再制造企业的回收生产决策研究

1、再制造企业的回收生产决策研究摘 要: 回收再制造能够降低生产成本, 节约原材料, 减少 环境污染, 但是管理更加复杂, 企业需要同时优化回收与生 产两方面的决策。该文通过对需求不确定环境下的再制造 企业生产回收联合优化问题进行建模, 从需求分布和再制造 成本、回收成本等分析出发, 运用非线性优化的方法, 求解了 最优回收比例与最优总产量决策。结论表明, 在需求波动不 大的情况下, 再制造带来的变动成本节约越明显, 再制造所 需投资越少, 则再制造比例越高且总产量越高; 强制再制造 比例政策随着生产成本结构的不同会带来再制造生产的扩 张或者萎缩。研究结果为再制造厂商根据需求及成本结构 合理制定生

2、产回收决策以及政府根据生产成本特点制定再 制造产业政策提供了有益的管理启示。 关键词: 再制造; 回收; 运作决策再制造是指将废旧产品制造成与新产品品质相 当的产品的过程, 是实现可持续发展的重要技术。 一方面, 再制造可能降低生产成本、节约原材料、带 来经济效益; 另一方面, 再制造对劳动力需求更高, 可以创造就业机会, 还能减小对环境的影响, 具有显 著的社会效益。近年来, 随着再制造成本降低、物流 网络的发展、法律约束以及环保观念的增强, 再制造 已经在汽车、电子等诸多领域中蓬勃发展。全球范 围内, 再制造的年工业总产值估计至少在 1 000 亿 美元以上 。回收再制造较为典型的例子包括

3、 Kodak 公司回收一次性相机的镜头和电路板进行 再制造, Michelin 公司回收轮胎进行翻新等。近年 来, 从事回收再制造的企业越来越多。在中国, 再制 造也已经引起了产业界和学术界越来越多的关 注 。因此, 研究企业的回收及生产决策具有重要 的意义。 与传统的制造企业相比, 再制造企业除了生产 决策之外, 还增加了回收决策, 管理的难度较大。近 年对回收再制造的研究, 已成为一个较新的热点, 如 对再制造相关的生产计划、回收决策、库存等优化问 题进行了广泛的研究 4 。但是, 大部分研究往往限 于单一的回收决策或者生产决策。 生产不确定性是当前再制造研究关注的重点。 再制造从废旧产品

4、中提取有价值的部件加工成新的 产品, 而废旧产品的获得往往不能够保证其提前期、 数量和品质。经典的对供应不可靠及产出不确定的 研究都是对传统报童模型加入生产复杂性和不确定 性的因素进行扩展 5-7 , 较为全面地考虑需求不确定 性的影响, 主要权衡生产不足可能引起的机会损失，再制造企业的回收生产决策研究 和生产过多引起的积压成本, 给出应对不确定性的 最优生产策略。但是, 模型所关注的决策问题不涉 及回收决策, 再制造部件的来源是给定的随机变量, 无法通过决策加以控制和调整。然而, 在企业回收 实践中, 由于用户手中可供回收的废旧产品数量有 限, 并且搜集难度较大, 很难形成一个充分竞争的回

5、收市场, 企业的回收投入决策很容易影响回收的数 量及品质。因此, 企业回收决策优化是一个不可回 避的问题。 对回收决策的研究较少, 大部分都简化了生产 和需求中的随机因素, 主要从较为宏观的层面讨论 确定性需求函数的模型。例如, Bakal 和 Akcali 将定价引入再制造决策中, 认为回收数量及质量与 回收价格有关, 假设线性的回收价格数量函数并进 行了分析讨论。Savaskan 等 则认为回收数量与 企业的回收投入有关, 将回收投入转换为再制造比 例的函数, 以再制造比例作为决策变量进行研究。 该研究对回收比例的建模是本文建模的依据。这类 研究普遍采用确定性函数表述需求, 无法很好地反

6、映市场波动的特征。而在实际运作中, 再制造厂商 必须考虑到需求不确定性对回收决策的影响。 可见, 既考虑回收决策的优化又考虑系统随机 因素的研究相对较少。本研究结合回收决策和随机 库存优化对已有模型扩展, 以报童模型框架为基础, 从再制造企业的经营实际出发, 研究需求不确定情 况下的最优回收比例决策, 并发掘其管理意义。 1 模型描述 在建立模型之前, 首先定义模型中的概念: 废旧产品指再制造厂商从用户手中收回的 淘汰或者报废的产品; 回收部件指从废旧产品中拆解出来的能用 于产品再制造的部件; 再制造产品指再制造厂商用回收部件生产 出的最终在市场上销售的产品; 常规产品指厂商用全新采购的零部件

