线性代数同济第三版答案

1、线性代数同济第三版习题答案习题一答案(1-16)习题二答案(17-37)习题三答案(38-58)习题四答案(59-86)1利用对角线法则计算下列三阶行列式2 0 1(1) 1411 8 32 0 1解 1411 8 32 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 80 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)24 8 16 44a b c(2) b c acaba b c解 b c acabacb bac cba bbb aaa ccc3abc a3 b3 c32ba2c a ax y x y(4) y x y xx y x yx y x y解 y x y xx y x yoo o

2、x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 4 2 1解逆序数为5 2 4 1 3解逆序数为3(5) 1 3(2n 1) 2 4(2n) (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2y x3 y3 x32(x3 y3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解逆序数为441 43 42 323 2 3 1 4 2 4 1, 2 12 1 4 1 4 3解逆序数为n(; 3 2 (1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n

3、1 个)(6) 1 3(2n 1) (2n) (2n 2)2解逆序数为n(n 1)3 2(1 个)(2n 1)(2n 2) (n 1 个)5 2 5 4 (2 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)64 2(1 个)6 2 6 4(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6(2n)(2n 2) (n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子ana23的项解含因子ana23的项的一般形式为(1)tana23a3ra4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子ana23的项分别是(1)taiia23a32a44 (11) aiia23a32a44aiia23a32a44

4、3421) aiia23a34a42 aiia23a34a42(1)taiia23a34a42 (4计算下列各行列式4207202 1125141 wo102M12341oXo 4121020211230 41100 q77 42 07 20 21 12 51 41100o024di di9O1790仃024 di di123411224236112023152)o 2 004 2 3411212312qnr0 2 024236112023156q1122423611202315角0200423 011202310aedeefgcdfa c cbJJ adcccb bbfadaedeefac1

5、adfbce 114abcdefOO1 dO1 c 11b1 o a1o oo o 1 d a1 C1 bab 1O O1 ooaoo 1dO1 C11b 1O a1 oo角1 ab a(1)( 1)2 11 c0 13 dc21 ab a ad1 c 1 cd 0 1 0(1)( 1)3 21ab ad11 cdabcd ab cd ad 15证明:a2 ab b2(1) 2a a b 2b (a b)3;1 1 1证明a2 ab b22a a b 2b111c2c3c1c1a2a1ab a2b a0b2 a22b 2a0a22ab22b(b a)(b a)? b2a (a b)3x y z

6、(a3 b3)y z xz x yax by ay bz az bx(2) ay bz az bx ax by az bx ax by ay bz证明axbyaybzazbxaybzazbxaxbyazbxaxbyaybzx ayy azbz azbx axbxbybzy bzayazbzazbxaxbyayx ay bz zy z az bxy az bx xb2z x ax byz ax by yx y ay bzby ayz axaxxa2x y zy z xa3y z xb3z x yz x yx y zx y zx y za3y z xb3y z xz x yz x yx y z(a

7、3 b3)y z xz x yabed/(%2 2 2 2x711112 2 2 2 abedccabedrlabed2 2 2 2 x7 x7 11112 2 2 2 abed8855 552a2b2c2d33 332a2b2c2d1111ab cd2 2 2 22 2 2 2 ab cdo2 22 22 22 21111 abed2 22 22 2 2 2 abed2 4 1d dd 1 cc24c 1b4【2 41 a a aa)1 d b b)(d b a)1b a) d(d b a)2 41d dd1 cc241bb2b41 10 b a1 c a1 d a0 b(b a)c(c a

8、)d(d a)0 b(ba) e(c a )d(da)11(b a)(c a)(da) bcb(ba) c(c a11(b a)(c a)(da)0c b0 c(cb)(c ba) d(d(ba)(ca)(da)(c b)(d b)c(cd2(d=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a bed)2xoooooxn aixn 1an 1X an证明oanoanX2 aT用数学归纳法证明当n 2时 D2x 1a2 x a1x2a1xa2命题成立假设对于(n 1)阶行列式命题成立an 2Xan 1Dn 1 xn 1 a1 xn 2则Dn按第一列展开有Dn XDn 1 an(

