高考真题分类汇编理数专题5解析几何解析版

1、2017年高考真题分类汇编（理数）：专题5 解析几何13、（2017·天津）设椭圆+ =1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线y2=2px（p0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为（）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为，求直线AP的方程14、（2017北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点（14分）(1)求抛物线C的方程，并求其焦点

2、坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点15、（2017新课标）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足= （）求点P的轨迹方程；（）设点Q在直线x=3上，且=1证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F16、（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（ab0）的离心率为，焦距为2（14分）（）求椭圆E的方程（）如图，该直线l：y=k1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，

3、T，求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率17、（2017浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（x），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（）求直线AP斜率的取值范围；（）求|PA|PQ|的最大值18、（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为，两准线之间的距离为8点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2（）求椭圆E的标准方程；（）若直线l1， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标19、（2017新课标卷）已知椭圆C：+ =1（

4、ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（12分）(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点20、（2017新课标）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（）证明：坐标原点O在圆M上；（）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程答案解析部分一、单选题1、【答案】B 【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1，可得a=3，b=2，则c= = ，所以椭圆的离心率为：= 故选：B【分析】直接利用椭圆的简

5、单性质求解即可2、【答案】B 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C：=1 （a0，b0）的一条渐近线方程为y= x，可得，即，可得= ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为：=1故选：B【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程3、【答案】B 【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（c，0

6、），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=± x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则=1，c=4，则a=b=2 ，双曲线的标准方程：；故选B【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程4、【答案】A 【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：如图，l1l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D

7、，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x1，联立方程组，则y24y4=0，y1+y2=4，y1y2=4，|DE|= |y1y2|= × =8，|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，故选：A【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可5、【答案】A 【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线

8、C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：= ，解得：，可得e2=4，即e=2故选：A【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可6、【答案】A 【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2椭圆C的离心率e= = = 故选：A【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出二、填空题7、【答案】2 【考点】双曲线的标准方

9、程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x2=1（m0）的离心率为，可得：，解得m=2故答案为：2【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可8、【答案】-5 ，1 【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0， y0），则有x02+y02=50，=（12x0，y0）（x0， 6y0）=（12+x0）x0y0（6y0）=12x0+6y+x02+y0220，化为：12x0+6y0+300，即2x0+y0+50，表示直线2x+y+50以及直线下方的区域，联立，解可得x0=5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是5 ，1

10、，故答案为：5 ，1【分析】根据题意，设P（x0， y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+50，分析可得其表示表示直线2x+y+50以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案9、【答案】2  【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，所以P（，），Q（，），F1（2，0）F2（2，0）则四边形F1PF2Q的面积是：=2 故答案为：2 【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积10、【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】

11、【解答】解：双曲线C：=1（a0，b0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ，可得：= ，即，可得离心率为：e= 故答案为：【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可11、【答案】6 【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2 =6故答案

12、为：6【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可12、【答案】y=± x 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：把x2=2py（p0）代入双曲线=1（a0，b0），可得：a2y22pb2y+a2b2=0，yA+yB= ，|AF|+|BF|=4|OF|，yA+yB+2× =4× ，=p，= 该双曲线的渐近线方程为：y=± x故答案为：y=± x【分析】把x2=2py（p0）代入双曲线=1（a0，b0），可得：a2y22pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系

13、、抛物线的定义及其性质即可得出三、解答题13、【答案】（）解：设F的坐标为（c，0）依题意可得，解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2c2= 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x（）解：直线l的方程为x=1，设直线AP的方程为x=my+1（m0），联立方程组，解得点P（1，），故Q（1，）联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=B（，）直线BQ的方程为（）（x+1）（）（y）=0，令y=0，解得x= ，故D（，0）|AD|=1= 又APD的面积为，× = ，整理得3m22 |m|+2=0，解得|m|= ，m=± 直

