大一微积分课件1-1

1、1.1 1.1 绪论绪论微积分简介微积分简介牛顿与莱布尼茨牛顿与莱布尼茨切线与速度切线与速度面积与路程面积与路程 初等数学初等数学 高等数学高等数学什么是数学？什么是数学？ 数学就是研究现实世界中数量关系和空间形式数学就是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学的科学. .（恩格斯）（恩格斯） 研究的数是常数或常量，研究的形式孤立的、不研究的数是常数或常量，研究的形式孤立的、不变的、规则的几何形体变的、规则的几何形体. . 研究的数是变的研究的数是变的称为称为“变量变量”，研究的形式不，研究的形式不规则的几何形体规则的几何形体. . 广义：高等数学广义：高等数学-大学所学的数学课程大学所学的数学

2、课程 狭义：高等数学狭义：高等数学-微积分微积分一、微积分简介一、微积分简介 16 16、1717世纪由于天文学和力学的发展带动了数学，世纪由于天文学和力学的发展带动了数学，促进了微积分的创立促进了微积分的创立. .当时为了解决力学中的问题，当时为了解决力学中的问题，给数学提出了四类问题：给数学提出了四类问题：1. 1. 求瞬时速度问题；求瞬时速度问题；2. 2. 求曲线的切线问题；求曲线的切线问题；3. 3. 求函数的最大值与最小值问题；求函数的最大值与最小值问题；4. 4. 求积问题求积问题. .（曲线的长度、曲线所围成的区域的面积、（曲线的长度、曲线所围成的区域的面积、曲面所围成的立体的

3、体积曲面所围成的立体的体积 ） 微积分的创立微积分的创立 为了解决上述问题，为了解决上述问题，1717世纪初数学家们做了大世纪初数学家们做了大量的工作，如开普勒研究了奥地利酒桶的测量问题，量的工作，如开普勒研究了奥地利酒桶的测量问题，伽利略研究了加速度运动物体的速度、路程问题，伽利略研究了加速度运动物体的速度、路程问题，费尔马、笛卡尔、巴罗等人研究了曲线的切线问题，费尔马、笛卡尔、巴罗等人研究了曲线的切线问题，沃利斯用不可分量法求出许多图形的面积，这些都沃利斯用不可分量法求出许多图形的面积，这些都为微积分的创立积累了大量的资料为微积分的创立积累了大量的资料. . 牛顿、莱布尼茨吸收了前人的成果

4、，建立了趋牛顿、莱布尼茨吸收了前人的成果，建立了趋于成熟的微积分方法于成熟的微积分方法. . 微积分的建立，标志着数学的发展进入了一个微积分的建立，标志着数学的发展进入了一个新的阶段，也标志着科学的发展进入一个新的阶段新的阶段，也标志着科学的发展进入一个新的阶段. .谁也无法想象，如果没有微积分，今天的世界会是谁也无法想象，如果没有微积分，今天的世界会是什么样子！什么样子！牛顿（牛顿（Isaac Newton） 1642-1727 牛顿于牛顿于16421642年年1212月月2525日日出生于英格兰乌尔斯托帕的出生于英格兰乌尔斯托帕的一个小村庄里一个小村庄里二、牛顿与莱布尼茨二、牛顿与莱布尼茨

5、 他一生忘我地献身于科他一生忘我地献身于科学，活到学，活到8585岁的高龄岁的高龄 1660年年 牛顿考入了著名的剑桥大学三一学院，牛顿考入了著名的剑桥大学三一学院，1665年年 牛顿大学毕业，获学士学位，牛顿大学毕业，获学士学位，1665-1667 鼠疫席卷英国，剑桥大学被迫关闭，牛顿鼠疫席卷英国，剑桥大学被迫关闭，牛顿 被迫两次回到故乡避灾在这短短的被迫两次回到故乡避灾在这短短的18个月中个月中,22岁岁 到到24岁的牛顿作出了人类思想史上无与伦比的发现岁的牛顿作出了人类思想史上无与伦比的发现: 指数为负数和分数的二项式级数；指数为负数和分数的二项式级数； 微分学和积分学；微分学和积分学；

