高中数学 圆 板块五 圆的规划问题完整讲义（学生版）

1、学而思高中完整讲义：圆.板块五.圆的规划问题.学生版典例分析【例1】 如果实数、满足，则的最大值为（ ）ABCD【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为 【答案】D；【例2】 若集合，集合且，则的取值范围为_【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】，显然，表示以为圆心，以3为

2、半径的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即 【答案】【例3】 试求圆（为参数）上的点到点距离的最大（小）值【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】分析 利用两点间距离公式求解或数形结合求解解法一 设是圆上任一点，则所以因为，所以，因此当时，当时，解法二 将圆代入普通方程得如图所示可得，、分别是圆上的点到的距离的最小值和最大值易知：，说明 在圆的参数方程（为参数）中，为圆心，为半径，参数的几何意义是：圆的半径从轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到所得圆心角的大小若原点为圆心，

3、常常用来表示半径为的圆上的任一点 圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具【答案】最大值为，最小值为【例4】 已知，点在圆上运动，则的最小值是 【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】设，则设圆心为，则，的最小值为【答案】【例5】 已知圆，为圆上任一点，求的最大、最小值，求的最大、最小值【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一 由知，可设的坐标为，是参数则，令，得，所以，即的最大值为，最小值为此时所以的最大值为，最小值为方法二 表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的动点，结合图象知，要求斜率的最值，只须求出过点的圆的切线的斜率即可，设过

4、点的直线方程为：由，得，所以的最大值为，最小值为令，同理两条切线在轴上的截距分别是 的最大、最小值由，得所以的最大值为，最小值为【答案】最大值为，最小值为【例6】 求函数的值域【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】，于是，其几何意义为单位圆上的任一点与点的连线的斜率结合图象知：过点与单位圆相切的直线的斜率为，连线的斜率的取值范围为，从而此函数的值域为【答案】【例7】 设，求的最小值【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】分析式子的几何意义，它表示两点与的距离的平方，前者在半圆上，后者在直线上，结合简图知：半圆上的点到该直线的距离的最小值为，从而

5、所求的最小值为【答案】【例8】 实数满足，求的最大值与最小值【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一 变形得：，此方程表示一条直线又满足，故直线与圆有公共点故，解得由于直线与圆无公共点，因此， 为所求即的最大值为，最小值为方法二 设，则， 几何意义为单位圆上的点与点连线的斜率，求过点的单位圆切线的斜率：，从而的最大值为，最小值为 由此式得，从而，解得，因此的最大值为，最小值为【答案】最大值为，最小值为【例9】 已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一 由圆的标准方程可设点的坐标为（是参数）则（其中

6、）所以，方法二 是圆上点到原点距离的平方，要求的最值，即求圆上距离原点距离最远和最近的点结合图象知：距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径，距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径所以，【答案】最大值为，最小值为【例10】 若，求函数的最小值【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】，先求点与直线的距离为，【答案】【例11】 设点是圆是任一点，求的取值范围【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一 设，则有，即（）又 解之得：方法二 根据几何意义求解的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率，利用此直线与圆有公共点，可确定出的取值范围由得：，

7、此直线与圆有公共点，故点到直线的距离，解得：另外，直线与圆的公共点还可以这样来处理：由消去后得：，此方程有实根，故，解之得：【答案】【例12】 已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一 右上方面的点满足：，结合图象知，要圆上的任一点的坐标都满足，只需直线在如图所示的切线的左下方，图中切线的纵截距，故只需，即即可方法二 分析 设圆上一点，问题转化为利用三角函数求范围解 设圆上任一点，恒成立，恒成立，即恒成立只须不小于的最大值设，即 【答案】【例13】 实数、满足，求的取值范围【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】解

8、答【关键字】无【解析】方法一 设 ，方程 可化为，由得：方法二 方程 表示圆心为、半径为的圆，表示原点与该圆上的点连线的斜率设方程为，由点到距离 得： 所求的取值范围是【答案】【例14】 已知点在圆上运动 求的最大值与最小值； 求的最大值与最小值【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】 设，则表示点与点连线的斜率当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值由，解得，的最大值为，最小值为 设，则表示直线在轴上的截距 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值由，解得，的最大值为，最小值为【答案】 的最大值为，最小值为的最大值为，最小值为【例15】 若集合，集合，且，则的取值范围是

