数学分析定义、定理、推理一览表

1、定义1给定两个非负实数x a0.a1.a2L anL , yb0.bi.b2 L bnL其中a0,b0为非负整数，ahbk k 1,2,L 为整数，若有0 ak 9,0 bk 9.则称x与y相等，记为x y .若aobo或存在非负实数l,使得akbk k 0,1,2,L l 而 ai 1 b 1,则称x大于y或y小于x,分别记为x y或y x.定义2设xa0.a1a2L anL为非负实数.称有理数aoazLan为实数x白n位不足近似，而有理数xnxn110n称为x白n位过剩近似，n 0,1,2,L .实数的一些主要性质1 .实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的， 即任意两个实

2、数的和、差、积、商（除数不为 0）仍然是实数.2 .实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系 之一：a b, a b,a b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4 .实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数 n,使得 na>b.5 .实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有有理数也有无理数.6 .如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点 。作为原点，指定一个 方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位 长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，

3、数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上 的点有着一一对应关系.定义3实数a的绝对值定义为a从数轴上看，数a的绝对值a, a 0,a, a 0.a就是a到原点的距离绝对值得一些性质1. a a 0；当且仅当a=0时有a 0.2. a a a .3. ah hah; ah h a h(h 0).4. 对于任何a、b R有如下三角形不等式： a b a b a b .5. aba|b .a |a|6. b b(b 0).定义4区间和邻域开区间：a,b x a x b ,有限区间 闭区间：a,b x a x b ,半开半闭区间：a,b x a x b , 区间(,ax xa,a

4、,bR.(a,)x xa,无限区间( ,),(,a) xx a ,(,)x x R,邻域：a R,0.满足x a的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作U a;，或U(a),即有U(a； ) x|x a| (a,a ).点a的空心邻域：U0(a; ) x|0 |x a| .点a的右邻域：U (a; ) a,a );点a的左邻域：U (a; ) (a ,a;点a的空心 右邻域：U (a; ) (a,a );点a的空心 左邻域：U (a; ) (a , a);邻域U( ) X|x| M,其中M为充分大正数；邻域U( ) X |x M,其中M为充分大正数；邻域U( ) X |x M,其中M为充分大正数

5、;定义5有界的定义 设S为R中的一个数集.若存在M(L),使得对一切x S,都有x M (x L),则称S为有上界(下界)的数集，数 M (L)称 为卬勺一个上界(下界).简记：S R, M 0, x S x M,称S有界.若数集 冽有上界又有下界，则称 S为有界集.若S不是有界集, 则称为无界集.定义6确界的定义I .设S R.若数满足：i x S,有x，即是S的上界；II , x0 S,使得小，即 又是S的最小上界，则称为数集S勺上确界，记作=sup S.2.设S R.若数满足：i x S,有x，即是S的下界；ii , xo S,使得小，即 又是S的最大下界，则称为数集S勺下确界，记作=i

6、nf S定理1设数集S有上确界.i) =sup S S =max S.ii) =inf S Smin S.定理一确界原理设S为非空数集.若S有上界，则必有上确界； 若S有下界，则S必有下确界.定理2设A、B为非空数集，满足：对一切x A和y B有x y. 数集A有上确界，数集B有下确界，且supA inf B.推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的)函数的概念定义1给定两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个x, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上 的函数，记作f:D M , x a y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点x的

7、函数值, 常记为f(x).全体函数值的集合f(D)y | y f(x),x D ( M)称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f,x D1和g,x D2，记D=D1I D2，并设D.定义f与g在D上的和、差、积运算如下：F(x) f(x) g(x),x D, G(x) f(x) g(x),x D, H(x) f(x)g(x),x D. 若在D中剔除g(x) 0的x值，即令 *DDi I x| g(x) 0,x D2,则除法如下 _ *L(x) f(x)/g(x),x D .初等函数常量函数y c(c为常数)；幕函数y x (为实数)；指数函数y ax(a 0,a 1);对数函数 y lo

