2018考前三个月高考数学理科总复习——附加题高分练空间向量与立体几何

1、4空间向量与立体几何1(2017·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥PABCD中，PAAB2，点M，N分别在PA，BD上，且.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值解(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP平面ABCD，又PAAB2，所以OP.以O为坐标原点，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图则A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，(1,1，)故，所以，(1,1，)，所以cos，所以异面直线MN与PC所成角的大小为.(2)由(1)知(1,1，)，(2,0,0

2、)，.设m(x，y，z)是平面PCB的法向量，则m·0，m·0，可得令y，则z1，即m(0，1)设n(x1，y1，z1)是平面PCN的法向量，则n·0，n·0，可得令x12，则y14，z1，即n(2,4，)，所以cosm，n，则二面角NPCB的余弦值为.2(2017·常州期末)如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos，.(1)求的值；(2)求二面角BVCD的余弦值解(1)根据条件，可得B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(a，

3、a,0)，V(0,0，h)，E，所以，故cos，.又cos，则，解得.(2)由，得，且容易得到，(2a,0,0)，(0,2a,0)设平面BVC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即则取y13，z12，则n1(0,3,2)同理可得平面DVC的一个法向量为n2(3,0,2)cosn1，n2，结合图形，可以知道二面角BVCD的余弦值为.3(2017·南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是线段PC的中点(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；(2)若点F在线段PB上，且使得二面角FDEB的正弦值为，求的值解(1)在四棱锥PABCD中，底

4、面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，所以DA，DC，DP两两垂直，故以，为正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz.因为PDDC，所以DADCDP，不妨设DADCDP2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)，所以(2,0,2)，(2，1,1)，所以cos，从而，.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知，(0,1,1)，(2,2,0)，(2,2，2)设，则(2，2，2)，从而(2，2，22)设m(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，则即取z1，则y1，x121.故m(21，)为平

5、面DEF的一个法向量，设n(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量则即取x21，则y21，z21.所以n(1，1,1)为平面BDE的一个法向量因为二面角FDEB的余弦值的绝对值为，即|cosm，n|，化简得421.因为点F在线段PB上，所以01，所以，即.4.(2017·苏北四市一模)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90°，ADAP4，ABBC2，M为PC的中点(1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值；(2)点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求的值解(1)因为PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又因为BAD90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD2AB2BC4，PA4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)所以(1,1,2)，(0,0,4)，所以cos，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.(2)因为AN，所以N(0，0)(04)，则(1，1，2)，(0,2,0)，(2,0，4)设平面PBC的法向