9、 1)n 1ooooan1X anxDn 1 an xn a1Xn 1因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式Ddet(aj),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转an1anna1nannannainD2D3a11aina11an1an1ai1依次得D1n(n 1)证明 D1 D2 ( 1)丁D D3 D证明因为D det(aij)所以an1anna11alnD1(1)n1an1anna11a1na21a2nal1 a21 an1a1n a2n ann1)n 21)n1(1)1 2(n 2) (n1)Da3nn(n 1)丁 D(1)同理可证D2 (n(n 1)1) 2aiin(n

10、1)1) 丁 dtn(n 1)(1) 丁 DainannD3 (n(n 1)1) 丁 D2n(n 1)1)丁(n(n 1)1) 丁 D(1)n(n 1)D D7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）(1)Dna11 a,其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0解0aDn0a（按第n行展开）000a 01000 a00(1)n1a0(1)2n aa0aa000a 0(n 1) (n 1)(n 1) (n 1)a(1)n1 (1)nan an an 2 an 2(a21)(n 2)(n 2)x a(2) Dna Xa aaao oXoaao oXaa o oXXX XXa a a解 将第一行乘（1）

11、分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得n OOa a oX a a o X aa OOX (n 1)a(x a)n 1000 x aan (a 1)nan 1 (a 1)n 1(a n)n(a n)n 1Dn 1解根据第6题结果有n(n 1)Dn1 ( 1) 2an1 an此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)1) 丁n 1 in(n 1)1) 丁n 1n(n 1)1) 丁Dn1 (ij 1j)anD2nanD2na1qc1(a(a(aj 11)n 11)ni 1)j)(a(a(an)n 1n)nj 1)(ij 1n (n 1)11) 2(i j)j 1bndnbn（按第1行展开）dnanc

12、n 10q biCi didn 1 00 dn0 dn 1bn 1a1 b1dn 10(1)2n hC1 d1Cn 1Cn再按最后一行展开得递推公式D2n andnD2n 2 bnCnD2n 2 即 D2n (andn bnCn) D2n 2于是D2nn(期 bC)D2i 2而D2a1 $ C1 d1ad 1 b|Cn所以D2n(晌bc)i 1(5) D det(aij)其中 aj |i j|; 解aj |i j|dnD12 3 4 n n n n 3210 2101 1012 0123n 1 n 2 n 3 n 41111 oXX X XX X X X4n3n2nXoo oonoo o002

13、202 22 T T T T52n4n23n2Xnn)2TnaTT2aTa1TTTT25oo onaTTo o oaaona1 0 0330 003233o o1 a o o o1 503qc2n10000aj11000a?101100a?100011an11000011 an1a284an001000q100a2100a3101an11n0 0 1 aii 1尿3.)(18用克莱姆法则解下列方程组X!(1) 2；3为x2X32x23x2X2x4 5X3X32x34x45x411x4解因为1421451X1123511511345142 D2450111011D1112312425220X12

14、X11234261451X5220T2DX4D33DX4rdX4dIDT54XX0006 50065 1065101000 15100 00 00 651 00010 65106 51005 1000X46冷5662)0006500651065106510051000为因 D075 0006 5 0065 1 06510 6510 0 1000 103O 00 65O 06511 00016 51005 10002X21O OO 100651065106510051000所以X 1145X2665703 X3X43 665 M395665212 X44 665XX2 X3 09问取何值时齐次线

15、性方程组Xx2 x3 0有非X!2 x2 X3 0零解？解系数行列式为1 1D 111 2 1令DO得0或 1于是当 0或1时该齐次线性方程组有非零解(1)x1 2x2 4x3 010问 取何值时齐次线性方程组2x1 (3 )x2 X3 0N X2 (1)X3 0有非零解？解系数行列式为124134D3121111101(1)3 (3) 4(1) 2(1)( 3)(1)3 2(1)23令D 0得于是 当 0 2 或 3 时 该齐次线性方程组有非零解1 已知线性变换x1 2y1 2y2 y3x2 3 y1 y2 5y3x3 3y1 2 y2 3y3求从变量xi X2 X3到变量yi y2 y3的