8、ga x(a 0,a 1);三角函数 y sinx, y cosx, y tanx, y cotx反三角函数y arcsinx, y arccosx, y arctanx, y arc cotx.定义2给定实数a 0,a 1.设x为我们规定SUpar | r为有理数,当a 1时， ax r xinf ar | r为有理数,当0 a 1时.1 r x几个重要的等式(不等式)1.|sin x| 1 和 sin2.由 4n21 4n22n 13, n2n12n2n14 .算术均数5 .几何均数1)a2na1a2_Lannnaii 16.调和均数a1ai1 naa2a1ana2 L an 时,成立.i

9、 1 ai数列极限定义1设an为数列，a为定数.若对任给的正数，总存在正整数N, 使得当n N时有an a| ，则称数列an收敛于a,定数a称为 数列an的极限，并记作lim an a,或an a(n ).n若数列an没有极限，则称an不收敛，或称 an为发散数列定义1任给0,若在U a;之外数列an中的项至多只有有限个,则称数列an收敛于极限a.定义2若lim % 0,则称an为无穷小数列.定理2.1数列an收敛于a的充要条件是：ana为无穷小数列.收敛数列的性质定理2.2（唯一性）定理2.3（有界性）定理2.4（保号性）若数列 an若数列an收敛，则它只有一个极限.收敛，则an为有界数列，

10、即存在正数M,使得对一切正整数n有同若 lim ana 0（或0）,则对任何 a 0,a （或a a,0 ）,n存在正数N,使得当n N时有ana或an a定理2.5（保不等式性）设an与bn均为收敛数列.若存在正数N0,使得当 n N0时有 anbn,则 lnimanJm bn.定理2.6设an01,2,L .若 lim ana,则 lim Ta? 孤.n nn ' nan , bn都以a为极限，数列cn满足:定理2.7（迫敛性）定理2.8（四则运算）存在正数N。，当n 则数列cn收敛，且N0时有alim cnnnCnbn,a.lim a nlim ; nlim an cnnbnan

11、 bnlim anlim anlim bn, n nlim anan lim n bnnlim an nlim bn nc, limnlim b nCanclim an,n,bn0及 lim bn0.n定义1设an为数列，nk为正整数集N+的无限子集，且ni n2 L 、 L ,则数列an1,an2,L ,ank,L称为数列 an的一个子列，简记为 ank .平凡子列：数列 an本身以及去掉有限项后得到的子列 .非平凡子列：不是平凡子列的子列 .数列an与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理数列an收敛的充要条件是：an的任何非平凡子列都收敛.定理二（单调有界定理）在实数

12、系中，有界的单调数列必有极限 . 定理三（柯及auchy；敛准则）数列斗收敛的充要条件是: 对任给的0,存在正整数N,使得、,m N时有am .函教搬限庭又1设f为定义在a,上的函数，A为定数若对人给的 0,存在正数M（ a），使得当x M时有|f x A ，则称函数 f当媚于时极限，记作lim f x Af x Ax .x2设函数f在点的某个空心邻血。xo；'内有定义，A为定数 若对任给的0,存在正数（ '）,使得当0 |x x0|时有 f x A| ，则称函麴当源于时以敌极限，记作 lim f x A f x Ax x0 .x xo3设函数f在U° x0；或U&#

13、176; %；'内有定义，A为定数.若对任给的 0,存在正数（ ）,使得当x x0或x x0时有|f x A ，则称数A为函数f当媚于x0或x0的右（左）极限，记作im f x A lim f x A x x0x 9或fxAx x0fx Ax x0 .右极限与左极限统称为单侧极限f在点x0的右（左）极BM记为f x0 0 lim f x f x0 0 lim f x X X 定理3.1lim f x A lim f x lim f x A x x0x x0x x0函数极限的性质定理3.2（唯一性）若极限lim f x存在，则此极限是唯一的x X0若lim f x存在，则f在比的某空心

