数值分析计算方法试题集及答案

1、数值分析复习试题第一章 结论一. 填空题1. x* 为精确值x的近似值：），* = /*）为一元函数yl = /（X）的近似值； y =/（x*,y *）为二元函数），2 = /（x,y）的近似值，请写出下面的公式：e":* x*-x与工£ （yl* Hf（X *）1 £（、 *）£1（W卜/竽 % （"） x ）中力双 U*).Q*)+ 巩/LG,*)dx)'2e(x*) df (x*,y*) e(y*) w+2、计算方法实际计算时，对数据只能取有F艮位表示，这时所产生的误差叫 舍入误3、分别用2.718281, 2.718282作数

2、e的近似值,则其有效数字分别有 6位和1 /1-xlO2 27 位：又取JJ = L73 （三位有效数字），则|6-1.73k4、 设石=1.216,占=3.654均具有3位有效数字，则为七的相对误差限为 0.0055 O5、 设X =1.216,七=3.654均具有3位有效数字，则玉+当的误差限为 0.016、 已知近似值5=2.4560是由真值巧经四舍五人得到，则相对误差限为 0 0000204 .7、 递推公式卜。=也，如果取=J5、1.41作计算，则计算到加时，误小=叫1，】=1，2,差为1x10'这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 28、 精确值4* =3.1415926

3、5，则近似值3* = 3.141和町* = 3.1415分别有 3位和4 位有效数字。9、 若x = e2.71828 = x*,则x有0 位有效数字，其绝对误差限为1/2*2，。10、设x*的相对误差为2%,求（X*）"的相对误差0. 02n11、近似值£ =0-231关于真值x = 0229有（2 ）位有效数字；12、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差：13、为了使计算y = 10+ + 一二J 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式1 （x-1）2 （X-1）3y = 10+(3 + (4 6/)f)f, f =改写为工为了减少舍入误差，应将表达式扬所"

4、一丽丁改写2为 V200T + V1999 o14、改变函数fM = Jx+-yx （ X）的形式，使计算结果较精确/W=15、设X =2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值X=_2.315O16、 已知数e=2. 718281828.,取近似值x=2. 7182,那麽x具有的有效数字是4 。二、单项选择题：1、舍入误差是（A ）产生的误差。A.只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值2、3.141580是n的有（B ）位有效数字的近似值。A. 6B. 5C. 4D. 73、用1+*近似表示/所产生的误差是（ C ）误差。A.模型

5、 B.观测 C.截断 D.舍入x4、用1+3近似表示W + x所产生的误差是（d ）误差。A.舍入 B. 观测 C.模型 D.截断5、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有（C ）位有效数字©A. 5 B. 6 C. 7 D. 86、( D )的3位有效数字是0.236X102。(0 235.418 (D) 235.54X10-1(A) 0. 0023549X103 (B) 2354. 82X10-27、取小 a 1.732 计算 x = (>/3 I)4(A) 28-1673 ;(B)(4-2a5)2：下列方法中哪种最好？16（C） （4+2>/3）2 .(C )

6、 16(D)函+1)二三、计算题1.有一个长方形水池，由测量知长为（50±0. 01）米，宽为（25±0.01）米，深为（20±0. 01）米，试 按所给数据求出该水池的容积，并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式，并求出绝对误差限和 相对误差限.解：设长方形水池的长为L,宽为W,深为H,则该水池的面积为V=LWH当 L=50, W=25, H=20 时，有 V=50*25*20=25000 （米 3）此时，该近似值的绝对误差可估计为QVQVQV(V卜瓦+而”)+而(")=WHS(L) + HS (W) + LIVA (H)相对误差可估计为：,（v）=

7、y而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足|a（l）|< 0.01,|（）|< o.oi,|a（h）|< o.oi故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为A(V)|<W/7|A(L)| + /7L|a(W)| + LWz|a(H)|425*20*0.01+50*20*0.01+50*25*0.01 = 27.502.已知测量某长方形场地的长a=110米，宽b=80米.若a-d <0.1（米），bb <0.1（米）试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为s=ab当 a=110,b=80 时,有 s=110*80=8800（米 2）此时

8、，该近似值的绝对误差可估计为（5卜？7。） + ?乂方）oa db=bA（«） + r/A（/?）相对误差可估计为：与卜卜生! S而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足|a（）|<o.i,|a（/?）|<o.i故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为|a(5)|</?|a(«)|+<z a(/?)<80*0.1 + 110*0.1 = 19.0(5)1 = 121 < 112 = 0.002159“力 I s I 8800绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。3、设x*的相对误差为2%,求(X*)"的相对误差解

