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1、第七章 假设检验一、教材说明本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。1、本章的教学目的与要求( 1)使学生了解假设检验的基本概念;( 2)使学生了解假设检验的基本思想;( 3)使学生掌握假设检验的基本步骤;( 4)使学生会计算检验的两类错误,搞清楚两类错误的关系;( 5)使学生掌握正态总体参数的假设检验,主要是检验统计量及其分布,检验拒绝域的确定;( 6)使学生灵活运用所学知识解决实际问题。2、本章的重点与难点本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布,难点是假设检验拒绝域的确定。二、教学内容下面主要分3 节来讲解本章的主要内容
2、。§ 7.1 假设检验的基本概念对总体分布或分布中的某些参数作出假设,然后利用样本的观测值所提供的信息,运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立,从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程,称为假设检验。1. 引例我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法.例 1 : 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布 . 且知标准差为0.015 千克 . 当机器正常时, 其均值为0.5 千克 ,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9 袋 , 称得净重为( 千克 ):0.497 0.506 0.518 0.524 0
3、.498 0.511 0.520 0.515 0.512,问机器是否正常?分析:用 和分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差,则XN( ,0.0152),其中 未知。问 题 : 已 知 总 体 X : N( , 2) , 且00.015, 根 据 样 本 值 判 断 0.5 还 是0.5。提出两个对立假设H 0 :00.5(原假设或零假设)和H1 :0( 备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设H 0 ( 拒绝假设H 1 ) , 还是拒绝假设H 0 ( 接受假设 精选文档正常的.H1). 如果作出的判断是接受H 0, 则0 即认为机器工作是正常的, 否则 , 认为是不 一 -X C因为
4、X是 的无偏估计重,所以,右H0为真,则x 0不应太大,2N(0,1),0/jn一X n .一衡量x 0的大小可归结为衡量,的大小。于是可以选定一个适当的正数k,当观察0 NnXX值X满足A k时,拒绝假设H 0 ;反之,当观察值 x满足-0 k时,接受假设0/ ,n/、nH0O因为当Ho为真时,U0 N(0,1),由标准正态分布分位点的定义得k u /2U /2时,拒绝H。,u /2时,接受H0.23假设检验过程如下(1)若取定在实例中,0.05,则 k u /2 U0.0251.96,我们有P(|U | 1.96)p(|X0-n|1.96)0.05.又已知n 9,0 0.015,由样本算得
5、X 0.511,即有|u| =0/ % n2.2 1.96,于是根据小概率事件实际不可能性原理,拒绝假设H0,认为包装机工作不正常.(2)若取定0.01,则 k u /2U0.0052.58,|u|二0/、. n2.2 2.58,于是接受假设Ho,认为包装机工作正常.注:上述 称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平有密切的关系所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平下作出的.2.假设检验的基本思想及推理方法1)假设检验基本思想(1) 在假设检验中,提出要求检验的假设,称为原假设或零假设,记为Ho,原假设如果不成立,就要接受另一个假设,这另一个假设称为备择假设或对立假设,