9、【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】是一个圆心在原点，半径为的半圆（不包括端点），代表斜率为，截距为的直线原问题对应的几何问题为：若直线与圆有交点，则直线的截距范围是多少?如图，容易得到是截距的极限位置，经过计算求出，于是的取值范围是【答案】【例16】 的解集为，求的取值范围【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】函数可化为，所以表示圆心为，半径为的圆在轴上方的部分，于是表示斜率为，截距为的直线如图，为极限位置，此时，所以的取值需要满足为，解之得的取值范围是【答案】【例17】 求函数的值域【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】

10、无【解析】解法1 的定义域为配方，有，设，即，有，即于是当时，为增函数，所以；当时，为减函数，所以综上，的值域为解法2 同解法1，将函数化为以原点为圆心，为半径作圆，设在轴上运动，则时，如图中位置，过作圆的切线，切点为，显然，分析，当位于时最小，为，于是；时，如图中位置，过作圆的切线，切点为，显然，分析，有（当位于时，最大，为，于是；综上，的值域为解法3 的定义域为设，则可以涉及的实数对转化为满足的解，由得由的范围，可以求得的值域为解法4 的定义域为或求导，有当时，所以原函数为增函数，取值范围为；当时，原函数为减函数，取值范围为从而，原函数值域为解法5 设，则，于是（），其几何意义是中心在的双

11、曲线在轴上方的部分是过原点，斜率为的一条直线如图，为双曲线的一条渐近线，方程为，显然当时，随着越来越小，到的距离越来越小，于是到的距离越来越大（之间的距离为定值），从而越来越大，取值范围为；当时，随着越来越大，也越来越大，取值范围为；综上，原函数的值域为【答案】【例18】 设，为内一点，且，过任意作一条直线分别交射线、于点、，求的最大值【考点】圆的规划问题【难度】5星【题型】填空【关键字】无【解析】如图1，作的内切圆，设其半径为，则，问题转化为的内切圆半径的最大值分析图形可得当在上时，内切圆的半径最大，设此时半径为，如图2若不然，设在某情形下半径大于，那么点将会在内，这与是的内切圆矛盾（如图3

12、，圆心只能在射线上运动）显然，此时点为切点设，而，于是，即，化简有从而题中所求为【答案】【例19】 设，为内一点，且，过任意作一条直线分别交射线、于点、，求： 的最大值与的函数关系式； 当在内变化时，求的取值范围【考点】圆的规划问题【难度】6星【题型】解答【关键字】无【解析】 求得 设，则；于是由于，所以，如图，当时，取得最小值，此时，；当时，取得最大值，此时或，【答案】 求得【例20】 已知实数、满足，则的最大值是 【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】可看作是过点与的直线的斜率，其中点在圆上，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为【答案】【例21】 不论为何

13、实数，直线与曲线恒有交点，则实数的取值范围是 【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】题设条件等价于点在圆内或圆上，或等价于点到圆的圆心距离半径，【答案】【例22】 如果实数、满足，则的最大值为 【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】实数、满足方程，即点的轨迹是圆心为，半径为的圆此时，为连接点与直线的斜率这样，该代数问题可转化为如下几何问题：圆的圆心为，半径为，动点在圆上移动，求直线的斜率的最大值过作圆的切线，设为第一象限的切点，当动点在位置时，直线的斜率最大容易在中求出：，于是，的最大值为显然，当动点在位置时，取最小值为【答案】【例23】 函

14、数的最大值为_，最小值为_【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】表示点与点连线的斜率的取值范围，点在单位圆上，如图，过作单位圆的切线、易知，为斜率的最大值和最小值，那么的最大值为，最小值为【答案】最大值为，最小值为【例24】 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】表示倾斜角为，纵截距为的直线，而则表示以为圆心，以为半径的圆在轴上方的部分（包括圆与轴的交点），如图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即明确方程的几何意义，在同一坐标系中画出相应的几何图形，根据直线系的特点，

15、由图形研究直线与半圆的位置关系【答案】【例25】 曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是 【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】曲线，即，为如图所示的半圆；直线，表示过定点的直线系；要使半圆与直线有两个交点，则只能在之间移动，设的斜率分别为，则解得，从而【答案】【例26】 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】由图形可知点在圆的内部，圆心为，要使得劣弧所对的圆心角最小，即被圆截得的弦长最短，只能是直线，所以对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决【答案】【例27】 一束光线从点发出，经轴反射到圆上，其最短路程是（ ）ABCD【考点】圆的规划问题【难度】3星