二次函数最值知识点总结_典型例题及习题

1、1二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称 轴在区间的左边，中间，右边三种情况设f (x)二ax2bx c(a = 0)，求f (x)在x m, n上的最大值与最小值。当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上f (x)的最值:较大者。u(2)当m，n 1时2au若-一：:m，由f (x)在m,n 上是增函数则f (x)的最小值是f(m)，最大值是f (n) 2a若n:一，由f (x)在Im，n上是减函数则f (x)的最大值是f(m)，最小值是f (n)2a当a : 0时，可类比得结论

2、。二、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是 定二次函数在定区间上的最值例 1.函数y = -X2+4X -2在区间0，3上的最大值是 _ ，最小值是 _练习.已知2x2- 3x，求函数f (x) = X2 x 1的最值。2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是值”分析：将f(x

3、)配方，得顶点为2a，4ac b24a)、对称轴为b2a(1)当-Im，n I时，f (x)的最小值是2ab 4ac-b22a 4af (x)的最大值是f (m)、f (n)中的定函数在动区间上的最2例 2.如果函数f (x) = (x -1)21定义在区间l-t，t 1 1上，求f (x)的最值。3例 3.已知f (x) - -x2-4x亠3，当x t,t1(t R)时，求f(x)的最值.对二次函数的区间最值结合函数图象 总结如下:b 1f(m),- (m+n)(如图 1)2 a 2当a=0时f(X)max=b 1f (x)minf(n)，一 c丄(m+ n)(如图 2). 2a 2re 3

4、图请創5当a：0时bf(n)，bn(如图 6)f(X)max=f(一), m兰一兰n(如图 7) f(x)min2a2af (m),一- cm(如图 8)2af (m),f (n)，b 1(m n)(如图 9)2a 2b 1(m n)(如图 10)2a 2f(n)，-卫n(如图 3)2a=f(),m兰一 n(如图 4)2a2af (m), - m(如图 5)2a43、轴变区间定5二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是二次函数在定区间上的最值 ”。例 4.已知x21，且a - 2 _ 0，求函数f (x x2ax 3的最值。例 5. (1)求f (

5、x) = x2 2ax -1在区间-1,2上的最大值。(2)求函数y =-x(x-a)在x一1,1上的最大值。(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7.已知函数f (x)二ax2，2ax，1在区间-3,2上的最大值为 4,求实数 a 的值。2x例 8.已知函数f (x)x在区间m, n上的最小值是 3m最大值是 3n，求m，n的值。26例 9.已知二次函数2f(x)=ax (2a-1)x1在区间-3,2上的最大值为-23,求实数 a 的值。7二次函数在闭区间上的最值专题演练=x2x 1在-1,1上的最小值和最大值分别是3函数八8的最值为4若函数y =2U

6、 x2+4x,xE0,4的取值范围是 _235已知函数f(x)二ax2 (2a -1)x-3(aH0)在区间,2上的最大值是1，则实数26已知函数y =x2-2x 3在闭区间0,m上有最大值 3，最小值 2,则m的取值范围是( )(A)1,(B)0,2(C)1,2(D)(：,227.设f(x) =x -4x-4,x t,t 1(t R),求函数f (x)的最小值.8.已知函数f(x) =4x -kx-8 在5,20上具有单调性，求实数k 的取值范围。9.若函数f(x) =(a-2)x2，2(a-2)x-4：0 对一切 R恒成立，则 a 的取值范围()A.(：,2B. -2,2C.(-2,2D.

7、(：，-2)10.已知函数f (x4x24ax 2 在(-：,0内单调递减，则 a 取()A.a - 3B.a - 3C. a-3D. a -_311. 已知函数f(x)=-x2，kx 在2,4上是单调函数，求 k 的取值范围。12. 已知函数f(x) -x2x 3 在0,m上有最大值是 3，最小值是 2，求 m 的取值范围。13. 已知函数f(X)=3j-X2+4的最大值为 M，最小值为 m,则 M+m=_.1 函数y(A)1 ,33(B)4，31(C)-,32(D)2.函数y = -x2 4x -2在区间1,4上的最小值)(AH 7(B) -4(C) -2(D)2(A)最大值为 8,最小值