14、定理3.3 （局部有界性）x x0邻域U° Xo内有界.定理3.4（局部保号性）若lim f x =A 0or 0,则对任何正数 X xr Aorr A,存在U xo ,使得对一切 x U x0 有f x r Oorf x r0.定理3.5（报不等式性）设lim f x与lim g x都存在，且在某 x xox %邻域U ° xo；'内有f x g x ,则 lim f x lim g x . x xox 不定理3.6（迫敛性）设 lim f x = lim g x =A,且在某 U x xox xo内有f x h x g x ,则 lim h xx xo%；A.1

15、) lim f x g x x xolim f x lim g x ;x x)x x)定理3.8（四则运算）2) lim f x g x lim f x lim g x ; x xox xox xof xlim f x3) lim °, lim g x o.x xo g xlim g x x xox xo无穷小量阶的比较（定义见下页末）f x1.右lim o,则称当x5时£为g的局阶无分小事X xo g x记作 f x o g x xxo . 一 .一 . f x2.若存在正数K和L,使得在某U 0 %上有K L, g x则称f与g为当x%时的同阶无穷小量.特别的当f xl

16、im c o时，f与g必为同阶无分小事.x xo g xf x3.右lim=1,则称f与g为当x%时的等价无分小事.x xo g x记作 f x g x xxo函数极限存在的条件定理3.8（归结原则or海涅定理）设f在Uo x0;'内有定义.lim f x存在的充要条件是：对任何含 x %于Uo %；'且以x0为极限的数列xn ,极限lim f xn都存在且相等. x简述：lim f x =A 对任何xnx0（n）有1防f xnAx xqx x0设函数f在点x0的某空心右邻域Uo x。有定义.lim f x =用勺x x）定理3.9充要条件是：对任何以x。为极限的递减数列xn有

17、 lim f xnA.xUox0 ,lim f x存在.x x0定理3.11（柯西 设函数f在UocaucX0；hyfi 则）'内有定义.lim f x存在的充要条件是: x x任给0,存在正数,使得对任何x',x»»oUx0；''x"设函数f在Uox0;'内有定义.limx x,f x不存在的充要条件是：存在00,对任意正数. 一 一 » »»，总可找到x,xoUx0；使得f x f x0.定理3.10设f为定义在Uo设上的单调有界函数，则右极限两个重要极限sin xlim设f在某Uo x0内

18、有定义，若lim f x 0, 无穷小量：x %则称f为当x x0时的无穷小量.有界量：若函数g在某U o x0内有界，则称g为当x x。时的有界量 无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.无穷小量与有界量的积为无穷小量.常见的几个等价无穷小量1.ex 1 x x 02. 1 x 1 x x 02x3.1 cosx:x 02自赖性： x x x对称性:传递性:x0x x xx0x x x x xx0定理3.12(等价无穷小量在极限问题中的作用) 设函数f,g,h在Uo x0内有定义，且有f x g x xx0若 lim f x h xx x0A,则 lim g x h xx x0A；f xii 右

19、limx x0 h xB.无穷大量设函数f在某Uo x0内有定义若对任给的G 0,存在 0, 使得当x Uo x0;Uo x0时有f xG,则称函数f当xx0时有非常极限,记作lim f x .x x0对于自变量x趋于某种趋向 或n 时，所有以，+或-为非正常极限的函数(包括数列)，都称为无穷大量.定理3.13(i)设f在Uo x0内有定义且不等于0.若f为xx0时的无穷小量，则 :为xx0时的无穷大量.一 ,_1 ,(ii)右g为xXo时的无分大重，则 一为x Xo时的无分小重g函数的连续函数在点的连续1 .设函数f在某Uo x0内有定义.若lim f x f x0 x X0则称f在点连续；

