新教材高中数学2.3(第2课时)一元二次不等式的应用讲义新人教A版必修第一册

1、第2课时 一元二次不等式的应用学习目标核心素养1 .掌握一兀二次不等式的实际应用（重点）.2 .理解三个“二次”之间的关系 .3 .会解一元二次不等式中的恒成立问题（难点）.1 .通过分式不等式的解法及不等式的恒成立 问题的学习，培养数学运算素养 .2 .借助一元二次不等式的应用培养数学建模壬主乐力仁.自主预习力播新知J新知初探I1.分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式同解不等式ax+ b-;>0(<0)cx+ d(其中a, b, c, d为常数)法一：ax+b>0<0ax+bv0>0或cx + d>0cx+dv0法二：(ax + b)( cx

2、+ d) >0( < 0)ax+ b3>0(<0) cx+ d ' '法一：ax+ b>0 <0ax+bwo >0或ax + d>0cx+dv0法二：ax+b cx + d >o <0cx + dwo<k,>k >k (其中k为非零实数) cx+ d< k先移项通分转化为上述两种形式思考1： 三3>0与（x3）（ x+2）>0等价吗？将TtI>0变形为（x3）（x+2）>0,有什么好 X I 2X I 2处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不

3、等式.2. （1）不等式的解集为 R或恒成立）的条件不等式ax2 + bx+ c>0ax2 + bx+ c<0a= 0b=0, c>0b=0, c<0awoa>0A <0a<0A<0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数y= ax2+ bx+ c若 ax2 + bx+ cw k 恒成立？ ymaxW k若 ax2+ bx+ c> k 恒成立？ ymin > k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系.(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不

4、等关系(或表示成函数关系).(3)解不等式(或求函数最值).(4)回扣实际问题.思考2:解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键 作用的未知量为x,用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.心初试身手.1.若集合 A= x| -K2x+1<3, B= x x2<0，贝U An B等于（）xA. x| -1< x<0B, x|0<xwiC. x|0 < x<2D. x|0 < x<1B -. A= x| -1<x< 1, B= x|0<xW2,

5、 . AH B= x|0<x<1.2 .不等式包>5的解集是 xx 0<xW；原不等式？>5x?<0? x4x 1 <0,解得 0<xw14x x - xxW0,43 .不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数 a的取值范围是 .a>4或av 4 = x2 + ax+4v0的解集不是空集，即不等式x2+ax + 4<0有解，= a2-4X1X4> 0,解得，a>4 或 av 4.4 .在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接/一T矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是

6、.弱机血x|10WxW30设矩形高为V，由三角形相似得：o=4040y,且x>0, - Ty>0, x<40, y<40, xy>300,整理得 y + x = 40,将 y= 40x 代入 xy >300,整理得 x2- 40x+ 300W 0,解得 10<x<30.-9 -合作探究崔素养分式不等式的解法【例1】 解下列不等式:x 3 xn <0；x+ 1(2) 2x3.解(1) xqr3<0? (x3)( x+2)<0? -2<x<3, x I 4原不等式的解集为x| 2<x<3.x+ 1(2) .

7、口w 1x+ 12x3 T" -x+ 4R w0,x 4 即->0.3x-233此不等式等价于（x4） x-2 >0且x 2w0,3解得x<2或x>4,3 , ，原不等式的解集为 x x<2或x>4.L规律方法ifi - - r口" 1r一次不等式组求解，（不要去分母），使之转1 .对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或但要注意分母不为零.2 .对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.卜踹踪避缥郎 x+15x +11 .解下列不等式：三4;（2）百<3.解(1)

8、根据商的符号法则，不等式x+ 1口>0可转化成不等式组X+ 1 x 3 >0, xw 3.解这个不等式组，可得XW 1或x>3.即知原不等式的解集为x| xw 1或x>3.(2)不等式空1 <3可改写为空;3<0,x+ 1x + 12 x 1x+ 1<0.可将这个不等式转化成 2(x-1)(x+1)<0,解得1<x<1.所以，原不等式的解集为x| 1<x<1.一元二次不等式的应用类型? |例2国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%

9、).为了减轻农民负担，制定 积极的收购政策.根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路点拨将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为 (8x)%; “收购量能增加 2x个百分点”，此时总收购量为 n(1+2x%)吨，“原计划的78%即 为 2 400 mx 8%< 78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元.y = 2 400 n(1 +2x%) -(8 x)%=11m x2 + 42x- 400)(0< x< 8).25依题意，得 y>2 400 mx 8%

10、< 78%即2|m(x2+42x 400) R2 400 RIX 8%< 78%整理，得 x2+42x-88<0,解得一44W x<2.根据x的实际意义，知x的范围为0<xW2.现更国®求解一元二次不等式应用问题的步骤阅读理解、认真审fig.把腕网触中的关楙场.、找准不等关系!1将文字语言转化为符号语言.用不等式表加不等关系*建立相通的数学模量J髀不等式，得到数学结论，理注意数学稷型中元素的实际意义JJ回归实际问题，将数学结论还原为实际问题 的结果3.若函数y=x2+2(a 2)x+4对任意3w a<i时，y<0恒成立，如何求x的取值范围?