7、生产 出的最终在市场上销售的产品。 假设1 再制造产品和全新制造产品品质没有 差异, 市场对2 种产品不加区分。 该假设对于某些产品是符合实际的, 如 Kodak 的一 次 性 相机、Hewlet t-Packard 的 硒 鼓等。 Tokt ay 等 10 和 Bayindir 等 11 也采用了这一假设, 滤去了异质需求和细分市场的影响, 使模型能够聚 焦于成本角度考察再制造产品比例决策问题。 问题情景描述如下: 再制造厂商以一定的代价 从最终用户手中回收废旧产品, 从中拆解出有价值 的零部件进行回收再制造并与全新产品一同销售以 满足不确定性需求D, 其分布函数为F( x) , 概率密 度

8、函数为f ( x) 。销售价格为p , 未售完的产品残值 为s, 满足p > s。再制造厂商关注的焦点为再制造 产品占总产量的比例 和总产量q, 通过这 2 项决 策最大化自身的期望利润。 和q 作为决策变量, 直接决定了回收总成本 CT ( , q) 。一般来说, 再制造产品比例越高、数量越 多、回收总成本越大。对回收成本做进一步假设: 假设2 回收成本分为 2 个部分, 一部分是回 收能力的建设和投资, 设为I ; 另一部分是为了获取 废旧产品支付给用户的回收价格, 设为 a。I 的增加 能够提高。因此设 = I / C, 其中 C 为规模参 数, 将控制在 0, 1 中。 采用成本

9、结构设计。该设计在营销领域的销售 激励和客户保留模型中广泛使用, 如 Zhao 12 , Coughlan 13 。在运作管理领域中, Fine 和Porteus 14 , Savaskan 等 9 也采用过类似的模型。得到总成本为 CT ( , q) = I + aq = C 2 + aq. 同时, 平均回收成本为 A = ( I + aq) / q = ( C) / q+ a. 可见随着增加, 平均回收成本 A 相应增高, 体现 出废旧产品的稀缺性, 与实际相符。 再制造产品和常规产品生产成本往往不同。记 常规产品的生产成本为 cm, 再制造产品的生产成本 为cr 。一般采用回收部件进行生

10、产比采用新部件进 行生产便宜, 有cr < cm 。总的平均成本为cm( 1- ) + cr , 令 = cm - cr , 平均成本可以表示为cm- 。厂商的决策数学模型为: max 0 1, q0 E ( , q) = E p min( q, D) - C 2 - aq - ( cm - ) q+ s( q- D + ) . ( 1) 其中 ( q - D) + = max q - D, 0 . 2 最优再制造比例及影响因素分析 为了获得最优的回收比例, 首先分析期望利润 函数的性质。期望利润的Hessian 矩阵为: ( s - p) f ( q) - a - a - 2C . 从

11、Hessian 矩阵可以看出, 期望利润关于 , q 均为凹, 但是不能保证联合凹, 因而无法简单地应用 一阶条件求解。回收决策的引入往往不能保证期望利润是凹函 数, 给求解带来困难, 也是回收决策研究所面临的一 个普遍问题。但是, 在某些特定情形下, 期望利润函数具备一 些较好的性质, 从而使得问题简化, 方便求解。 若D 的分布满足f ( x ) > ( - a) 2 2C( p- s) , 则易得期 望利润为联合凹。例如当市场需求的不确定性较 小, 在一个较小的区间内呈均匀分布或者截尾正态 分布时, 即可满足这一条件。一般而言, 回收再制造 的产品都是机械产品或者耐用品, 需求相对

12、较为平 稳。此时对最优解的分析较为简单, 可以得到如下 结论: 命题1 若 D 的分布满足f ( x ) > ( - a) 2 2C( p- s) , 则有 1) 企业最优决策为不生产再制造产品( 即 * = 0) 的充要条件是 - a 0, 相应 地有 q * = F - 1 p - cm p - s 。 2) 企业最优决策为只生产再制造产品( 即 * = 1) 的充要条件是- a> 0 且 ( - a) F - 1 - a+ p - cm p - s - 2C 0。 3) 企业最优决策为同时生产再制造产品和常 规产品( 即 0< * < 1) 的充要条件是 - a&

13、gt; 0 且 ( - a) F - 1 - a+ p- cm p - s - 2C< 0。此时, 对于企 业的最优生产数量q * 和最优再制造比例 * 有: p( 1- F( q) - cm + ( - a) + sF( q) = 0, - 2C+ ( - a) q = 0. ( 2) 证明: D 的分布满足f ( x) > ( - a) 2 2C( p- s) 时, 目标 函数的Hessian 矩阵为负定, 因此目标函数为联合 凹函数。所以该优化问题的 KKT 条件为最优解满 足的充分必要条件。KKT 条件可以表达为: p( 1 - F( q) ) - cm + ( - a)

