判定平行四边形的五种方法精编版

1、1 最新资料推 判别平行四边形的基本方法 如何判别一个四边形是平行四边形呢 ？下面举例予以说明 一、 运用 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ”判 别 例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上, 且AE=CF,试说明四边形 DEBF 是平行四边形. 分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用 两条对角 线互相平分的四边形是平行四边形 ”进行判别为此，需连接 BD. 解：连接 BD 交 AC 于点 0. 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AO=CO,BO=DO.又 AE=CF, 所以 AO-AE=CO-CF,即卩 EO=FO. 所以四边形 DEBF

2、 是平行四边形. 二、 运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”判别 例 2如图 2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形， 请 你指出图中所有的平行四边形，并说明理由 . 分析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形的 边长便可求得，故应考虑运用 两组对边分别相等的四边形是平 行四边形进行判别. 解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则 AF = BC=1,AB=FC=1, 所以四边形 ABCF 是平行四边形. 同样可知四边形 FCDE、四边形 ACDF 都是平行四四边形. 因为 AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形 ABDE 也是平行四边 形. 三、 运用一组对边平行且相

3、等的四边形是平行四边形 ”判 别 例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两 点，AE=CF,DF = BE,DF / BE，试说明四边形 ABCD 是平行四边 形. 分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形 ABCD 是平 行四边形，但仔细观察可知， 由已知条件可得厶 ADF CBE , 由此就可得到判别平行四边形所需的 一组对边平行且相等 ” 的条件. 解：因为 DF / BE，所以/ AFD=Z CEB. 因为 AE = CF，所以 AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.又 DF = BE, 所以 ADF CBE，所以 AD=BC，Z DAF=Z BCE， 所

4、以AD / BC.所以四边形 ABCD 是平行四边形.C 2 最新资料推 荐 . 四、运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”判别 例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，/ DAB、/ BCD 的平分线分别交 BC、AD 边于点 E、F，则四边形 AECF 是平行 四边形吗？为什么？ 分析：由平行四边形的性质易得 AF / EC,又题目中给出 的是有关角的条件， 借助角的条件可得到平行线， 故本题应考 虑运用 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”进行判别 解：四边形 AECF 是平行四边形. 理由： 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD / BC, / DAB= /

5、 BCD, 1 1 所以 AF / EC.又因为/ 1= / DAB,/ 2= / BCD , 2 2 所以/ 1= / 2因为 AD / BC,所以/ 2= / 3, 所以/仁/ 3,所以AE/ CF. 所以四边形 AECF 是平行四边形 判定平行四边形的五种方法 平行四边形的判定方法有： （1）证两组对边分别平行； （2） 证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等； （4）证对 角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中 考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、 两组对边分别平行 如图 1 ,已知 ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、 图 4 A D C

6、 F 图 1 3 AC 上，且 CD=CE，连结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE, 连结 AF、BE 和 CF4 . 最新资料推 荐 . (1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； 判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。 解：(1)选证 BDE FEC 证明： ABC 是等边三角形， BC=AC,/ ACD=60 / CD=CE , BD=AE , EDC 是等边三角形 DE=EC,/ CDE = / DEC =60 / BDE = Z FEC=120 又 EF=AE, BD=FE , BDE FEC (2)四边形 ABDF 是平行四边形 理由：由(1)知， ABC、A

7、EDC AEF 都是等 边三角形 / CDE=Z ABC=Z EFA=60 AB / DF , BD / AF 四边形 ABDF 是平行四边形。 点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证 截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时， 可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平 行四边形。 二、 一组对边平行且相等 例 2 已知：如图 2，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一 点，延长 BC 到 E,使 CE=CG,连结 BG 并延长交 DE 于 F (1) 求证： BCG DCE ; (2) 将厶 DCE 绕点 D 顺时针旋转 90。得到 DAE,判 断四边形 EBGD 是什么特

8、殊四边形？并说明理由。 分析：(2)由于 ABCD 是正方形，所以有 AB/ DC , 又通过旋转 CE=AE已知CE=CG,所以EA=CG,这 样就有BE GD，可证 E BGD 是平行四边形。 解：(1)v ABCD 是正方形， / BCD=Z DCE=90 又T CG = CE, BCG DCE (2) DCE 绕 D 顺时针 旋转 90 得到 DAE, CE=AE,T CE=CG , CG=AE, 四边形 ABCD 是正方形 BE / DG , AB=CD AB-AE CD-CG，即 BE DG 四边形 DE BG 是平行四边形5 . 最新资料推 荐 . 点评：当四边形一组对边平行时，