6、记为H1O(2) 假设检验的依据一一小概率原理:小概率事件在一次试验中实际上不会发生。(3) 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立,然后根据一次抽样所得的样本值得信息,若导致小概率事件发生,则拒绝原假设,否则接受原假设。(4) 假设检验可能犯的两类错误:第一类错误(弃真错误):即假设H0为真而被拒绝,记为,即P拒绝Ho|Ho为真。第二类错误(存伪错误):假设Ho不真而被接受,记为 ,即P接受Ho | Ho不真适当的小。 当样本容量n一定时,不可能同时减少,在实际工作中总是控制2)假设检验的程序对任何实际问题进行假设检验,其程序一般为五步,即:根据题意提出零假设 H0 (或相应备选假
7、设 H1)。构造样本统计量并确定其分布;给定显著性水平,查表确定临界值,从而得出接受域和拒绝域;(4)由样本观测值计算出统计量的值;作出判断:若统计量的值落入拒绝域则拒绝H0,若统计量的值落入接受域则接受H03)假设检验的主要方法U检验法、t检验法、2检验法、F检验法。例2已知某产品使用寿命 X服从正态分布,要求平均使用寿命不低于1000小时,现从一批这种产品中随机抽出 25只,测得平均使用寿命为 950小时,样本方差为100小时。则可用 ()t-检验法2 -检验法Z-检验法F-检验法解选例3假设检验时,只减少样本容量,犯两类错误的概率()都增大都减少不变一个增大,一个减少解选21.例4正态总
8、体XN , 2 ,Xi,X2, ,Xn为样本,X Xi,假设检验n i 1H0 :2200为已知数,在显著性水平”下,则当n- 2xixU2()时拒绝H 0022 n 1 ;解由于当心成立时,(n4 (n4c而(MS1: 2(n i),故 0P(i2(n 1) P(2(n 1),于是选0§ 7 2单个正态总体的假设检验X : N(从燃),02已知,检验假设H0:小比U检验法: H。:二 0(H1:0或°或°)x统计量U 0= : N(0,1)(H。成立时)。/ <n给出,P U u ,查正表定u .2"2由样本值(x1, x2,L L , xn)计
9、算u的值判断:若| u | u /2,则拒绝H0(这是对双侧检验提出的 U检验法步骤,若是单侧可仿比)(2) XN(医02), 02未知,检验假设 H0:产两t检验法: H 0: =0 (H1:0或0或0)x_0_S* / . nt(n 1)(H。成立时)。给出,PT t (n 1),查t分布表定t_(n 1).221),由样本值计算T的值.判断:若t t (n 1),则拒绝H。,否则接受Ho(若是单侧可查t表定t_(n 22同样得出拒绝域) X : N( , 2),2未知,检验假设H。:2= 220.给出(n 1)S*2,Pn-(X-X)2i 1(n 1)P(n1)(Ho成立时)。(n 1)
10、,查2分布表定2(n 1)21(n 1).由样本值计算2的值判断:若22(n 1)或2(n1),则拒绝H。,反之则接爻H。.(一)已知方差例5设某产品的某项质量指标服从正态分布,已知它的标准差150,现从一批产品中随机地抽取26个,1600(0.05) ?测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为解(1)提出原假设:H0: p=1600, H1:产 1600(2)选取统计量UX一0n(3)对于给定的显著性水平u_U0.0251.962(4)计算统计量观察值0.05 ,查标准正态分布表xu 01637 1600150 ,261.258结论1.258 u1 - 21.96接受
11、原假设H0即不能否定这批产品该项指标为1600。(二)未知方差,检验 H0:例6某厂生产乐器用合金弦线,其抗拉强度服从均值为10560 (kg/cm2)的正态分布。现从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度(单位:kg/ cm2)为:10512 10623 10668 10554 1077610707 10557 10581 10666 10670对显著性水平a =0.05,问这批产品的抗拉强度有无显著变化?对显著性水平a =0.01 ,结果如何?(已知t0.05 91.833,t0.025 92.262,t0.01 92.821,t0W5 93.250)解 假设检验H0:10560,对H1:10
12、560方差未知时,检验数学期望选用统计量彳(Xi1 i 1x)2XT 一«,在H。成立时,TTn 1其中S2 S对给定样本值,计算得 x 1 x n i i110152 10623101067010631.4*2122s* x nxn 1 i 1590449例7已知某种元件的寿命服从正态分布,要求该元件的平土寿命不低于 1000小时,现从这批元件中随机抽取 25只,测得平均寿命X 980小时 标准差s 65小时 试在显著水1 105122 L 106702 10 10631.429所以,统计量的样本值t J 10631.4 10560 2.788 s_59044,n 9 10当显著性