20、也可表述为：若对任给的0,存在 0,使得当x X0 时有f x f x0,则称f在点X0连续.2 .设函数f在某Uo xo Uo xo内有定义.若lim f xx xof x0lim f x f x0 ,x xo则称f在点小右（左）连续.定理4.1函数f在点x0连续的充要条件是：f在点x0即是右连续，又是左连续间断点及其分类3 .设函数f在某Uo %内有定义.若f在点x0无定义， 或f在点x。有定义不连续，则称x。为函数f的间断点 或不连续点.若lim f xA, f在点x0无定义，或有定义4 .可去间断点x x0但f x0A,则称x0为函数f的可去间断点.若函数f在点刈的左右极限都存在，但5

21、 .跳跃间断点lim f x lim f x ,则称x0为函数f的 x x°x x0跳跃间断点.6以上两种间断点统称为第一类间断点，其他所有形式的 间断点统称为第二类间断点.区间上的连续函数若函数f在区间I上的每一点都连续，则称 f为I上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上的连续是指左连续或右连续.若函数f在区间a,b上仅有有限个第一类间断点， 则称f在a,b上分段连续.连续函数的性质定理4.2（局部有界性）若函数f在点X。连续，则f在某U xo内有界.若函数f在点X0连续，且f X。0或0 ,则定理4.3局部保号性）对任何正数r f xo或r f xo ,存在

22、某U x0，使得对一切xUx0有fxr f x r定理4.4四则运算）两个函数连续，则他们加减乘除之后依旧连续.定理4.5若函数f在点xo连续，g在点Uo连续，Uo f xo，则复合函数 g°f在点连续.设f为定义在数集D上的函数.若存在 D,使得对一定义1.切x D,有f % f x f % f x，则称f在D上 有最大最小值，并称f %为f在D上有最大最小值定理4.6最大、最小值定理若函数f在闭区间a,b上连续，则 称f在a,b上有最大值与最小值.推论有界性定理若函数f在闭区间a,b上连续，则 f在a,b上有界.定理4.7介值性定理设函数f在闭区间a,b上连续，且f a f b

23、, 若为介于f a与f b之间的任何实数f a f b或f a f b ,则至少存在一点a,b，使得f xo.设函数f在闭区间a,b上连续，且f a与f b异号, 推论根的存在定理 则至少存在一点xoa,b，使得f xo0,即方程f xoft a,b内至少有一个根.若函数f在闭区间a,b上严格单调并连续, 定理4.8则反函数f 1在其定义域f a ,f b或f b , f a上连续.定义2. 一致连续设函数f为定义在I上的函数.若对任给的0,存在=0,使得对任何x',x' I,只要x x'，就有|f x'f x" |,则称函数f在区间I上一致连续.定理

24、三致连续性定理若函数f在闭区间a,b上连续, 则f在a,b上一致连续.初等函数的连续性定理4.10设a 0,为任意实数，则有a a a , a a定理4.11指数函数ax a 0在RL上是连续的.定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.导数和微分设函数y=f x在点的某邻域内有定义，若极限定义1导数:lim "f工 存在，则称函数f在点x。处可导，x x0x %并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f % .设f x在点x0可导，那么=/f' x0是当 x有限增量公式:x 0时的无穷小量，于是 x=o x

25、,即 y=f xo x o x该式即为有限增量公式定理5.1若函数f在点x0可导，则f在点小连续.定义2单侧导数设函数y=f x在点x0的某右邻域x0,x0上有定义，若存在y f Xo x f Xo 右极限 lim =lim 0 xx 0 x x ox,则称该极限值为f在点的右导数，记作f' x0类似的可定义左导数limx 0y = limx 0f x0x f x0x左导数和右导数统称为单侧导数若函数y=f x在点x0的某右邻域上有定义，则定理5.2 f' x0存在的充要条 件是f' x0和f' x0都存在, 且f x0 =f x0 .导函数若函数在区间I上每一

