的坐标.其中01210011110，= _ =1 0 '23 '30，4111101x1 1x2 2X3 3X441210M01000M11111M0初等行变换0100M00301M00010M11101M10001M013 . 故向量在基1,2,3,4下的坐标(

5、1, 0 , - 1 , 0 ).3. 在P2 2中求x14已知则有在基111 1，-11 -1000下的坐标.0x2x1x1x1x1x3 3x40x2 x3x2x20x2x30x30x3x4 0x4 0x4 0x4已知R3(n)1）2）3）解 （ 1）设初等行变换000111213011 2213 304 .故向量在基1,2,3,4下的坐标为（-7， 11， -21， 30） .的两组基1=1111= 2110-13，4求由基（I）到基（n）在基在基求在两组基下坐标互为相反数的向量C是由基23341, 2,1, 2,13= 01的过渡矩阵;3下的坐标为3下的坐标为10-11-1（I）到基（n

6、）的过渡矩阵10C,1,求,求在基在基1,1,1,2,2,3下的坐标；3下的坐标;2, 31, 2, 3 C14311知基(i)到基(n)的过渡矩阵为（2）首先计算得C在基下的坐标为（3）在基3下的坐标为(4)设在基1 , 2 , 3下的坐标为V1234V1V1y2,据题意有 010y2y2y3101y3y3V10解此方程组可得y2 =k 4 , k为任意常数y3314k 2 3k 3 k 0 ,k为任意常数.75.已知Px4的两组基23.2 一.（I ） ：f1（x）1xx x , f2（x） xx ,f3（x） 1x,f4（x） 11011M01111000M 11101110M1011初

7、等行变换0100M 00111100M11010010M 01121000M11100001M 1113Q有(1,x, x23，x )(1,x, x2,3x )11100011C01121113(2)设多项式f(x)在基(I)下的坐标为(x1,x2,x3,x4)T.x1x1x1据题意有C x2x2x2(C E)x3x3x3*4x4x40(*)因为C E011011010111112121100 0111 02所以方程组(*)只有零解，则f(x)在基(I)下的坐标为(0,0,0,0) T ,所以f(x)习题5.3证明线性方程组3xx26x34x42x502/2x23x35x43x50X5x26x

8、38x46x50的解空间与实系数多项式空间Rx3同构.证明设线性方程组为AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换3164215686A22353初等行变换043751568600000QR(A) 2线性方程组的解空间的维数是5-R(A) 3.实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间Rx3同构.习题5.41 .求向量 1, 1,2,3 的长度.解1( 1)2315 .2 .求向量 1, 1,0,1与向量 2,0,1,3之间的距离.解 d( , ) I |，。2)2一(1-0)2(0-1)2(1-3)2.7.3 .求下列向量之间的夹角(1) 1,0,4,3 ,1

9、,2,111,2,2,3 ,3151(3)1,1,1,2 ,3,1, 1,0解(1) Q1 ( 1) 0 2 4 1 3 ( 1) 0, a,(2) Q1 3 2 1 2 5 3 1 18,|；12 22 22 3218,| |321252126,18 arccos 618(3) Q ,1 3 1 1 1 ( 1) 2 0 3,|J9 1 1 011 ,arccos3.77 .3.设，为n维欧氏空间中的向量，证明：d( , ) d( , ) d(,).证明 因为I I(，)所以)()2(2|)2,从而 d(,d().习题5.51.在R4中，求一个单位向量使它与向量组11,1, 1, 1 ,21

10、, 1,1,1 ，31, 1,1,1 正交.解设向量(4X2，X3，X4)与向量3正交(，则有 (,(,即X1X1X2X2X2X3X3X3X4X4X00(*)0齐次线性方程组(*)的一个解为X1X2X3X41.(1,1,1,1),将向量单位化所得向量2.将R3的一组基化为标准正交基.(1 )正交化，取1,2)1)1112 111111111323133)1 12,3)2)213 ( 1) ( 3)(2 )将1, 2 , 3单位化1 22 21 2(3)(3)( 3)132313120121313 ,1,3162616120120为R3的一组基标准正交基3.求齐次线性方程组X1X2X3 X4 3

