山路引理在二阶椭圆型方程组中的应用

1、4在二阶椭圆型方程组中的应用接下来我们应用山路引理来证明变系数二阶椭圆型方程组边值问题的非平凡解的存在性。问题考虑变系数二阶椭圆型方程组Ldiv(a1(x) u) b1(x)u = f (x,u) - h1(x,u, v), x div(a2(x)Vv)+b2(x)v = g(x,v) -Zh2(x,u,v), xG(6)j = v = 0,x w 口 的非平凡解的存在性。其中C是RN(N 、3)中的有界区域，且具有光滑的边界 最。ai(x),a2(x) 0 ； b1(x),b2(x)之0 ； f,g:CMR1T R1, h1,h29M R1 父 R1 是 Caratheodory 方程，并且

2、存 在方程H :CMR1 MR1满足口c H(x,u,v) =(H(x, u, v), H (x,u,v) =(%(x,u,v),h2 (x,u,v)cu二 v不失一般性，我们设(u,v)H(x,u,v) = (00)(%(x,u,v)du +%(x,u,v)dv)现在我们考虑问题(6)的非平凡解的存在性，亦即考虑求泛函1 .22,(u,v) =2 Ja1(x)卜 u| bi(x)u |dx -F(x,u)dx1 222 a2(x)nv| b2(x)v |dx - j G(x,v)dx H(x,u,v)dx在H0(Q)xH；(Q)的临界点。其中uF(x,u) = ：0 f(x,s)dsvG(x

3、,v)=:0 g(x,s)ds(u,v)H(x,u,v) = 00)h1(x,s,w)ds+h2(x,s,w)dw接下来我们需要f(x,u)和F(x,u)分别满足以下假设条件：(fl) f wCgxRR),对于某个 2Pi 0| f(x,u)区 C0(|u| + |u|pU)；(f2)存在a1A2, B0,使得对于任意的|uR,xWC10 F F (x,u)三 uf (x, u)(f3) lim | f (x, u)/u |E- , 对 xWG 一致；(f4) f(x,u)/|u|是一个关于u(uWR 0)的增函数；其中e是一个很小的常数, ，力是算子-div(a1(x) -)+b1(x) 在

4、Dirichlet零边界条件下的主特征值。同样g(x,v)和G(x,v)满足以下条件：) gwC(CxRR),对于某个 2cp2 0|g(x,v)|Ec(|v|+|v1p2)；(g2)存在P1A2,R20,使得对于任意的|v|AR2,xWG0 ：二：1G(x,v) vg(x,v)(g3) V3 |g(x,v)/v|EK2一名，)xWC一致；(g4) g(x,v)/|v|是一个关于v(vW R 0)的增函数；其中e是一个很小的常数，%是算子-div(a2(x) ) +b2(x) 在Dirichlet零边界条件下的主特征值。对于H(x,u,v)h(x,u,v)和h2(x,u,v),我们需要以下的假

5、设：(%) H WC1(AMRMR),并且对于任意的 u,vWH0(C),h1(x, u,0) =h1(x,0,v) =h2(x,0, v) =h2(x,u,0) =0;(h2) H(x,u,v)至k, k是一个非正的常数;(h3)存在 1 % /,1 白 0,和 R0 使得当 |u | + |vBR 时，uh1 #vh24d(| u 十| v |0).我们首先定义在H0(G)MH0(C)空间中的范数为：|(u,v)|= |u|12 |v|129其中|u |1 =Jai(x)、u |2 bi(x)u2dx| v |2 -,Ja2(x) v|2 b2(x)v2dx下面我们来证明它是一个范数。证：

6、首先由于|(u,v)|的定义，可以知道|(,川是一个非负函数。接下来验证 其满足范数的条件。(a)已知|(u,v)归0同时由|(u,v)|的构造我们可以得到|(u,v)|=0u (u,v)=(0,0)。(b) V(Ui，vi),(U2，v2)H0(Q)xH0(Q)一一一一2 一 一 一.2.2_ .| (Ui,vi) (U2,v2) | =ai(x)、Uiu2 1bl(x)(ui U2) dxa2(x)pvi 32 12 b2(x)(vi v2)2dx 22=|ui U2 |i - |vi v2 |2222十 |vl|2 +二|Ui|i|也| ZJa-xQuJuz b(x)UiU2dx11v2

7、 谓 +2 a2(x)VviVv2 +b2(x)viv21dx 另一方面2(|(Ui,vi川 |(U2,v2)|)Ui Il2 +|U2 Ilf +|vi |2 +|v2|2 +2j(|Ui|2+|vi|2)(|U2|i2+|v2|2)由柯西不等式可得(/ajx)i uj u2 bi(x)uiu2dx - ia2(x) vj v2 b2(x)v1v2dx)2三(ai(x)卜 ui 12 bl (x)u2dx a2(x) vi |2 bi(x)vi2dx) (x) U2 |2 bi(x)u2dx#2(x)1v2|2 b2(x)v2dx)所以可以得出 |(ui,vi) +(u2,v2)l国1(3，