8、为 0(B)不存在最小值,最大值为(C)最小值为 0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值a 的值为-814. 已知函数f(x)=4x -4ax a -2a+2 在0,2上的最小值为 3,求 a 的值。15. 求函数f (x -x22 x +3的单调区间。16.已知函数f(x)=_2x - 6x在下列定义域上的值域：(1 )定义域为x Z|0 _ x _3(2)定义域为-2,1.217已知函数f(x) =x ax a,若x-2,2，有f(x)_2恒成立，求 a 的取值范围。18.已知函数f(x) =X2，-2 _x _a,其中a _2，求该函数的最大值与最小值。19 已知二次函数f

9、(x)二-x26x a的函数值总为负数，求a 的取值范围。20. 已知二次函数f (x) = (m - 6)x - 2(m1)x m -1的图像与 x 轴总有交点，求 m 的取值范围。221. 已知二次函数f (x) =x - (m -1)x m - 3顶点在 y 轴上，求 m 的值。2 222. 已知函数f (x) = mx (m -m)x 2的图像关于 y 轴对称，求 m 的值。23. 已知函数f (x) = (a-2)x2 2(a-2)x-4：0对一切 x 恒成立，求 m 的取值范围。24. 已知函数f (x) =x2-4ax,(1乞x乞3)是单调增函数，求实数a 的取值范围。25. 已

10、知函数f(x) =x2-ax 1有负值，求 a 的取值范围。226. 已知函数f(x)=(m-2)x -3-2m的图像在 x 轴下方，求 m 的值。2127. 已知函数f (x) = x2ax 0对于一切(0, 成立，求 a 的取值范围。22 _28. 已知函数f (x) =2x - mx 3，当(一-1时是减函数，求 m 的取值范围。29 已知函数f (x) * x2-2ax-a的定义域是 R,求 a 的取值范围。30.已知函数f (x)二x24ax 2a - 6(x R)的值域为0, ：，求 a 的值。231.已知函数f(x)=x -4x_m对于x (0,1恒成立，求 m 的取值范围。_

11、232.已知函数f(x)二x bx c在0,=：)上是单调函数，则 b 的取值范围。33.已知函数f (x) =2x2-(2 a)x 2a(a 2)，求在0, 2上的最小值。34.已知函数f(x) =2x2-(2 a)x 2a，在0,2上是单调函数，求 a 的取值范围。935. 已知函数f (x) =2x2-(2 a)x 2a，在t,t 2上是偶函数，求 a 的取值范围。236. 当 a=-2 时，求屈数f (x) -2x -(2 a)x 2a在t,t 2上的最小值。37. 已知函数f(x) = .2x2-(2 a)x 2a的定义域为 R，求 a 的取值范围。238. 已知函数f(x)=x2a

12、x 1，求x二-2,1上的最值。239. 已知函数f (x) = x 2x -1，求m, m 1上的最值。240. 已知函数f(x)=-x 2ax a,x：二0,1上的最值为 2,求 a 的值。241. 已知函数f(x) =x 2x 2:(1 )若x R，求 f(x)的最小值。(2) 若x1,3，求 f(x)的最小值。(3) 若x a, a 2, a R，求 f(x)的最小值。242. 已知函数f(x)=-x 2kx 3，求-1,2上的最大值。243. 已知函数f (x)二kx 2kx 1，求X -3,2上的最值。21244. 已知函数f(x) =-3x -3x b,求-b,b,(b 0)上的

13、最值。445. 已知函数f (x) =-x(x-t) 1，求xT,1上的最值。46. 已知函数f(x)二ax2 (2a-1)x-3，求-|,2上的最大值。247. 已知函数f (x)二x ax 3，求x 0,1上的最值。48. 已知函数f(x) - -x(x-a)，求-1,a上的最大值。249.已知函数f(x) =x 2ax 1，在x-1,2上的最大值为 4,求 a 的值。2 21 150. 若不等式9x -6ax a -2a-6_0在x内恒成立，求 a 的取值范围。3351. 已知函数f(x) -x22x 3，求xt,t 1上的最值。252. 已知函数f(x) -ax -2ax 5，求x0,3上的最值。253. 已知函数f (x) = -2x -ax 3，求-3,1上的最值。1054. 已知函数f(x)二ax2-3x 8，求-2, ：上的最值。55. 已知函数f (x) = (4-3a)x2-2x a，求0,1上的最值。56. 已知函数f(x) =x2(2t 1)x t2-1，当 t 取何值时，函数的最小值为0.257. 已知函数f(x)二X -2tx 1，求-1,1上的最大值。258. 已知函数f(x) -x -4x a，在x，0,6上的最大值为 13，求 a 的值。259. 已知函数f (x) =x - 2ax 4，在x 0,3上的最小值为