26、点都可导 对区间端点，仅考虑单侧极限 则称f为I上的可导函数。此时对每一个x I,都有f的一个导数f' x或单侧导数 与之对应.称f在I上的导函数，也简称为导数圮作f，y，或1即dy=lxm0导数的几何意义f x在点x %的切线斜率k,正是割线斜率在x %时的极限，即k lim L_xfx0 由导数的定义, k=f' x ,所以曲线 y f x x x0x x0在点x0,y0的切线方程是y y0 f' % x x0 .这就是说：函数f在点小的导数f' x0是曲线y=f x在点x0,y0处的切线斜率.若函数f在点小的某邻域U x0内对一切x U x0有定义3f x

27、0 f x f x0 f x ,则称函数f在点x0取得极大 小 值，称点为极大 小 值点.极大值、极小值统称为极值， 极大值点、极小值点统称为极值点.求导法则四则运算若函数u x和定理 5.5 f x u xx在点x0可导，则函数 x在点x0也可导，且f xo u xoxo若函数u x和 x在点x0可导，则函数 定理5.6 f x u x x在点 x0也可导，且 f xo u xoxo u xoxo .若函数u x在点天可导，c为常数，推理Icu xocu xo .若函数u x和 x在点 xo可导，且 xo,u x定理5.7则函数f x u在点xo也可导，且x'f xou xoxo u

28、 xo2-反函数的导数定理5.8设y f x为x y的反函数，若 y在点yo的某 邻域内连续，严格单调且 yo o,则f x在点xo1xoyo 可导，且 f xo -.yo复合函数的导数f x在点x0可导的充要条件是：在x0的某邻域U x0内, 引理 存在一个在点xo连续的函数H x使得f x f x0 =H x x x0 ,从而f x H x0 .设u= x 在点xo可导，y f u 在点uo= xo可导，定理5.8则复合函数f o在点小可导，且I'''f oxo f Uoxo f xxo .基本求导法则1 . u v u v2 . uv u v uv , cu3 .

29、- vu v uv2vcu' vv4 .反函数导数dy = -1. dx dxdy5 .复合函数导数出=5 du. dx du dx基本初等函数导数公式1. c 02. x x3. sinx cosx, cosx sinx, I_I_22tanx sec x, cotx csc x,secxsecxtanx, cscxcscxcotx.5_ x .aax ln a,logaxxln a,ln x1ln x,x x1 一,x x6. arcsinx1 , arccosx1 x2 ,arctanx r, arc cot x 1 x21 x参变量函数的导数平面曲线C一般的表达形式是x t参变

30、量方程， t 表示.y t设1工0对应曲线C上的点P.如果在点p有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设，在点七可导，且x to 0.若to t对应C上的点Q（右图），割线PQ的斜率二_t艮，于是曲线c在点P的切线斜率是 Xt0ttoto ttolim' .tan lim yt 0 Xt otto.,.tottotolimt ot若，在，上都存在连续的导函数，且2 2 o,这时称C为光滑曲线.高阶导数定义略微分定义1设函数y=f x定义在点x0的邻域U x0内.当给%一个增量x,x0x U x0时，相应地得到函数的增量为y f x0x f x0 .如果存在常数A,使得y能

31、表示成y=A x o x，则称函数f在点x0可微，并称A x为f在点x0的 微分，记作 dy x % A x或 df x x % = A x.定理函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导， 而且y=A x o x式中的A等于f' x0 .可微函数若函数在定义区间上每一点都可微，则称函数为可微函数.微分的运算法则1 .d u x v x du x dv x2 .d u x v y v x du x u x dv xu x v x du x u x dv x3 .d 2v xv x''4 .d f og x f x g x dx,u g x .n. nx dx .高

32、阶微分dny d dn 1 y d f n 1 x dxn1 fnd-y fn x，高阶导数.dx微分中值定理罗尔中值定理 若函数f满足如下条件：i f在闭区间a,b上连续；定理6.1定理6.2ii f在开区间a, b内可导；iii f a f b ,则在a,b内至少存在一点，使得f'0.拉格朗日中值定理 若函数f满足如下条件: i f在闭区间a,b上连续； ii f在开区间a,b内可导；则在a,b内至少存在一点，使得f'推论1I,若函数f在区间I上可导，且f' x 0,x 则f为I上的一个常量函数.推、八2若函数f和g在区间I上可导，且f x g x ,x I,则在区