9、：由于/(x) = x" J a)= nx"-',故& = (/)" -x" x n(x )"T(x-x*)故与.= a n / = ns,. = 0.02(x )" x4、计算球体积要使相对误差为1%,问度量半径R允许的相对误差限是多少？ 解：令1/ = /(幻=±”叱，根据一元函数相对误差估计公式，得需卜便卜件卜(R)= 3£&(R)G%从而得分 (R) 413005.正方形的边长大约为100cm,问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)

10、cm=0. 5*10*2cm, a 的误差不超过。. 005cm 时,才能保证 其面积误差不超过1平方厘米。6.假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100. 00m,且已知其测量误差为0. 005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。V*-V=27?(r*-r)=2*3. 1415926*50*100*0. 005=157. 0796325y */ * -r-=2=0. 0002V r第二章 插值法一、填空题：41 .设xj(i=0,1,2,3,4)为互异节点，lj(x)为相应的四次插值基函数，则(X)= /=o(x“+2) .2.设Xj(i=0,1,2, 3,4

11、, 5)为互异节点，"(x)为相应的五次插值基函数，则Z (55 + 2x； + X： +1% (x) = x5 + 2x4 + x3 +1 r-()/(x) = 21 + 5,贝犷123,4 =2，/口 ,2,3,4,5 =04 . f(x) = 3x?+L贝肝1,2,3 =3,fl,2,3,4 = 0。5,设 /(x) = 3z2 +5,ta = kh,k = 0,1,2, 则汇*+21=3,yxn,xn+1, xn+2，么 m+*=o6 .设/® =4/ +2x4 +3x2 +1和节点纵=-2天 =0,1,2,则/的,孙，：4.7 .设/(0) = 0,/(1) =

12、16,/(2) = 46,则/0,1 = 16,/0,1,2 = 7, /(%)的二次牛 顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0) (x-1) °8 .如有下列表函数：0.20.30.4/(七)0. 040.090. 16则一次差商/ 0.2,0.4 =0.69、2、/=-1，/(2) = 2, /(3) = 1,则过这三点的二次插值多项式中/的系数为:2,拉格朗日插值多项式为 4(M = _，(x_2)(x_3)_2(x_1)(x_3) +，(x_1)(x 2)322一 2/+9x810、对/(X)= / + x +1,差商/°J23 =(1),/。1,2,3,4

13、=(0).11、已知f(1) = 2, f (2) = 3 , f(4) = 5. 9 ,则二次Newton插值多项式中V系数为 (0.15 );12、设/(。)=。,/=16,/(2) = 46,则h(x) = _x( v_2), fW的二次牛顿插值多项式为N2(x) = 16x + 7x(x-l)。13、，。(X)，4(工)，4(工)是以整数点*为节点的Lagrange插值基函数，则1?%()一I一，1>"(乙)工L，当之2时£思+寸+3%(x)=,A-o( x + x +3 )og皿片_314、设一阶差商与一勺 2一1,1 / 1小2，%）=，(电6 7 _54

14、-2 2则二阶差两/(xpx2,x3) =工2，石）=/。2，均）一丁（，12）_ /-（-' _ I14-115、通过四个互异节点的插值多项式p（x）,只要满足三阶均差为0,则p（x）是不超过二次的多 项式16、若/(x) = 3/ + 2x + 1,则差商/2,4,8,16,32=二.单项选择题：1、设f （7）=1,尸（0）=3,尸=4,则抛物插值多项式中V的系数为（A ）oA. -0. 5B. 0. 5C. 2D. -21/12、拉格明日插值多项式的余项是（B ），牛顿插值多项式的余项是（C ） o(A)f (x, xO, x1, x2, , xn) (x x1) (x -x2

15、) (x -xn -1) (x -xn),(B)(0f (x, xO, x1, x2, , xn) (x -xO) (x -x1) (x -x2) (x -xn -1) (x-xn),X00.511.522.5f(X)-2-1.75-10. 2524.2540）= /（幻一（工）=5 + 1)!(D)3、有下列数表所确定的插值多项式的次数是（ A ） o（A）二次； （B）三次： （C）四次； （D）五次4、由下列数表进行Neirton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ）11.522.533.5/（七）T0.52.55.08.011.5(A) 5；(O 3；(D) 2。(B)4；2