14、+ sF( q) + 3 = 0, - 2C+ ( - a) q- 1 + 2 = 0, 1 ( - 1) = 0, 2 = 0, 3 q = 0, 1 , 2 , 3 0. ( 3a) ( 3b) ( 3c) ( 3d) 首先, 有q * > 0。在模型的基本参数设置下, 生 产总是有利可图的。令= 0, 则模型退化为基本的 报童模型; 在p > cm 的情况下总存在相应最优的q 使得厂商能够获得正利润; 而 q= 0 必然期望利润 小于等于零, 是一个劣解。因此, q * > 0 得证, 根据 ( 3c) , 有3 = 0。 1) 证必要性: 若 = 0, 由式( 3a)

15、 可得, q= F - 1 p- cm p - s , 退化为不考虑再制造的报童模型的 结果。根据式( 3c) , 有 1 = 0, 将这 2 个结果代入 ( 3b) , 有( - a) q+ 2 = 0。根据式( 3d) , 有( - a) q 0, 即必须满足( - a) 0。 证充分性: 若( - a) 0, 则式( 3b) 的前三项 均为负, 此时必有 2 > 0, 从而由式( 3c) 得出 = 0。 2) 证必要性: 若 = 1, 由式( 3c) 可得 2 = 0。 根据式( 3a) , 有 q= F - 1 - a+ p - cm p - s , 根据式 ( 3b) , 有-

16、 2C+ ( - a) q- 1 = 0。由式( 3c) 可以 得出 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C 0, 由此自然可同时得到 - a> 0。 证充分性: 充分性的证明需要先证明一个引 理, 即: 若( - a) F - 1 - a+ p- cm p - s - 2C 0, 则 ( - a) F - 1 ( - a) + p- cm p - s - 2C0。 采用反证法证明该引理, 根据式( 3a) , 有 q= F - 1 ( - a) + p- cm p - s 。如果 ( - a) F - 1 ( - a) + p - cm p - s -

17、 2C< 0, 根据式( 3b) , 有2 > 0, 由( 3c) 可导出= 0, 将其代 回式( 3b) , 有 - a 0, 与条件矛盾, 故原结论 成立。 根据该引理的结论, 从 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C 0 和 - a> 0 得出 ( - a) F - 1 ( - a) + p - cm p - s - 2C 0, 再根据式( 3b) , 由 > 0 得出 1 > 0, 从而得到= 1, 充分性得证。 3) 先证必要性: 当0< < 1 时, 若 ( - a) F - 1 - a + p - cm

18、 p - s - 2C 0, 则根据式( 2) 有= 1, 矛盾, 因此有 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C < 0. 再证充分性: 根据 吴 鹏, 等: 再制造企业的回收生产决策研究 1961 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C < 0 和- a> 0, 若= 0 或者 = 1, 则由已经证明的 1) 和2) 子命题均能推出与条件相反的矛盾, 因此有 0< < 1。此时, 1 = 2 = 0, 则根据式( 3a) 和式 ( 3b) , 和q 需要满足的式子正是式( 2) 中列出的2 个

19、等式。证毕。 命题1 给出了模型参数在不同取值范围内相对 应的最优决策, 构成了一个完整的策略。结论表明, 企业最优再制造比例决策 * 、最优总产量决策q * 与再制造产生的变动成本节约 - a 以及企业回收 投资的规模参数C 有紧密的关系。对( 2) 进行进一 步分析, 通过代入法消去可得q * 关于 - a 递增、 关于C 递减, 进而可以推导出 * 关于 - a 递增、 关于C 递减。如果再制造的变动成本节约越大, 回 收投资的规模参数越小, 则再制造比例越高, 总产量 越大。相反, 如果再制造带来的变动成本节约越小, 回收投资的规模参数越大, 则再制造比例越低, 总产 量也越小。并且,

20、 当 - a 和C 达到一定阈值时, 企 业则会完全通过再制造产品满足市场的需求。这些 数量关系变化规律以及阈值的存在对企业的经营管 理具有较强的参考价值。 当f ( x) > ( - a) 2 2C( p- s) 无法满足的时候, 期望利 润的凹性不能得到保证。此时, 命题 1 的结论不再 成立, 相应的q * 、 * 与 - a、C 的单调关系也不一 定存在。然而, 最优解的寻找并不十分复杂。设q 、 为满足一阶条件( 2) 的解。若 f ( q ) ( - a) 2 2C( p- s) , 则目标函数为拟凹, q 、 为极大值点, 欲求最优解 只需要考察该极大值点是否处于可行域内以