9、再证这组对边相 等，即可得这个四边形是平行四边形 三、 两组对边分别相等 例 3 如图 3 所示，在 ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在BC 的同侧作等边 ABD，等边 ACE，等 边厶 BCF。 求证：四边形 DAEF 是平行四边形； 分析：利用证三角形全等可得四边形 DAEF 的两组 对边分别相等，从而四边形 DAEF 是平行四边形。 解： ABD 和厶 FBC 都是等边三角形 / DBF + / FBA=Z ABC+ / FBA=60 / DBF=Z ABC 又 BD = BA, BF=BC ABC DBF AC=DF =AE 同理 ABC EFC AB=EF=AD 四边形 A

10、DFE 是平行四边形 点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边 形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四 边形。 四、 对角线互相平分 例 4 已知：如图 4，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 0 , AE 丄 BD 于 E, BF 丄 AC 于 F , CG 丄 BD 于 G , DH 丄 AC 于 H，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。 分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这 些条件与四边形 EFGH 的对角线有关，若能证出 OE = OG, OF = OH，则问题可获得解决。6 证明： AE 丄 BD , CG 丄 BD , / AEO= /

11、CGO, / AOE= / COG, OA=OC AOE COG :.OE=OG 同理 BOF DOH OF = OH 四边形 EFGH 是平行四边形 点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对 角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。 五、 两组对角相等 例 5 将两块全等的含 30 角的三角尺如图 1 摆放在一起 四边形ABCD 是平行四边形吗？理由 _ (1)如图 2，将 RtA BCD 沿射线 BD 方向平移到 RtA B1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形 吗？说出你的结论和理由： _ 分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形 的两组内角相等解决问题。 解：(

12、1)四边形 ABCD 是平行四边形，理由如下： / ABC= / ABD + / DBC =30 +90 120 / ADC= / ADB + Z CDB =90 +30 =120 又/ A=60 C=60 , Z ABC = Z ADC , Z A=Z C (2)四边形 ABC1D1是平行四边形，理由如下： 将 RtA BCD 沿射线方向平移到 RtA B1C1D1的位置 时，有 RtA C1BB1B RtA ADD1 Z C1BB1= Z AD1D , Z BC1B1= Z DAD 1 有 最新资料推 7 Z C1BA = Z ABD + Z GBB1 = Z C1D1B1 + Z AD1

13、B= Z AD 1C1, Z BC1D1= Z BC1B 计 Z B1C1D1= Z D1AD+ Z DAB= Z D1AB8 最新资料推 荐 . 所以四边形 ABCiDi是平行四边形 点评：(2)也可这样证明：由(1 )知 ABCD 是平行 四边形， AB/ CD，将 RtA BCD 沿射线 BD 方向平移到 RtA B1C1D1的位置 时，始终有 AB / CiDi,故 ABCiDi是平行四边形。 判断平行四边形的策略 在学习了 平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的 判定问题，可从以下几个方面去考虑： 一、考虑对边关系 思路 i:证明两组对边分别相等 例 i 如图 i 所示，在 AB

14、C 中，/ ACB = 90 BC 的垂 直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E, F 在 DE 上，并且 AF = CE.求证：四边形 ACEF 是平行四边形 证明： DE 是BC 的垂直平分线， DF 丄 BC, DB = DC. / FDB = / ACB = 90 . 1 DF / AC . CE = AE = AB. 2 / i = / 2 . 又 EF / AC, AF = CE = AE , / 2 = / i = / 3 =Z F. ACE 也厶 EFA. AC = EF. 四边形 ACEF 是平行四边形 思路 2:证明两组对边分别平行B （图 i） 9 . 最新资

15、料推 荐 . 例 2 已知：如图 2，在 ABC 中，AB = AC, E 是 AB 的 中点，D 在 BC 上，延长 ED 至 U F，使 ED = DF = EB.连结 FC. 求证：四边形 AEFC 是平行四边形 证明： AB = AC,AZ B = / ACB. / ED = EB,AZ B = / EDB. / ACB = / EDB. EF / AC. / E 是 AB 的中点， BD = CD. / EDB =Z FDC , ED = DF , EDB 也厶 FDC. DEB = / F. AB / CF. 四边形 AEFC 是平行四边形. 思路 3:证明一组对边平行且相等 例