33、间I上f x与g x只相差某一常数，即f x =g x c.导数极限定理 设函数f在点入的某邻域U %内连续，推论3在Uo x0内可导，且极限lim f' x存在，则f在点可导, x xoL 一 '一 一'且f xolim f x .x xo设f x在区间I上可导，则f x在I上递增 减 的定理6.3,充要条件是f x 0 0 .若函数f在a,b内可导，则f在a,b内严格递增递减的充要条件是：定理6.4,'i 对一切x a,b，有f x 0 f x 0 ;ii在a,b内的任何子区间上f x 0.设函数f在a,b内可微，若f' x 0 f' x 0

34、 ,则f在I上 推论严格递增严格递减.柯西中值定理 设函数f和g满足i在a,b上都连续;ii在a,b内都可导；定理6.5 iii f' x和g x不同时为零;iv g ag b ,J则存在a,b ,使得一'g1.0型不定式极限0洛必达Lo sP i t a l 法 则定理6.6若函数f和g满足i lim f x lim g xx Xox Xoii在点x0的某空心邻域f x ii i lim x xo g x则 lim x xx x0 g x2.型不等式极限定理6.70；Uox0内都可导，且g x 0;A A可为实数，也可为f xlim - A.x x0 g x若函数f和g满足i

35、 lim f x lim g x 0; x xox xoii在点小的某空心邻域Uo xo内都可导,且 g x 0;iiif x lim ' x % g xf x limx x0 g xA A可为实数，也可为f xlim - A.x x0 g x对于一般函数f,设它在点xo存在直到n阶的导数. 由这些导数构造一个r次多项式Tn xXof xox xo 1!fxo2 x xoL 2!xo n!Xon.称为函数f在点xo处的泰勒多项式,Tn x的各项系数kfxok!k 1,2,L ,n称为泰勒系数.由上面多项式系数的讨论，易知f x与其泰勒多项式Tnx在点xo有相同的函数值和相同至 n阶倒数

36、值,xoTnXo,k 0,1,2,L ,n.定理6.8若函数f在点xo存在直到n阶导数,则有f x =Tn xxxo，即f x =f x01!xo''fxox2!xonfxon!n xoxo泰勒公式又称为带有佩亚诺型余项n xo的泰勒公式.当xo o时，称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式泰勒定理若函数f在a,b存在直到n阶的连续导函数，在a, b定理6.9内存在n 1至少存在一点阶导函数，则对任意给定的a, b ,使得x,xoa,b ,f x =f xof xo1!x xo''fxo2!2 xonfxon!nxox xo带有拉格朗日余项的泰勒公式当xoo,得到的

37、泰勒公式f x =ff o1!一”f o 2 ,x L2!nfn!f n1n 1 !称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式函数的极值与最值极值的第一充分条件设f在点X0连续，在某邻域Uo X0；内可导定理6.10i若当xx0,x0时f x0,当xf' x0,则f在点x0取得极小值.x0,x0时ii i 若当 x % ,x0 时f x 0,当xx0,x0 时f' x0,则f在点入取得极大值.极值的第二充分条件设f在x。的某邻域Uo %;内一阶可导，在x x。处二阶 定理6.11 可导，且 f' x0 =0, f'' x00.i f'' x 0,

38、则f在点x0取得极大值.ii f'' x 0,则f在点取得极小值.极值的第三充分条件设f在%的某邻域内存在直到n 1阶导函数，在小处ri#可导,且 f k x0 =0 k 1,2,L n 1 ,定理6.12 f n x00则i当n为偶数时，f在点x0取得值，且当f n址 0时取极大值，当f n x00时取极小值.ii当n为奇数时，则f在点入不取极值.通过比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值才能得到最大值或最小值 函数的凸性与拐点设f定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1,x2和 任意实数0,1总有定义11f x2 ,如果总有1f x2 ,fx11x2fx1则称