21、及边界 点期望利润的大小。若 f ( q ) < ( - a) 2 2C( p - s) , 则 Hessian 矩阵具有异号的特征根, ( q , ) 为鞍点, 不 是最优解, 又由于期望利润存在有限的上界, 最优值 必定在边界点取得, 只需计算= 0 和 = 1 相应的 最优 q 值, 并比较相应期望利润的大小即可。由此 可见, 不确定性的需求分布对最优回收比例决策具 有显著的影响, 企业在进行回收再制造时, 必须对需 求的分布进行细致的估计。 政府为了引导产业发展可能强制规定再制造比 例。例如欧盟 2000/ 53/ ec 报废汽车回收指令规定 其投入市场的新款汽车的材料回收率至少

22、要占重量 的85%, 可利用率至少为 95%。在这种情况下, 再 制造产品比例 的取值范围由政府规定, 一定程度 上成为企业决策的外生变量。的变化会对企业产 量决策q 产生影响, 有如下结论: 命题2 当 - a> 0 时, E ( , q) 是上模 ( supermodular) 。当 - a< 0 时, E ( , q) 是下 模( submodular) 。 证明: 2 E( q, ) q = - a. 当 - a> 0 时, E( q, ) 是上模; 当 - a< 0 时, E( q, ) 是下模。证毕。 根据T opkis 15 的结论, 当- a> 0

23、 时提高会 使相应的q * ( ) 增加; 当- a< 0 时提高 会使相 应的q * ( ) 减小。命题2 对于政府政策制定具有一 定的参考价值。当回收的变动成本高于再制造带来 的成本节约( 即- a< 0) 时, 政府制定强制政策要 求企业提高将导致总产量q * ( ) 降低, 会带来产 业的萎缩。当回收的变动成本低于再制造带来的成 本节约( 即- a> 0) 时, 政府制定强制政策要求企 业提高会带来q * ( ) 的提高, 同时提高总体再制 造的数量q * ( ) , 会带来相关产业的扩张。 3 数值试验 进一步通过数值试验探讨政府强制再制造比例 政策对企业最优决策及

24、相关利润的影响, 验证上节 结论。 参数设置如下: 需求服从 N( 100, 30 2 ) 的正态 分布, 产品售价p= 8, 残值s= 1, 生产成本 cm = 6, 再制造成本 cr = 2, 回收变动成本 a= 2, 回收规模 参数C= 200。此参数下计算出最优产量 q * = 94, 最优再制造比例 * = 0. 47, 相应的最优利润为 166. 55。考察不同的最低再制造比例限制, 令 从 10%到100%变化, 计算相应的最优生产决策以及 企业利润。结果如图1 和图2 所示。 图1 最优产量变化趋势 图1 结果表明, 当政府要求的最低再制造比例 小于0. 47 时, 企业的最优

25、经营决策能够满足要求, 1962 清 华 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 2010, 50( 12) 图 2 最优利润变化趋势 因而不受政策影响。随着最低再制造比例要求的提 高, 企业的最优总产量和最优再制造产量也相应增 加, 这与命题2 的结论是相吻合的。进一步可以观 察到, 相比于总产量的增加, 再制造产量增加幅度 更大。 图2 结果表明, 随着政府要求最低再制造比例 的提高, 企业的利润逐步减小。为了维持企业的积 极性, 政府可以考虑对利润减小的部分进行补贴。 4 结论及展望 本文研究了再制造企业在需求不确定情况下最 优的回收比例决策和生产决策。由于回收再制造的 引入, 传统报

26、童模型目标函数的凹性性质不再满足, 通过对参数性质的细致讨论, 得出在特定参数范围 内的最优决策。研究发现, 企业的回收决策受到回 收成本、回收投入、再制造成本节约等诸多因素的影 响。既再制造成本越低, 则再制造产品的比例越大、 总产量也越高。同时, 政府制定回收比例的规范和 要求时需要考虑企业的生产成本结构以及回收市场 的价格水平, 根据政策的目标确定适当的回收比例。 再制造企业的回收决策属于较新的研究领域, 大量重要的研究问题仍待解决。Guide 和 Van Wassenhove 16 对该领域的研究前景进行了乐观展 望。本文也具有较大的研究扩展空间。例如, 再制 造企业的回收数量是不确定

27、的, 这种不确定性会对 企业的回收决策和生产决策产生巨大的影响。将来 的研究可以进一步考虑回收不确定性的影响。本研 究讨论了单周期决策模型, 但是多周期决策更接近 实际, 因为废旧产品来自前期的生产和销售, 故向多 周期动态决策扩展具有较大的意义。此外, 本研究 考虑的是单企业决策问题, 而实际供应链的运作往 往涉及多个企业, 需要供应链上下游协调决策, 并且 还会面临竞争与合作, 这些问题的研究也具有巨大 的现实意义, 有待进一步探索。 参考文献 ( References) 1 St ei nhilper R. 再制造- 再循环的最佳形式 M . 朱胜, 姚巨 坤, 邓流溪, 译, 北京:

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