6、 作为了解太阳系结构的钥匙的万有引力定律；作为了解太阳系结构的钥匙的万有引力定律； 用三棱镜把日光分解为可见光谱用三棱镜把日光分解为可见光谱.年年 牛顿回到剑桥，次年被任为牛顿回到剑桥，次年被任为“主修课研究员主修课研究员”并硕士学位并硕士学位.1669年年 年仅年仅26岁的牛顿得以晋升为数学教授岁的牛顿得以晋升为数学教授 1646-1716 博学多才的博学多才的数学符号大师数学符号大师 出生于书香门第的莱布尼茨是德国一出生于书香门第的莱布尼茨是德国一位博学多才的学者位博学多才的学者. 他的学识涉及哲学、他的学识涉及哲学、历史、语言、数学、生物、地质、物理、历史、语言、数学、生物、地质、物理、

7、机械、神学、法学、外交等领域机械、神学、法学、外交等领域. 并在每并在每个领域都有杰出的成就个领域都有杰出的成就. 他还在逻辑学和他还在逻辑学和计算机方面作了重要的工作计算机方面作了重要的工作. 然而，由于然而，由于他独立地创立了微积分，并精心设计了非他独立地创立了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大的数学家的称号闻名于世伟大的数学家的称号闻名于世. 他所引用他所引用的微积分的一些符号，以及微积分的一些的微积分的一些符号，以及微积分的一些要领和法则一直保留到当今的教材中要领和法则一直保留到当今的教材中. 数学与科学中的巨大进展几乎总

8、是建立在几百数学与科学中的巨大进展几乎总是建立在几百年中做出点滴贡献的许多人的工作基础之上，但需年中做出点滴贡献的许多人的工作基础之上，但需要有一个人来走那最高、最后的一步，这个人要能要有一个人来走那最高、最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人有价足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，要有足够的想象力把这些碎片重新组织值的想法，要有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，且能足够大胆地制定出一个宏伟的计划起来，且能足够大胆地制定出一个宏伟的计划牛牛顿、莱布尼茨顿、莱布尼茨就是这样一位在众多学科领域做出划就是这样一位在众多学科领域做出划时代贡献的科学巨人时代贡

9、献的科学巨人 1.1.曲线的切线曲线的切线.( ),(,( 0曲曲线线的的割割线线）两两点点可可作作一一条条直直线线过过这这另另一一点点为为此此，考考虑虑曲曲线线上上PPxfxP三、切线与速度三、切线与速度xyoP0P)(xfy 图1.3-1.),(. .),()( 000作作曲曲线线的的切切线线过过曲曲线线上上一一点点坐坐标标系系中中的的一一段段曲曲线线示示他他表表有有意意义义的的函函数数是是在在设设x,fxPoxybaxfy xyoP0P)(xfy 图1.3-1.- 00 x-xxfxf）（）（割割线线的的斜斜率率为为 .000的的切切线线的的斜斜率率为为曲曲线线过过于于是是，的的切切线线

10、线线过过的的极极限限位位置置就就应应该该是是曲曲PPPP000)()(lim )(0 xxxfxfxfkxx 2. 2. 瞬时速度问题瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间tsv 平平均均速速度度00)()(tttsts ,0时时当当tt 取极限得取极限得00)()(limv0tttststt 瞬瞬时时速速度度瞬瞬时时速速度度 )()(lim)(0000tttststsvtt 斜斜率率 )()(lim)(0000 xxxfxfxfkxx 导数！导数！曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线1.1.求曲边

11、梯形的面积求曲边梯形的面积)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.abxyo? A)(xfy . A求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积四、面积与路程四、面积与路程abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iii

12、iixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为. )1(0limixniifA 时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(,max,21nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为2.2.求变速直线运动的路求变速直线运动的路程程 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程. 思思路路：把把整整段段时时间间分分割割成成若若干干小小段段，每每小小段段上上速速度度看看作作不不变变，求求出出各各小小段段的的路路程程再再相相加加，便便得得到到路路程程的的近近似似值值，最最后后通通过过对对时时间间的的无无限限细细分分过过程程求求得得路路程程的的精精确确值值 （