13、水平“ =0.05时,拒绝域为 Tt0.025 92.262,这里I 2.788 2.262,落入拒绝域,所以在0.05不应接受H0,即认为抗拉强度有显著变化。当显著性水平a =0.01时,拒绝域为|T | t0.005 (9) 3.250,即认为这批产品的抗拉强度无显 著性变化。平 0.05下,确定这批元件是否合格1.171, t0.975(24)2.064 )(附表 t0.90(24)1.138, t0.95(24)分析元件是否合格,应通过寿命低于1000小时来判断(1000小时都合格),这里对总体均值的单测检验,2未知,用t检验法解提出检验假设Ho:0 1000, H1 :0 1000选
14、取统计量TX_0* ,S- n当Ho成立时Tt(n 1)由样本观测值,计算统计量所取的值。这里*x 980, s 65 得,980 1000t 1.5386525对显著水平0.05 拒绝域(临界域)t t1 (n 1)t0.95(24)1.71 1因为 tt0.95(24)1.711 ,未落入拒绝域,应接受 H。,否定Hi :即认为这批元件合格。(三)未知均值,检3叙H。: 2例5某工厂生产的铜丝折断力(单位:斤)服从正态分布 N ,82,某日随机抽取了 10根进行折断力检验,测得平均折断力为57.5斤,样本方差为68.16,在0.05下检3H0 : 2 82对 H1 : 282,0975 9
15、19.023,02025 92.7检验法,检验统计量为nS2对 n 10,0.05拒绝域为:22.0975 919.023 或n 10.097592.7有样本观察值,计算彳导210 68.168210.65因为 2 10.652.0259, 0.975 92.7,19.023所以接受H00例6某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005 (欧姆)。品9根,测得s=0.007 (欧姆),设总体为正态分布,问在水平今在生产的一批导线中取样0.05下能认为这种导线的标准差显著地偏大吗? (2.95 815.507, 2.975 817.5)分析凡方差“大于”、“不低于”、“偏大”、“偏小”等问题,
16、均属于方差的单侧检验问题,其假设的提出有两种方式:有的书提出原假设H。:22 一 ,,, 一0和备择假设H1 : 2;或原假设H。:2,H。与H是对立假设;有的书只提出(注意原假设含有等号),本教材按前者讲述。解用2 -检验法检验假设H0: H0: 20.0052, H1: 20 0.0052选用统计量2 n Is,当H0成立时,22 n 1 o由样本观察值,计算统计量所取值为2= (9 1)* 0. 007 =15.680.0052222一.2对 a= 0.05,由已知 0.95(8) =15.507,拒绝域i a9(n 1)0.95(8)=15.507。这里215.68>15.507
17、故拒绝H0,接受H1:即认为这批导线的标准差显著的偏大。§ 7. 3两个正态总体的假设检验(1) 12,2"已知,检验假设H0: 12U检验法: H0: 12(H1: 12)- X Y一.U2:N(0,1),(H°成立时)。12n1n2给出,查正态表定u万由样本值(x1, X2,L L , xn) , ( y1, y2,L L , yn)计算 U的值作出判断:若u u则拒绝H0,反之接受H0. 万(2) 12,;未知,但12=检验假设H。:12t检验法: H0:1 = 2 (Hi: 1 = 2或 12或 12)TX Y*2仍皿旦 : t(nn2 2)(H。成立时)
18、。4(n1 ) S1(02-1 ) S2Vn2同前(3) 1, 2,未知,检验假设H0:12= 2(Hi: 12 办F检验法: H。:12= 1(Hi : 12 力 F S;2/S22: F(n 1,02 1)(H0成立时)(一) 已知12及2 ,检验假设Ho : 12例1由累积资料知道甲,乙两矿的含灰率服从矿中各取几个试件,分析其含灰率为:甲矿:24.3 20.8 23.7 21.3 17.4乙矿:18.2 16.9 20.2 16.7(%问:甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望a=0.10) . ( Zo.901.28,Zo.951.64)解已知12及2 ,假设检验Ho: 1提出零假设H 0