16、A4优）=5、设4（"）是以4=人优=°'为节点的Lagrange插值基函数，则人。X01234f(x)1243-5(D) lo(C) l ;确定的唯一插值多项式的次数为（A ）(01：3。（A） x ;（B）6、由下列数据（A） 4：（B）2;三、问答题1. 什么是 Lagrange 插值基函数？它们有什么特4 （勺）=<答:插值基函基/式展）（ =°，L，4是满足插值条件次插值j （行二5 f 1）（if）多项式，它可表示为（大一小）（大一为-1）（为一百+1）（不一醺）并有以下性质，Z '式，）二 1 i-02 .给定插值点（肛

17、3;）1 = °，1，n）可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它 们 是 否 相 同？ 为 什 么？ 它 们 各 有 何 优 点？答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为LrS） Newton插值多项式为川式乃它们形式不同 但都满足条件Lx（X）=/,肌（均）二/G = QL,），于是1式不）一可,«）=0/二0,1，,它表 明n次多项式14伏）一M/乃有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故 L0） =况（工）即LK工）与力是相同的。L/x）是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而N/工）每

18、增加一个插值点就增加一项前面计算都有 效，因此较适合于计算。3 . Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？ 答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些， 但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为Rg)而Hermite插值余项在有条件的点号看作重节点，多一个条严理旗件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为（次+1）1后面相因子（了一片）改为2侬-%）即可得到Hermite插值余项。四、计算题1、设%） = /+5/+1,求差商 /2。,2,/2。,2122,/

19、2。,21.,27,/2。,21.,28解：/2° = 7,/21 = 169,/22 = 16705 ,故 /2°,2' = 162,/2,22 = 8268,/2°,21,22 = 2702 根据差商的性质，得/2。,21,21/2°,2.,28 = - = 0xi: 122、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式：尤 2 3)，；1 -1解：根据已知条件可求得<z()(x) = (2a-1)(x-2)2,<z(x) = (-2x + 5)(x-1)2夕。(x) = (xT)(x - 2,/7(x) = (x-2)(x-1代入埃尔米特

20、三次插值多项式公式3 3 =)'跖(X)+>11 (戈)+9。W+yA W=2(2x-l)(x-2) +3(-2x + 5)(x-l) +(x-l)(x-2) -(x-2)(x-l)3、如有下列表函数：01234/(七)36111827试计算此列表函数的差分表，并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：X凶%03163211513187104279100N4(x) =3+3 (x-0) +1 * (x-0) (x-1)=x=2x+3, 0WxW14、给出Inx的函数表如下：.V0.400. 500.600. 70In a0.9162910.6931470.510826

21、0. 356675试用线性插值和抛物插值求In 0.54的近似值。1/1解答ln(X 54 %lnA 亡 (0.54 0.6)(0.54 0.7)1710- 54 = 一(0.5 C.6MO.5 0，)一0.54 8 5)(0： 54 0.7) (0, 6 0, 5)，0. 6 077 j(0. 51 0. 5) (0. 54 。.6)X <- 0,693 147) +X (- 0.510 825)十(。7 0.5)(0.7 0.5)一 0-616 838 2X(一 0. 356 675)=注记 若取4 = 0. 4., x1 = 0.5.勺-G.6,则)由0. 546 615 319

22、8.5.已知X-112F（X）317请依据上述数据求f （x）的2次Lagrange插值多项式。解：记改）=一1,玉=1,& =2,则/（玉）=3,/（%） = 1,/'（）=一1所以以=尸）+ f&）（）10 - 玉）（王）一 %）（玉 一 X。）（玉）一）+/(&)*,一与）（X一2）口 一人0）（王一士）3x (l)(x-2) rJx + l)(x 2) 一 (-1-1)(-1-2)(1 +1)(1+ 2)+ (-l)x(x + l)(l)(2 + l)(2-l)线性插值，取5 = 0-5,A = 0,6,则誓二(一 0： 693 147)十5 - 0.

