高考文科数学试题分类汇编——函数与导数

1、2009年高考文科数学试题分类汇编函数与导数一、选择题1.（09年福建2） 下列函数中，与函数 有相同定义域的是 A B C D【分析】本题考查函数的定义域.【解析】函数的定义域为（0，+），函数定义域为（0，+），函数的定义域为，函数和的定义域都为R,故选A.2.（09年福建8）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是A B. C. D【分析】本题考查函数的图像与性质。【解析】由偶函数的图像与性质知，函数在上是减函数，由二次函数的图像知函数在上是减函数，3.(广东卷4)若函数是函数的反函数，且，则A B C D2【答案】A【解析】函数的反函数是,又,即,所

2、以,故,选A.4.(广东卷8)函数的单调递增区间是 A. B.(0,3) C.(1,4) D.【答案】D【解析】,令,解得,故选D5.（浙江8）若函数，则下列结论正确的是（ ）A，在上是增函数B，在上是减函数C，是偶函数D，是奇函数C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问【解析】对于时有是一个偶函数6.（2009北京4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ） A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平

3、移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查. A，B，C，D.故应选C.7.(2009山东卷6)函数的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.8.（09山东7）定义在R上的函数满足=，则的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2【解析】:由已知得,故选B.答案:B.【命题立意】:本

4、题考查对数函数的运算以及推理过程.9.(2009山东卷文12)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ).A. B.C. D.【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,又因为在R上是奇函数，,得,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,故选D.答案:D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 10.（2009全国卷文2）函数y=(x0)的反函数是 （A）（x0） （B）（x0） （B）（x0） （D）（x0） 答案：B解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC

5、错,原函数y0可知D错，选B.11.（2009全国卷文3）函数y=的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称答案：A解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。12.（2009全国卷文7）设则（A） （B） （C） （D）答案：B解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。13.（09年安徽文8）b,函数的图象可能是【解析】可得的两个零解.当时,则当时,则当时,则选C。【答案】

6、C14.（2009江西卷文2）函数的定义域为ABCD答案：D【解析】由得或,故选D.15.（2009江西卷文5）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为ABCD答案：C【解析】,故选C.16.（2009江西卷文11）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为答案：B【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.17.（2009江西卷文12）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等

7、于A或B或C或D或答案：A【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.18.（2009天津卷文5）设，则A << B << C b<< D <<【答案】B 【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到，而，因此选B。【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。19.（2009天津卷文8）设函数则不等式的解集是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运

8、用。以及一元二次不等式的求解。20.（2009天津卷文10）设函数在R上的导函数为,且,下面的不等式在R内恒成立的是A B C D【答案】A 【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。21.（2009四川卷文2）函数的反函数是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，又因原函数的值域是，其反函数是22.（2009四川卷文12）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A【解析】若0，则

9、有，取，则有：（是偶函数，则 ）由此得于是，23.（2009湖南卷文1）的值为【 D 】A B C D 解:由,易知D正确. 24.（2009湖南卷文7）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是【 A 】yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.25.（2009湖南卷文8）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】A B C D 解: 函数，作图易知，故在上是单调递增的，选C.26.（2009辽宁卷文6）已知函

10、数满足：x4,则；当x4时，则（A） （B） （C） （D）【解析】32log234,所以f(2log23)f(3log23) 且3log234f(3log23)27.（2009辽宁卷文12）已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）【解析】由于是偶函数,故得,再根据的单调性 得 解得【答案】A28.（2009陕西卷文3）函数的反函数为（A） (B)（C） (D)答案：D. 解析:令原式则 故 故选D.29.（2009陕西卷文10）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则(A) (B)(C) (D)答案:A.解析:由等价，于则在上单调

11、递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.30.（2009陕西卷文12）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为(A) (B) (C) (D)1答案:B解析:对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选B.31.（2009全国卷文6）已知函数的反函数为，则（A）0 （B）1 （C）2 （D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令得，即，又，所以，故选择C。32.（2009湖北卷文2）函数的反函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】可反解得且可得原函数中yR、y-1所以且xR、x-1选D33.（200

12、9福建卷文11）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是A. B. C. D. 解析的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。34.（2009重庆卷文10）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B解析根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减

13、函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。35.（09辽宁文12）用min,表示,三个数中的最小值 设=（0),则的最大值为（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 736.二、填空题1.（2009北京12）已知函数若，则.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值.属于基础知识、基本运算的考查.由，无解，故应填.2.（09山东文14）.若函数=（0且1）有两个零点，则实数的取值范围是 .【解析】: 设函数且和函数,则函数=（0且1）有两个零点,就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a