19、: 12,对H1 :XN( 1,7.5), YN( 2,2.6)。现从两 (为1和2有无显著性水平差异?(显著性水平2,用Z检验法。12选取统计量 Z-一y 2( 1 2 2)当Ho成立时,ZN (0.1)'12,n1n2对显著性水平a=0.10 ,由Z0951.64=1.64 ,确定临界域 Z Z a 1.641 -2计算统计量 Z的 观察值。X 21.5,Y 18于是2.3921.5 187.5 2.6,541和2有显著性差异。由于Z =2.39> 1.64 ,故拒绝H0,即可以认为(二)未知,但12假设检验Ho: 12例2某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率( 为如下:处理
20、前 x: 0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.17处理后 V: 0.13 0.15 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12设含脂率分别服从正态分布N( 1, 12),N(2,;),对显著性水平a=0.05 ,试问:处理前后的平均含脂率有无显著性差异? (t0.975(13)2.160,t0.975(14)2.145)分析 首先需要F-检验法验证二总体方差是否有显著性差异,在无显著性差异(视为相等) 的条件下,然后利用 T-检验法在检验二总体均值是否有显著性差异。解(1)利用F-检验法检验二总体方差有无显著性差异。检验假设H 0 :12Si22选用
21、统计量 F ,当H0:成立时,FF(n1 1,n2 1)S2-22对给定显著性水平 a=0.05 ,有F-分布表得临界值,F a (6,7) 5.12,Fa(6,7) i _1Fa(6,7)25.700.175计算统计量F的样本观察值_1n1_1n2X Xi 0.24,YYi0.13n i 1扈 i 1S12n1(Xi i 1X)7.58*10 31n2 1n2(Yi 1Y)23.9*10 31.93(0.175,5.12),接受H0,认为二总体方差无显著性差异。(2)利用T-检验法检验二总体均值有无显著性差异。检验假设H 0 :12, H 1 : 22选取统计量T (x y) J 1 2 t
22、(m n 2)Sw 11 m nX Y ( 12),n1n2(n1 n22),(n1 1)Si2(n2 1)S; .n11Ho成立时,T (n1 n22)对给定显著性水平a=0.05,得拒绝域Tt0.975(13)2.160计算统计量T的观测值tX Yn1n2(% 山 2)(必 1)S2 (n2 1)S2 . ni n20.24 0.137*8*136* 7.5*10 3 7*3.9*10 3 ' 7 80.11*6.967 2.8490.269由于 t 2.849 t 0975 (13)2.160。故拒绝Ho ,接受Hi。即处理后含脂率有显著差异。(三)均值未知,检验假设 Ho: 1
23、2;例3某一橡胶配方中,原用氧化锌5g,现减为1g ,若分别用两种配方做一批实验, 5g配方测9个值,得橡胶伸长率的样本差是 S12 63.86; 1g配方测3个值,橡胶伸长率的样本差是S2236.8。设橡胶伸长率遵从正态分布,问两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异? (a=0.10)( F095(8,9) 3.23, F0.95(9,8)3.39)分析两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异,是通过样本值去判断122是否成立,是均值未知的两个总体方差是否相等的检验,5g配方和1g配方记为X N( 1, 2),Y N( 2, 2)解检验假设h0 : 222, H1 : 122S122S2选
24、取统计量F 当Ho成立时F 3F(n1 1,n2 1)S2S2-2"2对显著性水平 a=0.10由题设F0.95(8,9)3.23, Fo.o5(8,9)1Fo.95(9,8)13.390.295 o故拒绝域为0,0.2953.23,计算统计量F的样本观察值2lS2 63.86F E0.2697S; 236.8由于F=0.2697 (0.295,3.23),即F落入拒绝域,应拒绝 H0,接受H1 ,即在 =0.10下认为两个总体的方差是不等的。注:若将显著性水平改为a=0.02 ,此时F a (8,9)F0.99(8,9)5.47, F a (9,8)%.99(9,8) 5.911
25、1 -2 2此时拒绝域0叫(8,9)2Fa(8,9),1 -210,F 0.99,F0.99(9,8)10,5.47,0,0.1695.47,5.91样本观察值F=0.2697未落入拒绝域,故接受 H0,即认为两种配方总体方差无显著差异,说明显著性水平越小,否定零假设越困难。(四) 均值未知,检验假设 H0: ;2例4有甲乙两车床生产同一型号的滚珠,根据已有经验可以认为,这两台车床生产的滚珠都服从正态分布,问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品 中分别抽取8个和9个,经计算得X甲=15.01 , X乙=14.99 , S帝=0.0955 , S2 =0.0261 ,对
