2017年中考数学专题复习第5章四边形第16讲特殊的平行四边形

1、1第 16 讲特殊的平行四边形?【基础知识归纳】？?归纳一矩形1.定义：有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形2性质1矩形的四个角都是 直角2矩形的对角线互相平分并且相等矩形是- 个轴对称 图形，它有 2 条对称轴，矩形是-一个中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3.判定有 1个角是直角的平行四边形是矩形2对角线相等的平行四边形是矩形?归纳二.菱形1.定义:有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形2性质1菱形的四条边 相等2菱形的对角线互相垂直平分3每条对角线平分一组对角4菱形是 轴对称 图形，它有 2 条对称轴，菱形是 中心对称 图形，它的对称中心是两条对角线的交点3. 判定1四条边相等

2、的四边形是菱形2对角线互相 垂直平分的平行四边形是菱形?归纳三.正方形1.定义:有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.性质1正方形对边平行2正方形四边相等3正方形四个角都是直角4正方形对角线相等，互相 垂直平分，每条对角线平分一组对角5正方形既是轴对称图形也是中心对称 图形，对称轴有 4 条，对称中心是对角线的交点3.判定1有一组邻边相等的矩形是正方形2有一个角是直角的菱形是正方形2?【常考题型剖析】？?题型一、矩形的应用3【例 1】（2016 营口）如图，矩形 ABCD 勺对角线交于点 O,若/ ACB=30 , AB=2, 则 OC 的长为（）A. 2B. 3C.2、3

3、D. 4【答案】A【分析】根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4再根据矩形的对角线互相平分解答.【解答】解：在矩形 ABCD 中，/ ABC=90 ,/ ACB=30 , AB=2 AC=2AB=2 2=4,四边形 ABCD 是矩形，1 OC=OA= AC=22【举一反三】1. （2016 无锡）如图 1，矩形 ABCD 勺面积是 15,边 AB 的长比 AD 的长大 2,则 AD 的长是_【答案】3【分析】根据矩形的面积公式，可得关于AD 的方程，根据解方程，可得答案.【解答】解：由边 AB 的长比 AD 的长大 2，得AB=AD+2由矩形的面积，得AD（ AD+

4、2 =15.解得 AD=3 AD=-5 （舍去）2. （2016 成都）如图 2，在矩形 ABCD 中, AB=3,对角线 AC BD 相交于点 O,AE 垂直平分 OB 于点 E,贝 U AD 的长为_.【答案】3 3【分析】因为 AE 垂直平分 OB 所以，AB= AO= 3, BD= AC= 2AO= 6,图 24AD=BD2- AB2=3 33. （2016 岳阳）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE=CF EF 丄 DF,求证：BF=CD5【答案】C【解答】解:A、 根据菱形的定义可得，当AB-AD 时?ABCD 是菱形；B、根据对角线

5、互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，?ABCD 是 菱形;6C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误;【分析】由四边形 ABCD 为矩形，得到四个角为直角，再由EF 与 FD 垂直，利用平角定义得至 U对角互余，禾 U 用同角的余角相等得到一对角相等，利用与三角形 CFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证.【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形，/B=ZC=90,/ EF 丄 DF,/EFD=90 ,/EFB+ZCFD=90,/EFB+ZBEF=90,/BEF=/ CFD在厶 BEF 和厶 CFD 中，BEF CFDIBE =CFB二CBEFACFD（ ASA,BF=CD

6、ASA 得到三角形 BEF?题型二、菱形的应用【例 2】（2016 莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分）D.对角线互相垂直【解答】解菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直;平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直.【例 3】（2016 遵义）如图，在?ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O,若增加一个条件,使?ABCD 成为菱形, F 列给出的条件不正确的是（）A. AB=ADB. AC 丄 BDD. / BAC=/ DAC【答案】

7、DC. AC=BD7D/ BACH DAC 寸，/ ?ABCD 中, AD/ BC,/ ACB=/ DAC/ BAC=/ ACB AB=BC ?ABCD 是 菱形./ BAC=/ DAC 故命题正确.【举一反三】4. （2016 无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.邻边互相垂直【答案】C【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有.5. （2016 湘西州）如图

8、4，已知菱形 ABCD 勺两条对角线长分别为 AC=8 和 BD=6那么，菱形 ABCD 的面积为_.图 5【答案】24【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可.6. （2016 南充）如图 5，菱形 ABCD 勺周长是 8cm, AB 的长是 cm【答案】2【分析】根据菱形的四边相等即可解决问题.【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=DAT AB+BC+CD+DA=8cm AB=2cm AB 的长为 2cm【解答】解：菱形的面积=丄工6汇8二242图 68?题型三、正方形的应用9【例 4】（2016 兰州市）？ABCD 勺对角线 AC 与 BD