23、600 54 0 S一。 510 826) =- 0, 620 2195 qv U. 3次插值5取 了、= 5 工 1 = 0.6,工2 = 0.7,得.= l(x-l)(x-2)-l(x + l)(x-2)-1(x + l)(x-l) 乙乙J6 .用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f （0）=1, f （1）=2, f （2）=9, f' （1）=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出 4（同=乂3 = 3/-21+1设待插值函数为：（x） = N （x） + A:（x0）（x-l）（x-2）根据”；（1） = /（1） =

24、3,得参数攵=1,则&(X)= 丁 + 1 .插值余项为:4 (x) =(x)= - J x(x-1)2(x-2)1 7、 已知-V1345f(x)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求/(X)的三次插值多项式鸟(“)，并求/(2)的近似值 (保留四位小数)O2 (x-3)(x-4)(x - 5) 6*_1)(_4)(%_5)会去.3 , 一一(1-3)(1-4)(1-5)(3 1)(3 4)(3 5)+ 5 (D(x-3)(x-5) + 4 d)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为号一阶均差二阶均差三阶均差12362457754

25、-101/4R (x) = N3(X)= 2 + 2(x -1) - (x - l)(x - 3) + ； (x l)(x - 3)(x - 4)/(2)比尸式2) = 5.58、已知sin工区间0.4, 0.8的函数表1 Ji 0.40.50.60.70.8,/0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差3! 尽量小，即应使33。“尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点(050.6,0.7最好，实际计算结果 Sin 0.63890.596

26、274, 且|sin 0.63891 -0.596274 |<1(0,63891 -0.5)(0.63891 -9 - 0.6)(0.63891 -0.7)| 3!< 0.55032 xlO-49、取节点X。= °"| = °5犬2 = 1,求函数/“)= e”在区间0,1 上的二次插值多项式与M ,并估计误差。尸-。X(D5)( 'T)+ 产 x(°)('T)解：-(0 _ 0.5)(0 -1)(0.5 _ 0)( 0.5-1)+(,T (x-0)(x-0,5) (1-0)(1-0.5)=2(x - O.5)(x-1)- 4

27、2- 0 5Mx -1) + 2(尸 x(x - 0.5)f(x) = exJx) = M. = max fx) 1=1又X0.l|v 1I R2(x) 1=11 一一(x) K I x(x-0.5)(x-l) I 故截断误差 -一 3!10、已知f (H)=2, f (1)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式&")及f (1, 5)的近似值，取五位小数。3 (x) = 2x 解：(x-l)(x-2) (x + l)(x-2)_ (x + l)(x-l)(一1一1)(一1一2)(l + Dd-2)(2 + l)(2 1)1 /1234= -(x-l)(x-2)-(x

28、 + l)(x-2)-(x + l)(x-l) 。JVT15 六/(1.5) «L2(1.5) = « 0.04167用Newton插值方法：差分表:11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算)语的近似值，并利用余项估计误 差。1001211440120.04761900. 0434783-0. 000094113610+0. 0476190 (115-100) -0. 0000941136(115-100) (115-121)=10.7227555/ 3上(6=$x2 o因=(115-100X115-121X115-1441 3 -二<-100

29、 2 xl5x6x29«0.001636812、(10分)已知下列函数表:X0123fix)13927(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式：作均差表，写出相应的三次Nenton插值多项式，并计算/()的近似值。解：(1)-3)(心-3)+ 1心-2),(0-1)(0-2)(0-3)(1-0)(1-2)(1-3)(2-0)(2-1)(2-3) (3-0)(3-1)(3-2) ，/_2/+阻 + 1330 126181 32 9(2)均差表：3 274N1(x) = 1 + 2x + 2x(x-1) + -x(x-l)(x - 2)/(1.5)«yV3(1.5) =

30、5解:,2 27 r外=一丁十铲十113、已知y=f (x)的数据如下X023f(x)132求二次插值多项式 的及f (2.5)14(1 )试求Hermite插值多项式H ( x )使满足H(Zj)=f(Zj),j = 012, H，(a1) = /'(a1)X ) 以升准形式给出。11、 对于n+1个节点的插值求积公式，/。0公加£上，(4)至少具有1I次代数精度 2kZ二、单项选择题：1、等距二点求导公式f，(x1) «( A )ozC1/Uo)+ /Ui)心 /a)一 /(/) ( L J U J(A)"')(B)/a)-/(x。)一/% T

31、口 (X)办 a5)2、在牛顿-柯特斯求积公式：，。中，当系数5 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当(A )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(A) 之8,(B)27,(C) n>109(D) n>6f三、问答题1 .什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的被念去确定求积公式中的待定参数？ ,f(x)dx « V Akf(txS)答：一个求积公式Jati 如果当/R)为任意ni次多项式时，求积公式精确成立，而当“X)为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根 据定义只要令戈沃)二X节二0,1，,物)代入求积公式两端，公