26、显著性水平a=0.05,试问:乙车床产品的方差是否比甲车床的小?(f0.95(7,8)3.50, f°.95(8,7)3.73, f°.975(7,8)4,53, f0(8,7)4.90)分析 由题意,是验证 入 1是否成立,而单边检验所提假设含等号,故此题可假设为解 利用F-检验法检验两总体方差比。检验假设H0 : " I , H1 :"S :选取统计重Fs|-,第一自由度是7,第二自由度是8的F-分布由题知f0.95(7,8)=3.50,故拒绝域为3.50,统计量F的样本观察值0.09550.02613.694由于f=3.659 >3,50,故
27、应拒绝H0,接受H1。即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。、两个正态总体均值差的检验,2、设X1,X2, ,Xm是来自总体X服从N( 1, 1 )的样本,y1,y2, ,yn是来自总体Y服-,2、从N( 2 , 2 )的样本,且两样本相互独立,考虑如下的三种检验:20 vs H1 : 12020 vs H1 : 1H 0 : 120 vs H1 : 1(1)(2)(3 )主要分两种情况讨论。1、1, 2已知时的两样本的检验此时12的估计x y的分布完全已知, x y n(212 , m采用U检验法,检验统计量为x y2 1mx y2 1m N (0,1)。检验的拒绝域取决于备择假设的形式。上
28、述三对假设检验的拒绝域分布为:U;UUiU;UU;U2、但未知时的两样本t检验在1222未知时,类似于单个正态总体方差未知时均值的检验,我们仍用的无偏估计代替2,而此时可以证明2的无偏估计为:于是有从而检验统计量为m(xi1X)2(Xn(yi1y)2(m 1)S2 (n 1)S2y)Sw1.m2) t(mn 2)Sw1= t(m n 2)。上述三对假设检验的拒绝域分布为:Sw1T;T t1 (m n 2)W T;T t (m n 2)W T;T t (m n 2)例7. 2 .3某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种馍合金铸件以取代铜合金铸件,从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本,
29、测得其硬度(一种耐磨性指标)为:馍合金76.4376.2173.5869.6965.2970.8382.7572.34铜合金73.6664.2769.3471.3769.7768.1267.2768.0762.61根据专业经验,硬度服从正态分布,且方差保持不变,试在显著性水平0.05下判断馍合金的硬度是否有明显提高?解略。综上,关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表:条 件原假设H0备择假设H1检验统U里 及其分布拒绝域12已 知1212U|_2_y 2, N (0,1)J 12*了U U11212U U00UU1 212未 知1212x yT t(m n 2)11 11SwV
30、m nT t1 (m n 2)1212T t (m n 2)1212Tt1(m n 2) 2正态总体方差的检验2、 2设总体XN( ,), Xi,X2, ,Xn是来自该总体的样本,对方差考虑如下的三种检验:2222H ° :0vsHi :0( 1 )H 0 :2(2vsH1 :22(2)H 0 :2ovsH1 :22(3)1、均值未知时方差的检验由于未知,S2n 1 i(Xi1X)2是2的无偏估计,且_ 2(n 1)S2 0 2(n 1)对于显著性水平,对应上述三种假设检验的拒绝域分布为:2.(n 1)S2;20221 (n 1)22.(n 1)S222 (n 1)_2 2.(n 1)S;202Tn1)或_ 2(n 1)S202- (n2、1)例7.2.4某类钢板每块的重量X服从正态分布,其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0.016 kg2。现从某天生产的钢板中随机抽取25块,2.2得其样本方差 S =0.025 kg 。问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求?解略。0.05。2(n)故对均值 已
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