11、X50X1X2X3X50的解空间的一组标准正交基 分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解 系再将其标准正交化即可 解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11113可得齐次线性方程组的一个基础解系1111000 , 21 , 300040011由施密特正交化方法，取11/21/311/21/31110， 22 11， 33 121/3223004001113单位化得单位正交向量组11*112 0 ,01/21/232 131/31/31/341*1,2,33. 设证明：A 1, A-，A n也是Rn中的一组标准正交基.因为齐次线性方

12、程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以是解空间的一组标准正交基n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基，A是n阶正交矩阵，证明因为1,n是n维实列向量空间 Rn中的一组标准正交基，所以(i， j) i j(i, j 1,2,L,n).又因为A是n阶正交矩阵，所以AT A E. 则(A i,A j) (A i)T(A j)T(ATA)J (i,j 1,2,L,n)j故 A 1, A,A n也是Rn中的一组标准正交基5.设3是3维欧氏空间V的一组标准正交基证明11 3(2 1 223),13(23),也是V的一组标准正交基.证明由题知1,2,3因为B.3正组标准正交基12的行向量组

13、是单位正交向量组所以从而1 , 2, 3也是正交矩阵.所以3是单位正交向量组，构成V的一组标准正交基.习题五一、填空题(A)1 .当 k 满足 时，i 1,2,1 , 223 k , 13,k,3 为 R3的一组基.解 三个三维向量为 R3的一组基的充要条件是| 1, 2, 30,即k2M k 6.2 .由向量 1,2,3所生成的子空间的维数为 .解 向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量组的秩，故答案为1.3. R3中的向量3,7,1在基11,3,5, 26,3,2, 33,1,0下的坐标为解根据定义，求解方程组就可得答案设所求坐标为（x,x2,x3）,据题意有1x2 2 x3 3为了便

14、于计算，取下列增广矩阵进行运算初等行变换1 0 0M 1540 10M 82 ,0 0 1 M 33所以(X1,X2,x3) = (33,-82,154).4. R3中的基1, 2, 3到基2,1,3 , 21,0,1 , 32, 5, 1 的过渡矩阵为21解因为(1, 2, 3)( 1, 2, 3) 103125 ,所以过渡矩阵为15.正交矩阵 A的行列式为 解AT A |E A2 1 A 1.6.已知5元线性方程组 AX = 0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为 解 5元线性方程组 AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 - 3 =2个向量,故解空间的维数为2.7.已

15、知 12,1,1,1 , 22,1,a,a ,33,2,1,a ,44,3,2,1不是R4的基且a 1,则a满足 .解 四个四维向量不是 R4的一组基的充要条件是| 1, 2, 3, 41 0,则a 1或1.2一，1故答案为a -. 2二、单项选择题1 .下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是().(A) ViXi,0, ,0,Xn Xi,XnR(B)V2X1,X2,Xn |x1X2Xn。, 4R(C)V3X1,X2,Xn |X1X2Xn1, XiR(D) V4Xi,0,L ,0,0 XiR解 (C )选项的集合对向量的加法不封闭，故选(C).12.在P33中，由A2生成的

16、子空间的维数为().3(A)1(B) 2(C) 3(D) 4解 向量组A= 2生成的子空间的维数是向量组A的秩，故选(A).33.已知1, 2, 3是R3的基，则下列向量组()是R3的基.(A) 1(B) 12 2,2 23 3,3 3(C)(D)3,222 3,3 110 1解 因(B )选项中(12 2,2 23 3,3 31)=( 1, 2, 3) 2 2 00 3 31 0 1又因2, 3线性无关且1线性无关.2 2 0 可逆，所以 1 2 2,2 2 3 3,3 30 3 3故选(B)4.已知(A) 1(C)11, 2, 3是R3的基，则下列向量组(B) 1 2 2, 2(D)1 2

