高等数学课件：10-2 二重积分的计算方法

1、2022-1-121第二节 二重积分的计算方法 第十章第十章 (Calculation of Double Integrals)一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习三、小结与思考练习2022-1-122一、利用直角坐标计算二重积分xbad 曲顶柱体的底底为bxaxyxyxD)()(),(21任取0 , ,a bx 平面0 xx 故曲顶柱体体积曲顶柱体体积为DyxfVd),(0021()()00()(, )dxxAf xyyx截面积截面积为21( )( )( , )dxxxfyyd( )baxAx截柱体的)

2、(2xy)(1xyzxyoab0 xD设曲顶柱体的顶顶为( , )0zf x yX型区域型区域2022-1-123ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(21( )( )( , )dyyf xxy21( )( )( , )dyyf xxydcydY型区域型区域2022-1-124oxyDyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxf

3、yyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD则 说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 2022-1-125),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2当被积函数说明：说明：2022-1-1262022-1-127,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y

4、 积分,:Dxyx ddDxy故21dy22221d2yyxyy2152d)2(21yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 例例3 计算2022-1-128例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD2022-1-129二、利用极坐标计算二重积分xyokkkrrkkk

5、kkkrrsin,cos对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr2022-1-1210kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d设2022-1-1211特别地特别地

6、, 对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd2022-1-1212思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(2022-1-1213222ln(1)d dln(1)d d ,DDxyx y 21200dln(1)d122100 (1)ln(1)2d (2ln21)2022-1-1214,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下0:,02raD原式

7、Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.例7 计算计算2022-1-1215利用例利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2d02xex事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例利用例6的结果的结果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立 .注注:2022-1-121622224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)

8、立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2例8 求球体2 cosra2a2022-1-1217内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD2022-1

9、-1218Do)(1r)(2r)()(,),(21rrD( , )dDf x y则极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为( cos , sin)Df rr)()(21d)sin,cos(drrrrfddrr2022-1-1219思考与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIxoyx1xy 1yx2022-1-12201. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2

10、yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A2022-1-1221,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(2242. 计算2022-1-1222ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf3. 交换积分顺序2022-1-1223axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax4. 给定的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy改变积分2022-1-12243261sin4 ryxyxDdd)(22sin4s