等差数列和等比数列方法归纳

1、等差数列和等比数列等差数列等比数列定义通项公式-.蔦前n项和性质判定方法等差数列的性质的运用性质1；在等差数列:a/f中，对任意的m,n N* ,有 a. = am (n - m)d,d = amn m性质2 :在等差数列 玄中，若m n = p ,则ma n a = pa q特别地，m n =2 p则 ma “a =2 pa性质3：数列aj是公差为d的等差数列，贝U Sm,S2m -Sm,S3m -S2m,仍是等差数列，且公差为m2d性质4：在等差数列aj中，当项数为偶数 2n时，S偶-爲二nd , §奇如（中间两S偶an卅项之比）；当项为奇数时，S偶-S奇二an （中间项），&#

2、167;奇二 （奇数项项数与偶数项项S（偶 n 1数之比）1、在等差数列:an ? 中，已知 a6 = 4, a*i3 = 18，求 a2i2、（1）已知等差数列an中，若 a3 a4a5a6a 450,则a?-a$二（2）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2 a5 a 12，则S9二3、一个等差数列的前n项和为Sn, So = 10 , S3 70 ,求S404、已知等差数列an的项数是奇数，a1 =1，奇数项之和是175,偶数项之和是150,求公等差数列的判定方法1定义法数列 3?中，anq -an二d （常数）二:a/f是等差数列2、等差中项法数列瓜中，2an an - a. 2 =

3、 ia/?是等差数列3、通项公式法数列gn中，an = kn b （关于n的一次式）u an '：是等差数列4、前n项和公式法数列an，中，Sn二A n2 Bn （关于n的二次式，无常数项）=a,是等差数列a 11、已知数列 込中，印=1，且a2anj 2n，证明：数列是等差数列，并求a.12 J22、已知数列的前n项和为Sn =n -9n，其中5 ： ak : 8,求k等差数列前n项和最值的求法1通项法一一根据数列的增减性（1 ）当4 0,d ： 0时，数列的前m项为非负数，m+1项为负，贝U Sn的最大值为Sm（1 ）当q < 0, d 0时，数列的前 m项为非正数，m+1项

4、为正，则Sn的最小值为Sm2、二次函数法2 *由于Sn =A n Bn是关于n的二次式，可利用配方法来求Sn的最值，注意n，N已知等差数列an中，a25 , S7，求前n项和的最大值（用不同方法）等比数列的性质性质1;在等比数列 毒 中，对任意的m,N* ,有aamq（njm）,性质2 :在等比数列an中，若m + n = p +,则m a n a =p a q特别地， m n = 2p,贝Uam an =ap2性质3：数列:an /是等比数列，贝y Sm,S2m -Sm,&m -S2m,仍是等比数列，且公比为 qm 性质4：在等比数列:a/f中，当项数为偶数2n时，S偶 :务二q ；

5、1、在等比数列“Gn ?中，已知ai2 = 9, a36 = 72,求a682、在等比数列：an中，已知an0,a2a42a3a5a4a 25,求a3a5等比数列的判定方法1、定义法数列 a：冲， andt：an =q （常数） 二廟 是等比数列2、等比中项法数列an中，an=anl_an42二an是等比数列3、通项公式法数列玄？中，an=cqn=:a 是等比数列4、前n项和公式法数列 中，Sn二Aqn -A （注意A-A=O）二 祐,是等比数列1、数列中，ai =1，且 an 2an_i 0（n 一 2），证明：数列：an 1是等比数列，并求an常见递推数列通项公式的求法类型1 a* .1二

6、a* f (n)求法：累加法1、 在数列a*中已知ai =1,当n_2时,有a*二a*2n -1(n_ 2),求数列的通项公式类型2 a*a* f(门)求法：累乘法2、 在数列an中，已知a1 =1,有han=5 1)a*(* N小_ 2),求数列a*的通项公式类型 3a* 1 二 pa* q(p =0, p ")求法:待定系数法令a* 1 -，二p(a* -対,其中，为待定系数，化为等比数列a* -咒求通项.3、已知数列a*中,若a1,a*d -2a* 3(* _1),求数列a*的通项公式.类型4S* = f (a*)求法:利用* 一2时,a* =S* -S*_,化为a*或S*的递

7、推关系求解 已知各项均为正数的数列a*的前*项和S*满足S -1,且6S*=(a* 1)4、(a*2),N .,求a*的通项公式类型 在数列a*中a1 =1,a* 1 =2a* 2*(* N ),求数列a*的通项公式 a* 1 =pa* f (*)(p = 0, p =1)求法:待定系数法或化为 崙=窪*羊 后累加法求解ppp6、已知数列an满足Sn - an = 2n 1,其中Sn是an的前n项和,求an的通项公式类型6an 1二一(pqr均不为零)qan +r求法:倒数法，若p二r,则化为等差数列求通项；若p- r,则化为类型3求通项.7、已知数列an中 ,ai =1,Sn弘 ,求an的通

8、项公式2Sn+1类型7其它类型求法：按题中指明方向求解 .18. 设数列an满足印=1,a2 =2,an(and 2an,)(n =3,4,山)3(1)求证:数列ani -an是等比数列；求数列an的通项公式an.数列的前n项和的常用求法常用的几个结论1 2 3 . nn(n 1)2213 5 (2n -1) = n.2_2_22 n(n 1)(2 n 1)123n:6132333.n3珂5. Sn11.1汉447(3n 2)(3 n+1) n(n1)221.分组求和法 将一个数列的每一项分成若干个部分再分组求和111 11:S =+2- +3- +.+(n+g)n)Sn =1 2+2 3 +

9、 3 4+. + n(n +1)2.并项求和法将相邻若干项合并为一项求和2:S,00 =1 _2 3 _4 L 99 -100Sn =12 _22 32 -42 . (n -1)2 - n2(n为偶数)3.倒序相加求和法：对某些前后具有对称性的数列，可运用倒序相加法求其前n项和.3已知函数f(x)满足f(x) f(1-x)又n为大于2的正整数则f) f(2) V f(W)=2n nn4.裂项相消求和法将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法14. 已知an =1 2 3 . n.求数列一的前n项和Sn6.求数列1112 ' 2、3的前n项和.总结:若数列的通项an可转化为an二f (n 1) - f (n)的形式常采用裂项求和法,常见技巧有1 11 1 1 111（）（）（其中K是等差数列）n（n k） k n n kakak d d akak d1 1 （、n k -n）,n i n k k5. 错位相减求和法7. 求和：Sn =1 3x 5x2 7x3. （2n - 1）xn（x = 0）总结:一般地,如果an是等差数列，bn为