11、提示：由于本题中已知 a的取值范围求x,所以我们可以把函数 f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数 x的取值问题，则令 y=2x a+x2 4x + 4.要使对任意3< a<1, y<0恒成立，只需满足2x+x2-4x+4< 0-3 X2x+x2- 4x+4< 0,x2-2x+4<0, x2- 10x+ 4<0.因为x2 2x+ 4<0的解集是空集，所以不存在实数 x,使函数y=x2+2(a-2)x+4对任意3w aw 1, y<0恒成立.【例3】 已知y = x2+ax+ 3-a,若2& x<2, x2+ax+3 a&g

12、t;0恒成立，求 a的取值 范围.思路点拨对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解.解 设函数y=x2+ax+3 a在一2w xW2时的最小值为关于 a的一次函数，设为g( a), 则(1)当对称轴x=- a<-2,即 a>4时,g(a) = ( - 2)2 + ( - 2) a+3-a=7-3a>0,解得7 aw 一， a 3'与a>4矛盾，不符合题意.2a 一,a . 一(2)当一2w 2W2,即一4w a<4 时，g(a) = 3a彳>0,解得一6w aw2,此时一4w a<2.(3)当一5&g

13、t;2,即 a< 4 时，g(a) =22+2a+3-a=7+a>0,解得 a>- 7,此时一7w a<一 4.综上，a的取值范围为一7w a<2.母鹿探究1.(变结论)本例条件不变，若 y=x2+ax+ 3a>2恒成立，求a的取值范围.解 若一2w xW2, x2+ax+3a>2恒成立可转化为:当一2w x<2 时， y min A 2-a<- 222,ymin = 2 2a + 3 a = 7 3a > 2,a- 2&产2,2y min =a 2aa2 +a，- 2 + 3 a = 3 a 42,a常-2>2,或 2

14、ymin = 2 + 2a+3 a=7+a> 2)解得a的取值范围为一5< xw 2+2，12.(变条件)将例题中的条件“ y=x2+ax+ 3-a, -2< x<2, y>0恒成立”变为“不等 式x2+2x+a23>0的解集为R”，求a的取值范围.解法一：二.不等式 x2+2x+a2 3>0的解集为R,，函数y= x2+2x+a23的图象应在x轴上方， ,2 =4 4(a -3)<0 ,解得a>2或a< 2.法二：令 y = x2+ 2x+ a2-3,要使 x2+2x+a23>0 的解集为 R,贝U a满足 ym®=

15、 a2 4>0,解得a>2或a< 2.法三：由 x2+2x+a23>0,得 a2> x2 2x+3,即a2>(x+1)2+4,要使该不等式在 R上恒成立，必须使a2大于(x+1)2+4的最大值, 即 a2>4,故 a>2 或 a<- 2.坦律方法1 .不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0, c>0；a>0,当awo时，A<0.2 .不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0, c<0;a<0,当awo时，A<0.

16、3 .解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主 元，求谁的范围，谁就是参数.课堂小心1 .解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.2 .对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问 题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分 离参数时，经常要用到以下简单结论：若f(x)有最大值f ( x) max,则a>f(x)恒成立？ a>f(x)max； (2)若f ( x)有最小值f(x)min, 则 a<f(x

17、)恒成立？ a<f(x)min.3 .在某集合A中恒成立问题设 y= ax2+ bx+c(aw。)若ax2+bx+c>0在集合A中恒成立，则集合 A是不等式ax2+bx+ c>0的解集的子集, 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).当堂达标科固5R基1 .思考辨析1(1)不等式x>1的解集为x<1.()(2)求解m>ax2+bx+ c( a< 0)恒成立时，可转化为求解y= ax2+bx+c的最小值，从而求出m的范围.()提示(1) 1>1? -1>0? x2<0? x|0<x<1.故(1)错. x xx2

18、2) m>ax2+ bx+ c( a v 0)恒成立转化为 m>ymax,故(2)错.答案(1)x (2) x3 .不等式x+1比x+3 >0的解集为x+ 4x| 4<x<3 或 x>1原式可转化为(x+1)( x+2)2(x + 3)( x+4)>0 ,根据数轴穿根法，解集为4<x<- 3或x> 1.4 .对于任意实数 x,不等式(a 2)x22(a2)x4<0恒成立，则实数 a的取值范围是-2<a<2 当 a2=0,即 a=2 时，一4<0 恒成立；当a 2W0,即aw2时，则有a 2 v 0,A = - 2 a 2 一 4x a