高等数学：D4_3分部

1、第三节由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu分部积分法 第四四章 例例1. 求.dcosxxx解解: 令,xu ,cosxv 则, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xv 则原式xx cos2xxxdcos2例例2. 求.dlnxxx解解: 令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx224

2、1ln21例例3. 求.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21例例4. 求.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 解题技巧解题技巧

3、:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v例例5. 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数例例6. 求.dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 则,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcosl

4、ntan Cxx tan例例7. 求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令例例8. 求.d xI23)1 (2x解解: 先换元后分部令,arctanxt 即,tantx 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan例例9. 求. )0(d22axax解解: 令,22axu, 1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axx

5、xaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22例例10. 证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .例例11. 已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2vu内容小结内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 :