8、5)| +|(u2,v2)ll。(c) Vao-K,V(u,v)=H0(Q)Hci(Q)卜o(u,v)卜.Jai(x)| J u|2 bi(x)(： ou)2dx Ja2(x)| J ovI2 2(x)(： ov)2dx=：oai(x)u|2 1bl(x)u2dxa2(x)卜 v|2 b2(x)v2dx= ：oll(u,v)|故上述定义的|(u,v) |是一个范数。定理 4:若 f(X,U)和 F(x,u)满足(f1)_(f4)，g(X,v)和 G(x,v)满足(g1)-(g4), 并且H(x,u,v), h1(x,u,v)和h2(x,u,v)满足()-S3),那么二阶椭圆型方程组(6)至 少

9、有一个非零解。证明：为了利用山路引理，我们需要逐条验证该引理的条件。1 二验证 P.S条件。设Wn =(UnM) U H0g)MH0g),满足%(Wn)T C,J 九产(Wn)T 0,我们有l(Un)2(Vn), ,H(X,Un,Vn)= C 0(1)(8)其中1.22、(U)=2a1(X)1 U 1b1(X)UdX-F(x, U)dX,1.99：2(v)Ja2(X) v| b2(X)v dX- . G(X,v)dX,-div(ai(x)i Un) bi(X)Un = f (X,Un) - hi(X,Un,Vn) 0(1)-div(a2(x)、Vn) b2(X)Vn = g(X,Vn) - h

10、2(X,Un,Vn) 0(1)(10)结合(9)与(10)我们可以得到一 、一.2 . . , 2_ .-，、.、.a1(X) Un |bi(X)UndX - . Un f(X,Un)dX，. . 川加(X,Un,Vn )dX22a2(X)卜 Vn |b2(X)VndX - , Vng(X,Vn)dX，fVnh2(X,Un ,Vn)dX-H|Un|1 -|Vn|2(11)取2r min(a1, P1),不失一般性，我们设a1 =min(a1,P1),从(8)与(11)我们得 到(当n足够大时)C 1 |Un |1 |M |211. OO. OO (2 ；),d(x)| Un| (x)Un a2

11、(x)卜 vn|b2(x)vndx一、11, 、r .-F(X,Un) -；/ f(X,Un)dX- . G(X”n) -；vng(X,vn)dX11j l：H(X, Un,vn) -”(X,Un,vn) -； hb(X,Un,vn)dX1122 、J - rl ：, 1 - r _之(万-)(|Un if +IM |2)+ bF(X,Un)dx + G(X,Vn)dx + M九, ，X . z、，-(Unhi(X,Un,Vn) Vnh2(X,Un,Vn)dXr .11 122： 1 -r1:1至已 一)(l|Un if 十 IM Il2)+ d1 Rd % 产十|% gdX2 rr 11-y

12、- .(|Un|：1 |Vn|；)dX M1其中M,M1,d1均为常数，由此5,4均为有界的，所以存在两个子列Unj，Vnj，满足 Unj T U,Vnj -V。由于H0(G) 学吧t Lp1。)为紧致的12,从(h3)可以得到 1H(X,u,v) = (h1(X,tu,tv)u h2(X,tu,tv)v)dt11dt(|tu|-1|tv|1)dt|u I V|1Md(j J); 1FQ弱rAf(X,Unj), h(X,Unj ,Vnj )f(X,U) , h(X,U,V)，、，一,、弱 ，、，、,、g(X,Vnj)h2(X,Unj,Vnj) 一g(X,V)h2(X,U,V)由 -div(a1

13、(X)+b1(X)，与-div(a2(X) ”)+b2(X) 的紧致性，与(9), (10)我们最终得到 Un T U,vn TV。 jj故(P.S.除件满足。2二验证存在正常数 之巳使得%J3其中Bp是h1(C)mh0(C)中以零点为 中心，以耳为半径的球。事实上，由条件(f3),(g3)可得，存在常数 30名名，以及 心0,使得当0 ItIM&,XWC 时，f(X,t)tg(X,t)tI- 1 -|- 2 -二从而，当It I6,xW建时，有12F(x,t)三万(1 一 ；)t ,-12G(x,t)三万。2 - ；)t2.联合条件(fi)与(gi),存在常数mi,m2使得F(x,t) -(

14、,i - ；)t2 m, |t|p1, 2-12pG(x,t) (2 - ；)tm21 tip2 .2利用Sobolev嵌入定理以及Poincar不等式可得，1 ；2p.F(x,u(x)dx 2(1 - -)|u|1 m |u(x)| dx1；oc-1(1-)|u|2 md|u|，2 /. 11；2L.G(x,v(x)dx 2,可取已足够小，以致E nL = -2m31p。0,10取适当 兀 以致12kmes(Q)|=陛0o即得/Bp。3 二找(U0,v)w H0(C)MH0(C),使得(u0,v)Bp,且%(U0，V0)E0。让h1表示-div(a1(x) ,) +n(x) 在Dirichlet零边界条件下的第一特征函数，h2表示div(a2(x) ,)+b2(x) ,在Dirichlet零边界条件下的第一特征函数。则hi,h2 0,且为了方便可让 hi2dx=1, khx=1。考虑下列函数 G G(t) = (t(hi,h2)1 212-2 - it 2 2t - F(x,th1(x)dx - . G(x,th2(x)dx H(x,th1(x),th2(x)dx,t 0由条件知bF(x,th(x)dx 2d1 gth1(x) 1a dx,U(x,th