14、线AP的方程为3x+ y3=0，或3xy3=0【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案14、【答案】（1）解：（1）y2=2px过点P（1，1），1=2p，解得p= ，y2=x，焦点坐标为（，0），准线为x=，（2）（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1， y1），N（x2， y2），直线OP为y

15、=x，直线ON为：y= x，由题意知A（x1， x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k1）x+ =0，x1+x2= ，x1x2= y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ = A为线段BM的中点【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2.）设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1， y1），N（x2， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明15、【答案】解：（）设M（x0， y0），由题意可得N（x0，

16、 0），设P（x，y），由点P满足= 可得（xx0， y）= （0，y0），可得xx0=0，y= y0，即有x0=x，y0= ，代入椭圆方程+y2=1，可得+ =1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（）证明：设Q（3，m），P（cos，sin），（02），=1，可得（cos，sin）（3cos，msin）=1，即为3 cos2cos2+ msin2sin2=1，解得m= ，即有Q（3，），椭圆+y2=1的左焦点F（1，0），由kOQ=，kPF= ，由kOQkPF=1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线

17、垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程【解析】【分析】（）设M（x0， y0），由题意可得N（x0， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（）设Q（3，m），P（cos，sin），（02），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，即可得证16、【答案】解：（）由题意知，解得a= ，b=1椭圆E的方程为；（）设A（x1， y1），B（x2， y2），联立，得由题意得= 0，|AB|= 由题意可知圆M的半径r为r= 由题意设知，因此直线OC的方程为联立，得因此，|

18、OC|= 由题意可知，sin = 而= 令t= ，则t1，（0，1），因此，= 1当且仅当，即t=2时等式成立，此时，因此SOT的最大值为综上所述：SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（）设A（x1， y1），B（x2， y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= 由题意设知得到直线OC的方程，与椭

19、圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = 转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为17、【答案】解：（）由题可知P（x，x2），x，所以kAP= =x（1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（1，1）；（）由（I）知P（x，x2），x，所以=（x，x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=x+ + ，联立直线AP、BP方程可知Q（，），故=（，），又因为=（1k，k2k），故|PA|PQ|= = + =（1+k）3（k1），所以|PA|PQ|=（1+k）3（1k），令f（x）=（1+x）3（1x），1

20、x1，则f（x）=（1+x）2（24x）=2（1+x）2（2x1），由于当1x时f（x）0，当x1时f（x）0，故f（x）max=f（）= ，即|PA|PQ|的最大值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合x可得结论；（）通过（I）知P（x，x2）、x，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|PQ|=（1+k）3（1k），通过令f（x）=（1+x）3（1x），1x1，求导结合单调性可得结论18、【答案】

21、解：（）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，由解得：a=2，c=1，则b2=a2c2=3，椭圆的标准方程：；（）设P（x0， y0），则直线PF2的斜率= ，则直线l2的斜率k2=，直线l2的方程y=（x1），直线PF1的斜率= ，则直线l2的斜率k2=，直线l2的方程y=（x+1），联立，解得：，则Q（x0，），由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x021，则，解得：，则，P（，）或P（，）或P（，）或P（，）【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（）由椭圆的离心

22、率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2c2=3，即可求得椭圆方程；（）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x021，联立即可求得P点坐标；19、【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，椭圆必不过P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）三点在椭圆C上把P2（0，1），P3（1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，椭圆C的方程为=1（2）证明

23、：当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，yA），直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，= = =1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b1），A（x1， y1），B（x2， y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，x1x2= ，则= = = = =1，又b1，b=2k1，此时=64k，存在k，使得0成立，直线l的方程为y=kx2k1，当x=2时，y=1，l过定点（2，1）【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0

24、，1），P3（1，），P4（1，）三点在椭圆C上把P2（0，1），P3（1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b1），联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，1）20、【答案】解：方法一：证明：（）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，2），则=（2，2），=（2，2），则=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x2），设A（x1， y1），B（x2， y2），整理得：k2x2（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2