16、线性变换解 由已知12 y1y2y4312 y1yy 153 212 233x1x2x153212233x1x2x3 y1y2yx1x2xyy1 y12y 24z2z33z3zz1z2y1y2yy1 7x1 4x2 9x3 y2 6x1 3x2 7x3 y3 3x1 2x2 4x3求从Z1 Z2 Z3到X1 X2 X3的线性变换解 由已知1011111233设 A 111B124求3AB2A 及 AtB111051111123111解3AB 2A311112421111110511110581 1 12132230562111217202901 1 14292111123058ATB11112

17、40561110512904计算下列乘积4317f(1)1 2 325701431747321135解123217(2)2316570157720149z1z2z1203y1y2y125031224x1x2x3z1z2z3943z39z3163z24z2zz z1z10 6211x1x2x33(2)(1 2 3) 21解(1 2 3) 2(132231)(10)12(3)1 ( 1 2)322( 1)2224解1( 12)1( 1)121233( 1)3236131(A2 1 4 0 012(4)1 1 3 4 131402131解2 1 4 0012678解1 1 3 41312056402

18、a11a12a13x1(5) (x1 x2 x3) a12a22a23x2a13a23a33x3解a11 a12a13 x1(x1x2 x3) a12 a22a2x2a13 a23a33 x3(a11x1 a12x2 a13x3a12x1a22x2 a23x3 a13x1x1a23x2 a33x3) x2x3222 a11x1 a22x2 a33x32a12x1x2 2a13x1x32a23x2x35 设 A 11 23 B 11 20 问(1) AB BA 吗? 解 AB BA因为AB 46 BA ；8所以ABBA(2) (A B)2 A2 2AB B2 吗?解 (A B)2 A2 2AB

19、B2因为 A B 2 2(A B)2 2252 22 25184 1249A2 2AB B243 1816 8 1 0 10 168 12 3 4 15 27所以 (A B)2 A2 2AB B2(3)(A B)(A B) A2 B2 吗? 解 (A B)(A B) A2 B2 因为 A B 22 25A B(AB)(AB)而A2B2384 1122251034故 (A B)(A B) A2 B26 举反列说明下列命题是错误的(1) 若 A2 0 则 A 0解 取 A 00 01 则 A2 0 但 A 0(2) 若 A2 A 则 A 0 或 A E解 取 A 01 01 则 A2 A 但 A

20、0 且 A E(3) 若 AX AY 且 A 0 则 X Y解取A10X1111Y 1 1001101则 AX AY 且 A 0但XY7 设 A101求 A2 A3Ak解 A21011011021A3A2A10211011031Ak1 k01108 设 A01 求 Ak00解 首先观察10102 2 1A201010 2 2000 00 0 233 23AA2A033 200344 36 2A4AA044 300455 410 3AA4A055 4005k(k 1) k 2Ak用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k时成立，则k 1时，k k k 1 k(k) k 2Ak 1 Ak A20 k

21、 k k 10 0 kk 1 (k 1) k1(k 1)k k120k 1(k 1) k100k 1由数学归纳法原理知k(k 1) k2Ak9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也是 对称矩阵证明因为at a所以(BtAB)t Bt(BtA)t btatb btab从而btab是对称矩阵10设a B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ab ba证明充分性因为at a bt b且ab ba所以(AB)t (BA)t atbt ab即ab是对称矩阵必要性 因为At a Bt B且(AB)t ab所以ab (AB)t btat ba11求下列矩阵的逆矩阵(1)解 a 12

22、 |A| 1故a 1存在因为a*A11 A21A12 A22故A1丄A*52|A|2 1(2)cossinsincos解AcossinAl1 0故A 1存在因为sincosAAn A21cossinA2 A22sincos所以A1丄A*cos sin|A|sin cos1 213 425 411 21解A3 42|A| 20故A 1存在因为5 412 6m4113212 3 AASf12 312 3 AAA1- 2113 74A2aaaoan32q oaia20由对角矩阵的性质知1ai丄A1a212解下列矩阵方程(i)13 x 2163 5 4 62 2312 2 10 8i解 x 15216