16、3 如图 3,已知平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，AE = CF , M、N 分别是 DE、BF 的中点. 求证：四边形 ENFM 是平行四边形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD = BC,Z A = / C . 又 AE = CF , ADE CBF. / 1 = / 2, DE = BF . / M、N 分别是 DE、BF 的中点， EM = FN . / DC / AB,./ 3 = / 2. / 1 = / 3. EM / FN . 四边形 ENFM 是平行四边形. 二、考虑对角”关系 思路：证明两组对角分别相等 例 4 如图 4,在正方形

17、ABCD 中，点 E、 F 分别是 AD、BC 的中点. 求证：(1 ) ABE CDF ; (2)四边形 BFDE 是平行四边形. 证明：(1 )在正方形 ABCD 中，AB = CD ,AD = BC, Z A = / C 1 1 90 / AE = 一 AD , CF = BC, C E 1 10 2 2 AE = CF. ABEBA CDF. (2)由(1 ) ABE CDF 知，Z 1 = Z2, Z 3 =Z 4. Z BED =Z DFB.11 . 最新资料推 荐 . 在正方形 ABCD 中，/ ABC = / ADC, / EBF = / EDF . 四边形 BFDE 是平行四

18、边形 三、考虑对角线”的关系 思路：证明两条对角线相互平分 例 5 如图 5,在平行四边形 ABCD 中，Pi、P2是对角线 BD 的三等分点. 求证：四边形 AP1CP2是平行四边形 证明：连结 AC 交 BD 于 0. 四边形 ABCD 是平行四边形， 0A = OC, OB = 0D. T BPi = DP2 , OPi = OP2 . 四边形 AP1CP2是平行四边形 平行四边形的识别浅析 平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边 形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边 形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了 更加清楚哪些条件能或不能识别平行四

19、边形，我们把这些条件 总结如下。 1 利用定义或定理直接识别平行四边形 1.1 两组对边分别平行，如图 1,AB / CDAD / BC。 1.2 两组对边分别相等，如图 1,AB=CD,AC=BC。 1.3 两组对角分别相等， 女口图 1,Z ABC=Z ADC,/ BAD= / BCD。 1.4 一组对边平行且相等，如图 1,AB / CD,AB=CD。 1.5 两条对角线互相平分，如图 1,OA=OC,OB=OD。 2 利用定义和定理间接识别平行四边形 2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图 1,AB / CD,/ABC= / ADC。 证 明：/ AB / CD / ABC+ / B

20、CD=180 又 / ABC= / ADC / ADC + / BCD = 180 AD / BC 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行） 12 2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线， 如图 1, AB / CD , OA=OC。 证明：/ AB / CD / BAC= / DCA 在AOB 和COD13 . 最新资料推 荐 中 , / BAC=/DCA , OA=OC , / AOB = / COD / AOB 也COD (ASA) / AB=CD 二四边形 ABCD 是平行 四边形(一组对边平行且相等) 2.3 两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角， 如图 1

21、,Z DAB + Z ABC=180 ABC+ / BCD=180 证 明：/ DAB + Z ABC=180 AD / BC 又 vZ ABC+ Z BCD=180 AB/ CD 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边平 行） 3 不能识别为平行四边形 3.1 两组不同的邻角互补， 如图 2,Z A+ Z B=180 ； Z C+ Z D=180 ；可以画出梯形。 3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、 角相等关系都是对边 对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。 两组邻边相等，如图 3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。 两对邻角相等，如图 4, Z A= Z

22、 D,Z B= Z C,可以画出等腰梯形。 3.3 一组对边平行且另一组对边相等， 如图 4AD / BC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。 3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边 形。反例作图方法，如图 5 :作Z ABC,在边 BA 上确定点 A,在边 BC 上确定点 C,过点 A、B、C 作O O1,以点 C 为 圆心，以线段 AB 长为半径作O C,以 AC 为弦作O O1的等 圆O O2,交O C于 D、E 两点，则四边形 ABCD 为平行四边 形，而四边形 ABCE 即为符合条件的非平行四边形，即 AB=CE,Z ABC=Z AEC。 3.5 一组对边相等，对角线交点