17、 2, 2不是R3的基.2 3, 32 12 3, 12 3解 因 ( 12) ( 23) ( 13)0 , 所以 ( C )选项中向量组线性相关, 故选(C)5 n 元齐次线性方程组AX = 0 的系数矩阵的秩为r, 该方程组的解空间的维数为s, 则().(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选 ( B)6 已知 A, B 为同阶正交矩阵, 则下列 ()是正交矩阵(A) A+B (B) A-B (C) AB(D) kA ( k 为数)解 A, B 为同阶正交矩阵AB(AB)T ABBTAT AAT E 故选( C)7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩

18、阵()(A) 一定不可逆(B) 一定可逆(C) 不一定可逆(D) 是正交矩阵选 ( B)(B)1 已知R4 的两组基(I ) ：1 , 2 , 3 , 4(卫)：1 1 2 3 4， 22 3 4， 33 4， 4 4(1 )求由基(n)到(i)的过渡矩阵；( 2 ) 求在两组基下有相同坐标的向量.解(1)设C是由基(I)到基(n)的过渡矩阵 ，已知100011( 1, 2, 3, 4) ( 1 , 2, 3, 4)1100101111所以由基(n)到基(I)的过渡矩阵为C110001100011000112)设在两组基下有相同坐标的向量为,又设 在基(I)和基(n)下的坐标均为(x1,x2,

19、x3,x4) , 由坐标变换公式可得XiXiXiX2X2一X2一 .C ，即(E C) 0(*)X3X3X3X4X4X4齐次线性方程(*)的一个基础解系为(0,0,0,1),通解为X (0,0,0, k) (k故在基(I)和基(n)下有相同坐标的全体向量为010 2 0 3 k 4 k 4 (k R).2.已知1, 2, 3是R3的基，向量组1, 2, 3满足131231223 ,2313(1)证明1, 2, 3是R3的基；(2)求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵；(3)求向量 1 2 23在基1, 2, 3下的坐标.解(1 )由题有1 1 0(1, 2, 3) 0 111 0

20、11 0 1(1, 2, 3) 1 101 1 1010(1, 2, 3)( 1, 2, 3) -1-121000 0 1(1 , 2, 3)( 1, 2, 3) 1001112 2 20 0 1因10 00,所以1, 2, 3线性无关1112 2 2故1, 2, 3是3个线性无关向量，构成 R3的基.(2 )因为010(1,2,3)( 1 , 2, 3 ) -1-12100010所以从 基 1 , 2 , 3到基1 , 2 , 3的过渡矩阵为 -1 -1 2100(3)1010122(1 , 2 , 3) -1-122(1 , 2 , 3) -511001131,2, 32所以 向量 在基

21、1 , 2 , 3下的坐标为5 .112213.设R4的两组基1, 2, 3，4与12,210000003=12且由基1, 2, 3, 4到基1 , 2, 3, 4的过渡矩阵为21110000400003512002111 , 2 , 3, 4；2)求向量13 2 4在基1, 2, 3 , 4下的坐标.解 (1) 因为 由基1, 2, 3,4到基 1 , 2, 3 , 4的过渡矩阵为C =2111000000003512所以( 1, 2, 3, 4) ( 1,122100002, 3, 4)C001-1000-120120022100-10130001000-50 0 0130037003所以

22、130100,2,300170001(2 )Q 123 2 4( 1， 2， 3， 4)12( 1， 2， 3， 4)C0/ 、1(1， 2， 3， 4) 12 ,701向量 123 2 4在基1，2，3，4下的坐标为12-74.证明6仪)1 x x2, f2(x) 1 x 2x2，f3(x) 1 并求f(x) 6 9x 14x2在这组基下的坐标.2x 3x2是线性空间Px3的一组基，证明 设 11fl (x) 12 f2(x) 13 f3(x) 0，2则有 t1(1 x x )22t2(1 x 2x ) t3(1 2x 3x )t1t2t30即t1t22t30 ( * )t12t23t301 1 1因为系数行列式1 1 21 2 3所以方程