23、2 1 1(2)X 2 101 1 1131413322 33 3202512342X21013011T11 43 12 01 2 0 1 1112431121101166101230120101001100 X00120010101解 Xio o 1.loo3 1040 2 .12 1 o o 1 .loo o 1 oX释角1 01 21-04 30 12 010100 10 141 0 0 2 00 0 1 1 231 0 021 010011 340 0 101 0213利用逆矩阵解下列线性方程组为 2x2 3x3 1(1) 2x( 2x2 5x3 2X3 31231225X22351X

24、33X121故X22X353x15x2解方程组可表示为x11从而有x20x30x1x2x3 2(2)2x1x23x3 13x12x25x3 0解方程组可表示为21x1x2X12x1x2xx1 5故有x2 0x3 314设Ak O (k为正整数)证明(E A) 1 E A A2Ak 1证明 因为 Ak O 所以 E Ak E 又因为E Ak (E A)(E A A2Ak 1)所以 (E A)(E A A2Ak 1) E由定理2推论知(E A)可逆且(E A) 1 E A A2Ak 1证明 一方面 有 E (E A) 1(E A) 另一方面 由 Ak O 有E (E A)

25、 (A A2) A2Ak 1 (Ak 1 Ak)(E A A Ak 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A2Ak 1)(E A)两端同时右乘(E A) 1就有(E A) 1(E A) E A A2Ak 115设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆 并求 A 1 及(A 2E) 1证明由A2 A 2E O得A2 A 2E 即 A(A E) 2E或a2(a E) E由定理2推论知A可逆且A1 *A E)由A2 A 2E O得A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E1或(A 2E) 4(3E A) E由定理2推论知(A 2E)可逆 且(A 2E) 1

26、*3E A)证明 由A2 A 2E O得A2 A 2E两端同时取行列式得|A2 A| 2即|A|A E| 2故|A| 0所以A可逆 而A 2E A2 A 2E| |A2| |A|2 0 故A 2E也可逆A2 A 2E OA(A E) 2EA 1A(A E) 2A 1E A1 1(A E)又由A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E) 1(A 2E)4(3E A)16设A为3阶矩阵|A|号 求|(2A) 1 5A*|解因为A1 -1,A*所以|A|(2A) 1 5A*| |a1 5|A|A1

27、| |A1 |a1| 2A 1| ( 2)3A 1| 8|A| 1 8 2 1617设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆(A*) 1 (A 1)*证明由A11寸*得A* |A|A 1所以当A可逆时|A*| |A|n|A 1| |A|n 1 0从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1 |A| 1A 又 A (A1)* |A|(A1)* 所以|A |(A*) 1 |A| 1A A| 1|A|(A 1)* (A 1)*18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1) 若|A| 0 则 |A*| 0(2) |A*| |A|n 1证明(1) 用反证法证明假设|A*| 0则有A*(A*) 1 E由此得

28、A A A*(A*) 1 |A|E(A*) 1 O所以A* O这与A*| 0矛盾，故当|A| 0时有|A*| 0(2) 由于A 1占A*则AA* |A|E取行列式得到|A|A|A*| |A|n若 |A| 0 则 |A*| A|n 1若|A| 0由(1)知|A*| 0此时命题也成立因此 |A*| |A|n 10 3 319 设 A 110 AB A 2B 求 B1 2 3解 由AB A 2E可得(A 2E)B A 故2 3 303 30 3B (A 2E)1A1 1 011 01 21 2 112 31 11 0 120 设 A 0 2 0且 AB E A2B求B1 0 1解由AB E A2 B

29、得(A E)B A2 E即(A E)B (A E)(A E)0 0 1因为|A E|0 1 01 0所以（AE）可逆从而1 0 0201B A E 03010221设 A diaig(121) A*BA 2BA8E求B解由 A* BA 2BA8E得(A* 2E)BA 8EB 8(A* 2E) 1A 18A(A* 2E) 18(AA* 2A) 18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A) 14diag(2 1 2) 11 14diag(2，1,10 0 0 8 nu o 1 o2diag(1 2 1)22已知矩阵A的伴随阵A*且 ABA 1 BA 1 3E 求 B 解 由 |A*