23、平分一条对角 线，不一定是平行四边形。反例作图方法 ，如图 6: 作线段 AB,过线段 AB 的中点 O作直线 CD, 过点 B作 BE 丄 CD,垂足为 巳以点 E 为圆心，小 于线段 OE 的长为半径作O 巳交 CD于 F、G 两点， 以点 A 为圆心， BF 长为半径作O A,交直线 CD 于 H、I两点，则四边形 AGBH 和四边形 AFBI 为 平行四边形，而四边形 AGBI 和四边形 AHBF 即为符合条件的 非平行四边形，如在四边形 AGBI 中，AI = BG,OA=OB。O1 02 C C 14 最新资料推 说明一个四边形是平行四边形的思 路 山东 于秀坤 平行四边形是最基本

24、、最重要的一类特殊四边形如何 说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四 边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路 进行说明. 一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形 ”或一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形 ” 例 1 如图 1，在 ABC 中，AD 是角的平分线， DE/AC 交 AB于点 E, EF/BC 交 AC 于点 F，试说明 AE=CF 图 1 分析：由 AD 是角的平分线，可知/ 仁/2，由 DE/AC, 可知/ 2= / 3，所以/仁/ 3,即可得 AE=ED，要说明 AE=CF , 可转化

25、为说明ED=EC,因此，只需说明四边形 EDCF 是平行四 边形就可以了.15 . 最新资料推 荐 . 解：因为/ 1 = / 2,/ 2= / 3，所以/仁/3,所以 AE=ED, 又因为DE/AC, EF/BC,所以四边形 EDCF 是平行四边形（两 组对边分别平行的四边形是平行四边形） 所以 ED=CF，所以 AE=CF 二、当已知条件出现在四边形是对角上时， 考虑 采用两组 对角分别相等的四边形是平行四边形 ” 例 2 如图 2, AE、CF 分别是ABCD 的内角/ DAB、 / BCD 的平分线，试说明四边形 AECF 是平行四边形. 1 1 / 1= / DAB , / 2= /

26、 BCD , 2 2 所以，/仁/ 2, 因为 AB/CD，所以/ 3= / 1,/ 4= / 2, 所以/ 3= / 4，所以/ 5= / 6, 所以四边形 AECF 是平行四边形. 三、当已知条件出现在四边形的对角线上时， 考虑采用两 条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ” 例 3 如图 3， 在 OBCD 中， AC、 BD 相交于 0, EF 过 O 分另交 AD、BC 于 E、F, GH 过 0 分另 U AB、CD 交于 G、H .试 说明四边形 EGFH 是平行四边形. 图 3 解：在CABCD 中，因为 AB/CD，所以/ 1 = / 2, 因为 OA=OC,/ 3= / 4

27、,所以 AOG COH，所以 OG=OH, 同理 OE=OF ,16 荐 . 所以四边形 EGFH 是平行四边形. 构造平行四边形解题 山东 邹殿敏 平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等， 对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助 线，构造平行四边形加以解决. 一、求线段的长 例1如图 1，在正 ABC 中，P 为边 AB 上一点，Q 为边 AC 上一点， 且AP=CQ .今量得A点与线段PQ的中点M之间 的距离是19cm,贝 U P 点到 C 点的距离等于 _ cm. 分析：作 QD/AB,交 BC 于点 D ,连接 PD , MD.由厶 ABC 为正三角形，易知

28、BP=BD , AP=DQ，所以四边形 APDQ 为平 CB 至 U E，使 EB=AD，连接 AE.求证：AE=AC . 分析：连接 BD .由 AD 与 BE 平行且相等，易知四边形 AEBD 是平行四边形，所以 BD=AE .因为 AC=BD，所以 AE=AC.最新资料推 行四边形.所以 AMD 是平行四边形 APDQ 的对角线.所以 PC=AD.所 二、证明线段相等问题 例 2 如图 2，在梯形 ABCD 中, AD/BC, AB=CD，延长 图 1 AD=2AM =2 X19=38 以 PC=38cm . 图 2 最新资料推 三、证明线段和差问题 例 3 如图 3, ABC 中，D, F 是 AB 边上两点，且 AD = BF, 作 DE/BC，FG/BC，分另 U 交 AC 于点 E，G.求证：DE + FG=BC . 分析：作 GH/AB 交 BC 于点 H .则四边形 BHGF