9、 相交于点 O,且 ACL BD,请添加一个条件： _ ，使得？ABCD 为正方形.【答案】/ BAD=90【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可.【解答】解：？ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 ACLBD, ?ABCD 是 菱形，当/ BAD=90 时，？ABCD 为正方形【举一反三】6. （2016 河北）关于？ABCD 的叙述，正确的是（）A.若 AB 丄 BC,则？ABCD 是菱形B.若 ACLBD 则？ABCD 是正方形C.若 AC=BD 贝 U ?ABCD 是矩形D.若 AB=AD 贝 U ?ABCD 是正方形【答案】C【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法

10、、正方形的判定方法得出选项A、B、D 错误,C 正确；即可得出结论.【解答】解： ?ABCD 中, AB 丄 BC,四边形 ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项A 错误；/ ?ABCD 中, ACLBD,四边形 ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 错误；/ ?ABCD 中, AC=BD四边形 ABCD 是矩形，选项 C 正确；/ ?ABCD 中, AB=AD四边形 ABCD 是菱形，不- -定是 正方形，选项 D 错误；7.（ 2015 崇左）下列命题是假命题的是（）A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线

11、互相垂直平分的四边形是正方形【答案】D且 CE=AF 连接 DE DF.求证：DE=DF8. （ 2016 无锡）如图，正方形ABCD 中, E 为 BC 边上一点,F 为 BA 延长线上一点,10【答案】D.【解析】选项 A:对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，错误;选项 B:矩形的对角线不会互相垂直，错误；选项 C: 一组对边平行的四边形也可能是梯形，错误；选项 D:四边相等的四边形是菱形，正确.2.（ 2015 广东）如图 2，菱形 ABCD 勺边长为 6,ZABC=60 ,【分析】根据正方形的性质可得AD=CD / C=ZDAF=90，然后利用“边角边”证明 DCED DAF 全等，再

12、根据全等三角形对应边相等证明即可.【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形， AD=CDZDAB=/ C=90,/FAD=180-ZDAB=90.在厶 DCEn DAF 中，CD = ADIC =DAFCE =AFDCEADAF( SAS, DE=DF?【巩固提升自我】？1. （ 2016 大庆）下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D.四边相等的四边形是菱形11则对角线 AC 的长是_【分析】由菱形 ABCD 中,ZABC=60，易证得厶 ABC 是等边三角形, 继而求得对角线 AC 的长.【解答】解：四边形 ABC

13、D 是菱形， AB=BCvZABC=60, ABC 是等边三角形, AC=AB=63.（ 2016 广东）如图 3，正方形 ABCD 勺面积为 1,则以相邻两边中点连接 EF 为边的 正方形 EFGH勺周长为（）A.,2B.22C.2 1D.2x2 1【答案】B【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=1=1,ZBCD=90 , CE=CF=1,2得出 CEF 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF 的长，即可得出正方形 EFGH 勺周长.【解答】解：正方形 ABCD 勺面积为 1 ,BC=CD=1=1,ZBCD=90,/ E、F 分别是 BC CD 的中点，_ 1 11-CE

14、= BC= , CF= CD=,22 22 CE=CF CEF 是等腰直角三角形， EF=2CE=2，正方形 EFGH 的周长=4EF=4X二2=22;2 24.（ 2016 广东）如图 4，矩形 ABCD 中，对角线 AC=2；3, E 为 BC 边上一点，BC=3BE将矩形 ABCD 沿 AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线 AC 上的 B处，贝 H AB=_【答案】3【分析】先根据折叠得出 BE=B E,且ZAB E=ZB=90,可知 EBC是直角三角形，由 已知【答案】6图 3图 412的 BC=3BE 得 EC=2B E,得出/ ACB=30，从而得出AC 与 AB 的关系，求

15、出 AB 的长.【解答】解：由折叠得：BE=B E,ZAB E=ZB=90 ,/EB C=90 ,/ BC=3BE EC=2BE=2BE,/ACB=30 ,在 Rt ABC 中，AC=2AB11k/= AB= AC=X23=3,2 25.（ 2016 广州）如图，矩形 ABCD 勺对角线 AC, BD 相交于点 0,若 AB=AQ 求/ ABD 的度数.1【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得:进而得到/ ABD=60 .解：四边形 ABCD 为矩形 AO=BO又 AB=AO AB=AO=BO ABD 为等边三角形 / AB=606.（ 2015 广东）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中, E 是边 CD 的中点, 将厶 ADE 沿 AE 对折至 AFE 延长交 BC 于点 G,连接 AG.(1)求证： ABG AFG(2)求 BG 的长.BAO=B。则厶 AOB 为等边三角形,13【分析】(1)利用翻折变换对应边关系得出AB=AF / B=ZAFG=90，利用 HL 定理得出 ABGAAFGI卩可；(2)利用勾股定理得出 GE2=CG2+CE2 进而求出 BG 即可；【解答】解：(1)在正方形 ABCD 中, AD=AB=BC=CD/