高等数学-第七版-课件-4-5 不定积分习题课

1、第五讲 不定积分习题课不定积分习题课不定积分习题课一、内容小结二、题型练习不定积分习题课不定积分习题课一、内容小结二、题型练习概概 念念导数的逆运算导数的逆运算注意任意常数注意任意常数性性 质质互逆性质互逆性质线性性质线性性质公公 式式24个个方方 法法直接积分法直接积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法初等函数初等函数积分积分有理函数有理函数三角函数三角函数无理函数无理函数概概 念念性性 质质公公 式式方方 法法初等函数初等函数积分积分不定积分习题课不定积分习题课一、内容小结二、题型练习不定积分习题课不定积分习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）

2、第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题思路思路( )dg x x 不好积不好积凑凑 ( )( )dfxx x ( ) d ( )fxx 令令( )ux ( )df u u 好积好积( )F uC ( )ux 回代回代 ( )FxC ( )dg x x 第一换元法第一换元法关键关键拆项拆项凑积分因子凑积分因子1拆项积分法拆项积分法u例例1 求下列各函数的求下列各函数的不定积分不定积分(1) xxxd313(2) xxxd1323(3) xxxd1335(4) xexd11(5)

3、 xeeexxxd22(6) xxxd11642. 凑各种因子凑各种因子u例例2 求下列各函数的求下列各函数的不定积分不定积分(1)(2)(3)(4)(5) 41dxxx xxx1d xx4cosd xxx4sin1d2sin凑凑 231dd12xxx凑凑xxxdd21 凑凑xxxtanddsec2 凑凑 xxx2sindd2sin xxx4cos4d2sin凑凑 xxx2cosdd2sin u补补1 (1) )1(darctanxxxx求求(2) xxexd4sin2sin52求求(6) xxxxcossin1d2cos凑凑1d(sincos )d(cos2 )2xxx (7)tan dln

4、cosx xx 凑凑tan dd(lncos )x xx (8) xxxxsincosdtanln凑凑 xxxxtanlnddsincos1 (9) xxexxxd)1 (1凑凑 xxxexexdd)1 ( (10) xxxxd)ln(2ln12凑凑 xxxxlndd)ln1 ( xxxxd)ln(ln12凑凑 xxxxxlnddln12(11)(12)22ln(1)d1xxxx 凑凑 221dd ln(1)1xxxx 二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（

5、四）有理函数的积分（五）杂题思路思路( )dg x x 不好积不好积凑凑 ( )( )dfxx x ( ) d ( )fxx 令令( )ux ( )df u u 好积好积( )F uC ( )ux 回代回代 ( )FxC ( )dg x x 第一换元法第一换元法( )d f x x不好积不好积令令( ) xt ( ) d ( ) ftt ( )( )d ftt t( )d g t t好积好积( ) G tC( )1 tx回代回代 ( )1 GxC( )d f x x第二换元法第二换元法常用代换常用代换三角代换三角代换无理代换无理代换倒代换倒代换 xxxxd111 xxxxd1arcsin232

6、arctan2ed(1)xxx u补补2u例例3 求下列各函数的求下列各函数的不定积分不定积分(1)(2)(3)(1) xxxxd1arctan2求求(2)ede1xxxx 求求二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题公式公式 uvuvvudd关键关键vu,的选择的选择经验顺序经验顺序按照按照“反、对、幂、指、三反、对、幂、指、三”的顺序，的顺序，前者选为前者选为u，后者选为，后者选为v分部积分法可以多次使用分部积分法可以多次使用利

7、用循环式，可以得到递推公式利用循环式，可以得到递推公式分部积分法多次使用后，可产生循环式分部积分法多次使用后，可产生循环式l注注u例例4 求下列各函数的求下列各函数的不定积分不定积分 xxxxd)1(ln232sinesin2 dxx x xxxd)(ln1ln2ede2xxxx arctan22ed1xxxx xx d)sin(ln(1)(2)(2)(4)(5)(6)u例例5设设)(xf的原函数是的原函数是2e,x 求求.d)( xxfxu例例6求求 xxfxfd)()(u例例7 建立递推公式建立递推公式(1)(2) 求求 xxxxdsin(1) xxInndtan(2) xxInndsin

8、1二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换注意根据题目特点灵活使用各种方法注意根据题目特点灵活使用各种方法l注注u例例8 求下列各函数的求下列各函数的不定积分不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6) xxxxd88109 xxxd1142 xxxd1142 xxd114 xxxdcossin144 xxxxdcossinsin二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题二、题型练习二、题型练习（一）第一换元法（二）第二换元法（三）分部积分法（四）有理函数的积分（五）杂题1抽象函数的不定积分抽象函数的不定积分u例例9设设的一个原函数为