绝对值方程详解及答案

1、第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题， 我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号. 将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解前者是通法，后者是技巧.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题【例1】方程5x+6=6x5的解是（重庆市竞赛题）思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解.【例2】 适合2a + 7

2、+|2a1 =8的整数a的值的个数有（）A 5 B 4 C3 D. 2（“希望杯；邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征， 借助数轴也许能找到简捷的解题途径.注：形如ax+b =cx + d的绝对值方程可变形为 ax + b = （cx + d）且cx + dO, 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验.【例3】解方程：x 3x十1| =4 ;思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程.（天津市竞赛题）【例4】解下列方程：（1）x +3 - x -1| = x +1（北京市“迎春杯”竞赛题 ）（2）X 1 +|x 5 = 4 （ “祖冲之杯”邀请赛试题）思路

3、点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨 论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何 意义迅速求解.【例5】已知关于x的方程X-2十x-3=a ,研究a存在的条件，对这个方程的解进 行讨论.思路点拨 方程解的情况取决于 a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关 系决定了方程解的情况， 因此，探求这种关系是解本例的关键. 运用分类讨它法或借助数轴 是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解.注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题， 它给我们留有自由 思考的余地和充分展示思维的广阔空间， 我们

4、应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘 题目提供的各种信息，进行全面研究.学力训练1方程3（x -1+1的解是；方程3x1 =52已知 3990x 1995 =1995，那么 x=.3. 已知，X =X 2，那么19x+3x+27的值为.4. 关于x的方程ax =|a +1 x的解是x=0 ,则a的值_的解是x=1，则有理数a的取值范围是 .5使方程3x+2+2 = 0成立的未知数x的值是（）.2 A . 一 2 B . 0 C .D .不存在36. 方程x-5+x-5 = 0的解的个数为（）.A .不确定B .无数个C . 2个 D . 3个（“祖冲之杯”邀请赛试题 ）17. 已知关于 x

5、的方程mx+2=2（m-x）的解满足X ，一1222A. 10 或B . 10 或C . -10 或D .555（山东省竞赛题）& 若 2000x+2000 =202000，则 x 等于（）.A . 20 或一 21 B . 一 20 或 21 C. 19 或 21（重庆市竞赛题）9 .解下列方程：（1）|3x -5 +4 =8 ；（2）4x -3 - 2 =3x +4 ；（3）x - 2x+1| =3;（4）2x T + x -2 + x +1 .10 .讨论方程|x +3 2 = k的解的情况.2x 1的解是._；关于x的方程ax=|a + 1x=0，则m的值是（）210或5D . 19

6、或一 2111 .方程x -2 一1 =2的解是12若有理数x满足方程1 -X =1 +卜，则化简X-1的结果是 .13.若a 0,b cO，则使xa +|xb = a b成立的x取值范围是14若0vxv10，则满足条件 x_3=a的整数a的值共有个，它们的和是 .15若m是方程2000 x =2000+x的解，则m2001等于（）.A . m 一 2001 B .一 m 一 2001 C . m+2001 D .一 m+200116 .若关于x的方程2x3+m=0无解，3x4+ n=0只有一个解，4x 5=k = 0有两个解，则m、n、k的大小关系是（）.mnk B . n kmC . km

7、n D . mkn17 .适合关系式3x-4+3x+2=6的整数x的值有（）个.A . 0 B . 1 C . 2 D.大于2的自然数18 .方程 x +5 3x 7 =1 的解有（）.A . 1个 B. 2个 C .3个 D.无数个19 .设a、b为有理数，且 a 0，方程|x-a-b =3有三个不相等的解，求b的值.（“华杯赛”邀请赛试题）20 .当a满足什么条件时，关于 x的方程x-2-x-5=a有一解？有无数多个解？无解？21 .已知x+2+1x=9y5 1+y，求x+y的最大值与最小值.（江苏省竞赛题）22 . （1）数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离；是否存在有理数

8、x，使x+1 +|x3=x?（3）是否存在整数x,使x-4 + x-3 + x+3+|x+4 =14?如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由.参考答案回 鉅对值与一元一次方程【例題求解】ft I jr=ll提示】原方程5jrH-6=-(6jr-5)或械5斗斗点玉Q忑丁+亦弋。村论” 1选B提示：由已卸即在救釉匕表示备的，点到一？与十1的距离和尊于瞄所我示一 7到】之闻的偶数一岳 3 JT寻或 2寻 提示；原方j-|3j + 1|=4 4E x-|3t+| = - +常M 门)推丽】岂*:一自耐，原方程代为上+宫+ 2=工十超t*-5t当一JT- 1时+原方趕化为工+ 3十乂一1工+

9、1昇号J= I f当zkl时原曲忌化肖上+2-灯一门=扌+1,得乂申3、编上知原方程的解为-S,-!方稈的几何克丈抱数釉匕想示敷r的点到农示牧I从的距海和纾于仁画岀敷轴易得膺足来杵的数为1 J5,此即対原方桎的廉.洌3 提示】敌釉上表示散t的点掛散铀匕茨示敌2,3的点的距高和的廉加備为1*由此可得方稈睥妁悄呪是，1时原方程解为工=耳律当=)时.匣方程解为2j3idi.寿al时质育程无*rI学力训嫌】.士学池茨。2. 0或一 13. 54. 一 1.2鼻:。提示1由|曲#?| = |d|+li得血只1孑0.即LlO5. D 6. B 7. A 乩 D9. (1 )x* 5或工y a j* 或直2

10、订4)操廣彳分jt 1,】.寺忑氛工耳？ |H种Iflf配井跚玄掉绝对伺符号琳方棵.当睜痒和*时廊方稈化为阳即1 = 1.这是十牛領尊武说唄凡是需足+或，玄2的工值那是打程的解，10. 当0幷原方程无熔；当Jt = Q时.原方超有两#hr=-lj=-5i. Q*总时方程有两粹山+ 3-2代*釈一1L 土512. 1-j13,握忒=利用绝对情的几网意义解，14. 7.21推示时.購有！ jt-31 =目一=存罚的解蜓3J10fl4*W#|j-3!=才一自的解为趴】 H.15. D 厘示twJ lti. A 17+ C 悭示i-2CXr4 IS, B)9.提示；若i+3-5都是非负的.面且如靈其中一1为寧.则谒3牛解如果都不是辛*別得4伞解如!=電却.犍示由地对怕几何.1：-3(0 时，方程有一齋：目u=$