二叉树定价模型

1、WOR格式期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein 提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomialtree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。例8.1假设一只股票的当前价格是 $20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出

2、来。期权价洛二$1专业资料整理18期权价格=$U8.1表示的二叉树称为一步能上述二叉树中从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可 出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图（one-step ）二叉树。这是最简单的二叉树模型。0假设一只股票的当前价格是.一，一般地，日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为基于该股票的欧式期权价格为相应的期权价格为这种过程可通过一 tne-step。经过一个时间步（至到期;也有可能下降到）二叉树表示出来，8 2 如图所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价，我们采用无

3、套利( noarbitrage )假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合(portfolio )，.组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得爲(卯d)- (8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。rr Ar护；以表示无风险利率，则该组合的现值(thepresentvalue )为 ，又注意到该组合严的当前价值是，故有八冲阴干DEI将(8.1) 代入

4、上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为F =: ua(8.2)喇，莎即有：Qy1“需要指出的是，由于我们是在no arbitr)假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率无套利(age应该满足:盼价uSo期枫价值陰期权价值血现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%求该期权的当前价值。jlJq 斗U 9已知：盘=_=：1120,18 = 0.9 ?-20在期权到期日，当=W时，该看涨权的价值为% = 22时，该看涨权的价值为而当根据(8.3)和(8.2)，可得p = 羽秦 1.1-0.9/= yM飙靳0 6,2J就+ f

5、t-0&2割x粧辛疥;上述期权定价公式(8.2) 和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已甕1g r经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为，在时间的则股价下降的概率就是望股票价格为如果我们假设市场是风险中性的(疔 有riskneutral )，则所有证券的价格都以无风险利率增加，故于是，我们有由此可得St =护 2：T分成两个相等的加到当前价 格的过程可 通过如图倍，或者下降到当前价格的倍。股票和期权价格的演化8.所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树(3Two-step与比较，我们发现：，这就是的含义，我们称之为风险中性状态

6、下股价上升的(8.3) 参数概率。8.2两步二叉树模型 在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短 计算的时间步长，有助于提咼计算精度。现在我们将初始时间距期权到期日的时间 时间步，则每个时间步长。假设一只股票的初始价格是W基于该股票的欧式期权价格为，且每经过一个时间步，该股票价格或者增bin omialtr )模型。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。)假设，由前向后(ees类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利(noarbitra

7、gebackward)逐步计算期权价值，我们得到阮+ (L-南日沪*醯*(芒旳刨牌%严霉缶啪神亠掳热(8.4)其中，II Q邛企 匕亠(8问在朗密淀尸;述焉更厂滋沪；(8.4) 中，分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上节点，中间节点和下节点的概率。因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。股价So f待走股价股价吗期根价值如1两歩匸翊模型$50，且每过1年该股票价格或者上升例8.2假设一只股票的初始价格是20% 或者下降20% 无风险利率为5%现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型确定该期权的价值。分析将初始时间到期权到期日的 2年时间

8、分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的演化进程可通过图4直观表示出来。依题意，已知：劈0点爾f镂朗轟3工3电蛙0律士J05母JT在3透止勰= !*且在期权到期日，当时，该看跌权的价值为扎=珥厲-也昵0) - 当z时，该看跌权的价值为鑫严aw辜* 0)耳聶当 1时，该看跌权的价值为為产血-20根据(8.5)，可得严1 - 0.8ia-o.a=0,6282再由(8.4)，即可求得该看跌权的初始价值为/二严齢662&总边楼曲6282t =R71个相等的时间步，则每个时间，且每经过一个时间步股价或向上增加到当前价格的倍，无风险利率为的-JA =倍，或向下下降到当前价格的nj，则在期权到期日，股票价格

9、有种可能结果：璨鶴护Q - p) f彎尹啊(1- p) *它们在风险中性状态下出现的概率分别是: /Mi 内其中(8.6)撐3%对应的期权价值，为与种股票价格涨权在到期日的价值为股票看跌权在到期日的价值为X卫=ma如将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为(8.7)关于参数 定的公式:的取值，Cox，Ross 和 Rubinstein吭1给出了由股票价格波动率确(8.8)8.4二叉树模型的美式股票期权定价上面我们讨论了应用二叉树模型给欧式股票期权定价。实际上，二叉树模型还可给美式股票期权定价。美式和欧式股票期权在到期日的价值是相同的。不同的是，美式股票期权的定价过程要求

10、在到期前每一个离散时间点上判断提早执行（earlyexercise ）是否最优，并计算对应的期权价值。个设股票价格经历了祥步时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为，这可用一二叉树描述（图形省略）。若股票的初始价格为，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格1的K?倍，或向下下降到当前价格的 个时间步后，二叉树上产生f?J- IS倍，无风险利率为的，则在第* 瘵个节点，自上而下分别用表示，则节点对应的股票价格为节点处期权没有被提早执行，则期权价值可通过式期权价值用表示。如果在（8.2） 和（8.3）来计算，即r X1 卜 J、+1-U+ 1)1(8.9)(8.10)如果在节点处期权被

11、提早执行是最优的，则期权价值就是提早执行的收益（payoff），令为期权的敲定价，对股票看涨权，有lx*(8.11)显然，美式股票期权在节点：中的较大者，即丄1Tj 1JCLi is(8.13)由于美式股票期权在期权到期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也称作向后推演(backwardsinduction)。先由第 步(期权到期日)的个节点上的期权价值通一疗一1-V过公式(8.9)(8.13)推出第步对应的 个节点上的期权价值，依此下去，我们可以得到初始时间上 的期权价值。F面通过一个例题具体介绍美式股票期权的二叉树定价过程例8.3若例7.2考察的股票期权是美式的，试对该美式股票期权定价。在期权到期日，该分析股票价格的演化进程见图8.5。与欧式股票期权一样，美式看跌权的价值自上而下分别为 二：匚二AF愛二总(8.12) ，可得 根据式(8.9)籍歸0.6282 xO + Q- 0.6282) x 4W7盅=X -遍=52-60 =弋ff= X 一礙 土場一 40 = 12故