30、| |A|3 8 得 |A| 2 由 ABA 1 BA 1 3E 得AB B 3AB 3(AE)1A 3A(E A1)1A3(E2a*)1 6(2E A*) 110 016 0006 06 11 00 6000 16 06003 060 30123设 P 1AP其中P1141100求A1解由 P 1AP得 A P P 1所以A11 A=P 11P 1.|P| 3P*1 41 1P 1131141111 0111 00 20 21114A1114 10332731273211 02111168368433111124设APP其中P 10211115(A)A8(5E 6A A2)解()8(5Ei

31、62)而故求idiag(1 1 58)diag(12 0 0)12diag(1 0 0)(A) P ()P 11 P()P*|P|11 11 0 02222 10 20 0 030311 10 0 01211 114 1111 1 125设矩阵A、B及AB都可逆 证明A 1 B 1也可逆 并 求其逆阵证明因为A 1(A B)B 1 B 1 A 1 A 1 B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A 1 B1可逆113126计算002100022130030003解设A1021A2013B12 1 B2(A 1 B 1) 1 A 1(A B)B 1 1

32、B(A B) 1A2 30 3A E E B1 A ab B2O A O B2 O A2B2AB1 B212 310 12 1AB212343A2B?0 30309所以A E E $O A2 O B2A A|Bi B2OA2B2125201240043000912 10 10 10 103 112 5 22 10 12 43 32 o o o o o1 32 o o o o o3 94 o o o o o27 取 A B验证A D|A| |B|C| ID200 0020 0101 0010 110 100 10 110 100 1 0 12 0100 20 1|A| |B|C| ID|A| |

33、B|C| ID28设A求 |A8 及 A4解令a 3 43厲2 2A8AO8 A8 oA o A2o a8O LU3LifoL 8L 0- 8 oLQmQoQ8COuoSSCXI寸Q QLCOQ QO ?S88TTC O o 8m OCXI寸Q QCO寸L4o o o ooLCOQ Q山O o山ToTO coCO寸L4o o o o co coO co厂OO coeAT)L1Jo08CJ8 寸 odOH oL1Joo00 oeAT)(L)KIKIOKIC 0 09 寸9 0 OWNCOL92v_二鲨 一一n=1A O 1 A 1 OC BB 1CA 1 B 130 求下列矩阵的逆阵5200(1

34、) 2 1 0 0(1) 0 0 8 30052032085 000100 003200 0211122是3200设A5221B8532则A115 2 12125B1321253852211A1A1250解设A1102B3104C2112则1121021200311 01 0 0 4ACOB1A1B 1CA 1OB1解1121218o12165240 00 01 031 112 41 把下列矩阵化为行最简形矩阵1 0 2 1(1) 2 0 3 1 0 0003 0 4 31021解2031 (下一步 r2 ( 2)r1 r3 ( 3)r1 )30431 0 2 11 3 ( 下一步 r2 (

35、1) r3 ( 2) )201 0 2 1 0 0 1 3 (下一步 r3 r2 )0 0 1 0( 下一步 r3 3 )1 0 2 1 0 0 1 3 (下一步 r2 3r3 )0 0 0 12 1 1 0 0 01 0 (下一步 r1 ( 2)r2 r1 r3 ) 0 0 1 00 1 0 0 0 10 2 3 1(2) 0 3 4 30 4 7 10231解0343 ( 下一步r2 2 ( 3)r1 r3 ( 2)r1 )04715)0 2 3 10 0 1 3 （下一步 r3 r2 r1 3r2 ）0 0 1 35301100021r步下310031044235313213234r1r23132r步下310442353132132解3)oX23rXXXX3)XXX740323108322213)1234 5 6 求 A789100110362514001001A2 3 1 3 7解 3 0 1E(1 2( 1) 0 1 00 0 12340 (下一步 r1 2r2 r3 3r2 r4 2r2 )237430111112024088912 (下一步 r2 2r1 r3 8r1 r4 7r1 )0778111111020200014 ( 下一步r 1 r2 r2 ( 1) r4r3 )00014102021020201110110300