32、式成立，得含待定参数的 时1个方程 的方程组，这里 m+1 为待定参数个数，解此方程组则为所求。四、计算题1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数 度.(D解：本题直接利用求令了二L 了,工，工/ + B + C=1n c 1&i +C =氏+C 二;砒+ c .4卬(0) +卬g) + qz式精确度定义，则可突出求积公式的参数。入公式两端并使其相等， 得=,A = _ ,B = 2C =263,6, 于是有加(工)« 1/(0)+ |/(1)+1/(1)故求积公式具有3次代数精确度。人/兄工J(- h) + AJW 丁 AJW J解

33、答(1)求积公式中含有三个待定参数，即人-上加4。,凡,将 f<X)= 1，8，炉分别代人求积公式，并令其左右相等，得%-i +。+ A = 2 力v h(Al - 4) = 0HAf +&)=白2斛得 A- = A - -h9A. = U/3,所求公式至少具有两次代数 o精确度.又由于f H，d7=4-( A)3 + 和肥)J fJ3(dtb 工，(一 h& + %、J -aa0故fMdx./(_ h) +言f(o)+ %(h)具有三次代数精 J A0J3确度2解：令了5) = 1，阳方代入公式精确成立，得A + B = 2h，一九4十麻=0/月+瓜；=-*Zj0= f

34、/八 H 夕(一”)？ + 3(；切3 :一g/勺=瓦3 = h,A= h 解得1322 ,得求积公对70) = /故求积公式具有2次代数精确度。2.求积公式+综/(0),已知其余项表达式为R(f) = k/4)E60,1),试确定系数4,4,为，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给 出代数精度的次数及求积公式余项。角翠：本题虽然用到了f(O)的值，仍用代数精度定义确定参数 4，4,与。令/(%) = 1,工,工2,分别代入求积公式，令公式两端相 f "%) = L A)+ A = 1f A)= i等,贝Li 得 < f (x) = x, A + 3()=丸求得 v A =

35、 g ,贝lj 有一 I /U) = x2，A =|b0=±£ fWdx = f/(O) + 1/(l) + 1/ (O)再令/(X)= X3,此时二丁心=卜 而上式右端=也两端不和等，故 它的代数精度为2次。为求余项可将/(X)= H代入求积公式£ fMdx = V(O) + ± Z(1) + iZ (O) + 4/* (),e(O,l) =1(x) = 3d" (x) = 6x, / (x) = 6,7彳弋<上.式1彳4±xy dx = ± + 6k,即4 =为，所以余项尺(/)=六尸(4),彳e (0,1) *,

36、3、根据下面给出的函数/(工)=咄的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式计算/寸手Xa0.0000. 1250. 2500. 3750.500f (xj10. 997397840. 989615840. 976726750.958851080. 6250. 7500.8751.000f (xj0.936155630. 908 851680. 877192570. 841 47098解用复合梯形公式，这里n=8, /? = 1 = 0.125 , 8j 把。X 2d至(y(0) + 2/(0.125) + /(0.25)“x 2+ /(0.375) + /(0.5) + /(0.625)

37、+ /(0.75) + /(0.875) + /(1) =0.94569086用复合辛甫生公式：这里n=4,/? = 1 = 0.25.可得4dx x - /(0) + 4/(0.125) + /(0.375) x 6+ /(0.625)+ /(0.875) + 2/(0.25)+ /(0.5) + /(0.75)+ /(1)= 0.946083305r11fMdx X A"(l) + /(I) + /(-)4、求4 8使求积公式J22的代数精度尽量高,I = V-dx并求其代数精度；利用此公式求X （保留四位小数），答案：是精确成立，即2A + 2B = 2求积公式小3却3&quo

38、t;端”4砂2当/（x） = x时，公式显然精确成立；当/W = x B寸，左=5,1右=3。所以代数精度为3。2 13-3i =fl 1 z 1 r 1J-" + 39 -1 + 31 q 8r 11 3+ - +1 + 39 -1/2 + 3 1/2 + 397T40、0.692865、r3,用复合梯形公式求心的近似值（取四位小数），并未误差估计。f1 exdx xl= e° + 2(e1/3 + e2/3 ) + e'1.7342解：J。2x3fM = ep(x) = e 0<x<lHt, l/7x)l<eIR 1=1 e " -

39、7; 1< = = 0.025 < 0.05 12x3z108至少有两位有效数字0qDa6、（15分）用 =8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差，用=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。网"|=-解：b-a1212 820 = = 0.001302 7681 / 1h1r（8）= /（）+2£/（s）+ /s）2i=_L1 + 2 X （0.8824969+0.7788008+0.60653066+ 0.5352614+ 0.47236655+ 0.41686207） + 0.36787947=0.