14、）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.答案:开始 S=0,T=0,n=0 T>S S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出T 结束 是 否 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.3.（2009辽宁卷文15）若函数在处取极值，则【解析】f(x) f(1)0 Þ a3【答案】34.（09福建文15）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点

15、。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。5.（2009重庆卷文12）记的反函数为，则方程的解【答案】2解法1由，得，即，于是由，解得解法2因为，所以解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得6.（2009江苏卷3）函数的单调减区间为.【解析】考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。7.（2009江苏卷9）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.【解析】 考查导数的几何意义和计算

16、能力。，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）8.（2009江苏卷10）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为.【解析】考查指数函数的单调性。，函数在R上递减。由得：m<n9.（2009江苏卷11）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= .【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由得，；由知，所以4。10.（2009上海卷文） 函数=的反函数=_.【答案】【解析】由，得，将改成，改成可得答案。11.（2009四川卷文16）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性

17、变换，则若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；对，则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【答案】【解析】：令，则故是真命题 同理，：令，则故是真命题：，则有是线性变换，故是真命题：由，则有是单位向量，0，故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。.12.（2009宁夏文13）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。【答案】【解析】，斜率k3，所以，y13x，即13.三、解答题1.(广东卷21)（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像

18、与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.【解析】（1）设，则；又的图像与直线平行又在取极小值，；，设则；（2）由，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点；若，函数有两个零点；当时，方程有一解, , 函数有一零点2.（浙江21）（本题满分15分）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析：（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，

19、又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有， 即： 整理得：，解得3.（2009北京18）（本小题共14分）设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）,曲线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.4.(2009山东卷文21)（本小题满分12分）已知函数,其中（1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区

20、间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1,x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时,取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去),当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大

21、值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,; 当时,【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.5.(09年全国卷文21)设函数，其中常数a>1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是

22、利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解： （I） 由知，当时，故在区间是增函数； 当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。由假设知 即 解得 1<a<6故的取值范围是（1，6）6.（09安徽文21）（本小题满分14分） 已知函数，a0，（）讨论的单调性;（）设=3，求在区间1，上值域，其中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值

23、域。【解析】(1)由于令当,即时,恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时由得或或或又由得综上当时,在上都是增函数.当时,在上是减函数,在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为8.（2009江西卷文17）（本小题满分12分）设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.9.（2009天津卷文21）（本

24、小题满分12分）设函数（）当曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=【解析】解：当所以曲线处的切线斜率为1.（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设，所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上

25、，m的取值范围是【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。10.（2009四川卷文20）（本小题满分12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有,即又，由已知得联立，解得.所以函数的解析式为4分（II）因为令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在时，函数

26、有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；12分11.（2009湖南卷文19）（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解: （）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是（）由（）知，.（）当c12时，此时无极值。（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设，则2.当x时，在区间内为增函数；当x时，在区间内为减函数;当时，在区间内为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由 得.于是.当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为12.

27、（2009辽宁卷文21）（本小题满分12分）设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II） 证明：当解：（）.有条件知，故. 2分 于是. 故当时，0； 当时，0. 从而在，单调减少，在单调增加. 6分 （）由（）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为. 从而对任意，有. 10分 而当时，. 从而 12分13.（2009陕西卷文20）（本小题满分12分）已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区

28、间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。14.(09全国卷文21).（本小题满分12分）已知函数=.(1)讨论的单调性；(2)设点P在曲线=上，若该曲线在该点的切线通过坐标原点，求的方程.【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）令得或；令得或因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。（）设点，由过原点知，的方程为，因此，即，整理得，解得或。所以的方程为或15.（2009湖北卷文21）（本小题满分14分）已知关于的函数=,其导函数为.令,记

29、函数在区间-1、1上的最大值为M. ()如果函数在1处有极值，试确定、的值： （）若1,证明对任意的,都有M2: ()若M对任意的、恒成立，试求的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）（I）解：，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的

30、一个假设，则将上述两式相加得：，导致矛盾，（）解法1：（1）当时，由（）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，此时由有若则，于是若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：（1）当时，由（）可知；（2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时，即下同解法116.（2009福建卷文21）（本小题满分12分）已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；解法一：（I）依题意，得 由得（）由（I）得（ 故 令，则或当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递

31、减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得 由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）当时，得，由，得由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为由得解得所以线段与曲