39、f为I上的凹函数，反之, fx11x2fx1则称f为I上的凸函数.引理f为I上的凹函数的充要条件：对于 I上的任意三点x1 x2 x3,总有f x2f X1f X3f x2X2XiX3X2设f为I上的可导函数，则下述论断互相等价：1of为I上的凹函数；定理6 132 f为I上的增函数；3o对I上的任意两点X1,X2，有fx2fX1fX1x2X1.设f为I上的二阶可导函数，则在I上f为凹 凸函数的定理6.14、人 ,充要条件是f x 0 f x 0 , x I.詹森不等式 若f为I上的凹函数，则对任意 xi a,b , i 0 i 1,2L ,nnnni 1,有fiXi f Xi .i 1i 1

40、i 1设曲线y=f x在点x0, f x0处有穿过曲线的切线.且在切点近旁, 定义2曲线在切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点x0, f x0为曲线y=f x的拐点.若f在I上二阶可导，定理6-15则X0,f X0为曲线y=f x的拐点的必要条件是f x =0.设函数f在X。可导，在某邻域U X0内二阶可导 定理6.16若在或U。x0和U。x0上f'' x的符号相反，则飞, f x0为曲线y=f x的拐点.函数图像的讨论作函数图像的一般程序1 .求函数的定义域;2 .考察函数的奇偶性、周期性;3 .求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；4 .确定

41、函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5 .考察渐近线；6 .综合以上结果画出函数图像.设闭区间列 4,0具有如下性质:定义1i an,bnii lim bn nan 1,4 1 , n 1,2,L ;an0,则称an,bn为闭区间，或简称区间套区间套定理 若an,bn是一个区间套，则在实数系中定理7.1存在唯一的一点，使得an,bn , n 1,2,L ,即anbn,n 1,2,L .皿人若an,bn n 1,2,L 是区间套 an,bn所确定的点，则推论 对任给的0,存在N 0,使得当n N时有an,bn U ;.、设S为数轴上的点集，为定点 它可以属于S,也可以不属于S .止义2若的

42、任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称 为点S勺一个聚点.,对于点集S,若点 的任何 邻域内都含有S中异于 的点，即 定义2Uo ; IS ，则称为S的一个聚点.定义2''若存在各项互异的收敛数列xnS,则其极限lim xn称为S的一个聚点.n维尔斯特拉斯聚点定理实轴上的任 定理7.2有界无限点集S至少有一个聚点.推论致密性定理有界数列必含有收敛子列.设S为数轴上白t点集，H为开区间的集合即H的每一个元素都是形如 ，的开区问定义3若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S勺一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是 无限 有限的，则称H为S的一个无限开覆盖 有限开覆

43、盖海涅一博雷尔有限覆盖定理 设H为闭区间a,b的一个 定理7.3无限开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖a,b .设函数f与F在区间I上都有定义.原函数若F' x f x ,x I,则称F为f在区间I上的一个原函数.若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F,定理8.1 口 即F x f x ,x I.设F是f在区间I上的一个原函数，则定理8.2 i F C也是f在I上的原函数，其中C为任一常量函数；ii f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数不定积分函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分, 记作f x dx.若函数f与g在区间I上都存在原函数，k1、k2

44、为两个 定理8.3任意常数，则k1f k2 g在I上也存在原函数，且k1fx k2g x dx k1f x dx k2gx dx.设g u在 , 上有定义， u x在a,b上可导，且 x , x a,b，并记-'f x g x x ,x a,b .换元积分法i若g u在 , 也存在原函数F上存在原函数Gu,则f x在a,b上x ,F x G x C,即f x dx g xii又若 x 0, xC.g u du g xx dx f x dx F x C F若u x和v x可导，不定积分 u x v xC.dx存在,分部积分则u x v x dxtil存在，并有u x v x dx=u x v x u x v x dx.有两个多项式函数的商所表示的函数._nn 1.R P x 0x1xL n有理函数 dx g u du G u C G