40、63294347、 （10分）已知数值积分公式为:八4"（0） + /（4）+劝 2"（0）-7'（切"2,试确定积分公式中的参数人，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：/（x）= l显然精确成立；M h2 h7f= _0 + /? + 21-1/。）="时，J。22:一、， f2Jx = = -0 + /zM + 20-2/ = -2x/?=>2 = /（幻=厂时，J。 32212 ;、3f3 = = -0 + /3 + /?20-3/22/（x）= x 时，J。 4 212:一 44Ja = -0 + / + /r0-4

41、/3 = fM = X 时，J。 52126 ;所以，其代数精确度为3。8、（10分）用复化Simpson公式计算积分 加 工 的近似值，要求误差限为0.5x10-5OS|=*（O）+”C）J= 0.94614588V Yl 4区-= 0.393x10 5/ =邑=0.94608693“ sin（x）. x2x4x6Xs/（X） = = 1-+ 一 + 或利用余项：、 x 3!5!7!9!x1 xA17x2! 9x4!因=端。（小L" 99、(9分)数值求积公式+ /是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？x 2x 1小)，。(x) = X/ + 口 X/解：是。因为/(X)

42、在基点1、2处的插值多项式为1-22-1：p(x)4x = + /(2)2。其代数精度为1。10、(10分)取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分。l + 2x2dx的近似值(保留4位小数)o1 /1f(x) =12、证明定积分近似计算的抛物线公式ab)V。)X,00.511.52f(x)10.6666670.3333330. 1818180. 111111l + 2x，(2分)解：5个点对应的函数值(1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5):7；=1 + 2x(0.666667 + 0.333333 + 0.181818) + 0.111111 2=0.868687

43、复化梯形公式(n=2,h=2/2=1):S, =ll + 4x(0.666667 + 0.181818) + 2x0333333 + 0J 11111 6= 0.86195311、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：Jo"。)/不 力 为/(1) + "取f(x)=1,x,令公式准确成立，得:441 I t 4141414 + A =-+ A = - A)=- 4 = %f(x)=x2Ht,公式左右=1/4; f(x)=x)时,公式左=1/5,公式右二5/24公式的代数精度二2具有三次代数精度力一以 rr a r.，l+4+l = i-a公式右边

44、： 3左边二右边&22 左边二右边证明：当时，八一 力仁办"-公式左边：也当切=*时X2,22左边：'22 右边当/=/时广/以=/上止巨匕里面+4,(空8+> = H左边：立 23 右边：b23 左边二右边广1小二匕广匕篙+小(丝与+川卜士Q左边：江4 右边： b24 左边二右边fy d 犷 一£X欧=d =_ 5 a 53口4 + 4，（止）此= 4 + 船% + 6/ + 加 川 + 妨4 H右边：B265故具有三次代数精度13、 试确定常数 A , B , C 和 a , 使得数值积分公式欧咫夕(-)+中(0) +W有尽可能高的代数精度。试问所

45、得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？1016A = C= - 9 B = 解99士石,该数值求枳公式具有5次代数精确度,第五章常微分方程 一、填空题1、求解一阶常微分方程初值问题)/=f Uy) , y(xo)=K的改进的欧拉公式为y“” =" +得"（/，y"）+fl，）'* ）1 乙2、解初值问题y' = /（x，y） .y（两）=%的改进欧拉法斓=+ +"（/,%）y“+i = l +4"（4，yn）+ /*，）吧）12是2 阶方法。<3、解初始值问题y 7(7)=为近似解的梯形公式是4、解常微分

46、方程初值问题=的梯形格式居*1 "J” +5/(7居)+ /(覆包居*1)是三殳方法 乙二、计算题1 .用改进欧拉方法计算初值问题dy 2dx0<x<l ,取步长h=0.1计算到y5。y（0） = 0解：改进的欧拉公式5=）1 +/"，）hy X=y + 5/（5，5，）+，）'“m）】代人/（x,y） = / +x-y,Kxn =nh,有y“u = y” +x： + Xn - y” + x：+i + xn+l-yn-h（x；+xn-yn） 乙=yn +0.05x（1.9x : + 2.lx n - 1.9y n +0.11） （n =0,.l,2,3,

47、4）XnYn0.10.20.30.40.50.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.145002.用梯形法解初值问题丁'=五 十五一 ，沙（°）二°取步长h=0. 1,计算到x=0.5,并与准 确解y = -e +x x+i相比较解 ： 用 梯 形 法 求 解 公 式， 得 y*+i = y* + 805 X a； +1* y* + 兀;+ + /+1 丁泥+1）解得川山+Q.Q5x（2x；+2.2x”+0.11）/L053 =（U2,3,4X,0.10.20.30.40.5改进Eulexr法0.005500.021930.050150.0

48、90940.14500梯形法0.005240.021410.049370.089910.14373精确解y&J0.005160.021270.049180.089680.14347精 确 解 为了co=_g彳+彳一才+3.用改进的Euler法解初值问邈y =x+ V, 0<X< 1 u/、:取步长h=0.1计算y（O.5）,并与精"（。）=1，确解），=-工-1 + 2/相比较。（计算结果保留到小数点后4位）解：改进的尤拉公式为:% =”+“（工，”）/（£»）+ /代入/（x，y） = x+），和 a; = nh ,有加=代入数），“+（2

49、+ /?）工+（2 + 力）”+可（2卜+2（而+ 2汕匕据，计算结果如下:n012345Xn00. 10.20.30.40.5yn11.11001.24211.39851.58181.7949y （Xn ）11.11031.24281.39971.58361.79744 .设初值问题 y =x2+l 00> y（0） = 0,a）由Euler方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式;b）由改进Euler方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。1/1解：a）根据 Euler 公式：=）'+"（£，'）3Ur+/x；+i

50、6;°y)l=ll£+O°O13 分b）根据改进Euler公式:"+1 =讣+好(%,%)小=尤 + 来 / (七，>”)+/ (%，”+J)5=尤 +(4+1。l +<1+100y-) 乙=yn +q("；+100v«+心+100 (%+力(片+1。为) 乙+(1200y；f+12x；+0.2An+0.01) 乙=61> + 0.006/z2 + 0.001/ + 0.0005v = r x>0,5 .设初值问题ly（o）= ia）写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式：b）写出由改

51、进Euler方法、取步长h=0. 1解上述初值问题数值解的公式。解：a）根据Euler公式:笫+1="+"（玉，州）)3 =尤 + ° K当一片)=0 9yli - 0M又=尤+/(%，)')b)根据改进Euler公式：</? /%M =尤+5(/(演，/)+ /'(为山，/7b乙为+1 = 乂 + , (乙 一- y”+i)乙=yn + J(五 一 线 + 七+i -(X + 卜(xn - yn)=为 + J (七 一)'“+ 七 +/?_%_/?£+ ”) 乙/?2-2/z + 2 2h h? h2=Vn .V. H22

52、2=0.905yw +0.095x + 0.0056、用欧拉方法求)'*) =卜-市在点x = 0.5J,0,1,5,2.0处的近似值。V(x) = f dr解：. J。 等价于yf = e"v"y(0) = 0(A->0)记 f(x,y) = 取力=0.5, % = 0,x,=0.5, X)= 1.0,七=1.5, x4 = 2.0则由欧拉公式%+i =B+/(/，力)，'o=°= 0,123可得y(0.5) * 乃=0.5, y(l.O)=为 土 0.88940y(1.5) y3 = l .07334, y(2.0) = y4 1.126

53、047、取步长 = °2,用预估-校正法解常微分方程初值问题yf = 2x + 3y .y(o)= 1>%=4+02x(2x+3)，)答案：解:M+1 = % + ° 1X (2xn + 3% ) + (24+I + 3 工T)n012345Xn00.20.40.60.81.0)11.825. 879610. 713719,422435. 0279丁+i = 0.52x + 1 .78y + 0.042"刃心1)8、(10分)求参数”防，使得计算初值问题1义“。)=)。的二步数值方法的阶数尽量高，弁给出局部极断误差的主项。h2力3y (乙+】)=)")+修(£)+引3”)+大丁的(£