北师版初三数学下册第三章 圆概念

1、九年级（下）第三章圆1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；记作“O ”，读作“圆O”2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；一.圆的基本概念1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径2.弧.圆上任意两点间的部分，简称为“弧”以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”. 3.半圆，劣弧，优弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.小于半圆的弧叫做劣弧

2、,如记作 (用两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).4.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.也就是等弧一定是同圆或等圆5.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角6.同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆7.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距二.点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C在圆内点在圆上 d=r 点B在圆上点在此圆外 d>r 点A在圆外直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d<r 有两个交点 相离 相交 相切圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 d>R+r外

3、切（图2） 有一个交点 d=R+r相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r内切（图4） 有一个交点 d=R-r内含（图5） 无交点 d<R-r 外离 外切 相交 内切 内含三.圆的对称性(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;注意：不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，二直径是线段，应该叙述为每条直径所在的直线都是圆的对称轴。(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.四圆，弦，弧圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个

4、相等，则可以推出其它的3个结论也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF 如果两条弦相等，那么（ ）A这两条弦所对的弧相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦的弦心距相等D以上答案都不对五.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； AB是直径 ABCD CE=DE 劣弧CB=BD 优弧 AC=AD 确定圆心：两条弦的中垂线的交点便是圆心注意：做题时尽量补全中垂线的腰下列判断中正确的是（ ）A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分

5、一条弧的直线必平分这条弧所对的弦圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 六圆周角定理圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角；圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角AOB=2ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧，即圆心角看弧，等弧对等弦对等圆心角即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在O中，AB是直径 或C=90°

6、C=90° AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。如图，已知AB为O的直径，E20°， DBC50°，则CBE_ 解析：连结AC设DCAx°，则DBAx°，所以CABx°20°因为AB为直径，所以BCA90°，则CBACAB90°又 DBC50°， 50x（x20）90 x10 CBE60

7、76;所以答案是60°（08山东滨州）如图所示，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解析：考察同弧，等弧所对圆周角相等，所以选B。CBDOA【例5】（08山西太原）如图，是O的直径，是O的弦，连接，若，则的度数为 解析：直径所对圆周角是90°且同弧所对圆周角相等. 所以得55°. 弦切角定理 弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。即：MN是切线，AB是弦 BAM=BCA七圆内接四边形定理圆的内接四边形定理：圆内接四边形的对角互

8、补，并且任何一个外角都等于它的内对角即：在O中，四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180° B+D=180° DAE=C 八切线的性质与判定定理（1） 判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端（即到圆心的距离等于半径）且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线证明：证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线 九.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA 相交弦定

9、理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在O中，弦AB、CD相交于点P PA·PB=PC·PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD CE=ED=BE× EA（射影定理的转化） 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在O中，PA是切线，PB是割线 PA=PC ×PB PD× PE=PC× PB（等量代换） 圆公共弦定理连心线垂直平分公共弦 即：O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB

10、十.弧长及扇形的面积 1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：（母线）扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： 圆柱侧面展开图=圆柱的体积：圆锥侧面展开图=圆锥的体积：2.常识：1 圆是轴对称和中心对称图形.2 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.已知弦构造弦心距.已知弦构造Rt.已知直径构造直角.已知切线连半径，出垂直.圆外角转化为圆周角.圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形.两圆内切

11、，构造外公切线与垂直.两圆内切，构造外公切线与平行.两圆外切，构造内公切线与垂直.两圆外切，构造内公切线与平行.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB. 两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等，一对相似.圆的外切四边形对边和相等.若AD BC都是切线，连结OA、OB可证AOB=180°，即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.RtABC的内切圆半径：r=.补全半圆. AB=.AB=

12、.PC过圆心，PA是切线，构造双垂、Rt.O是圆心，等弧出平行和相似.作ANBC，可证出:.练习题一 选择题（每题3分，共30分）1、如图，中，弦的长为cm，圆心到的距离为4cm，则的半径长为（ C ）A3cmB4cmC5cmD6cm2、如图，点都在上，若，则的度数为（ ）A B C D3、已知：如图，四边形ABCD是O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是（ ）A45° B60° C75° D90°4、圆的半径为，两弦，则两弦的距离是（） 或(第3题图)第6题OCBA第1题图第2题图5、O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则

13、直线a与O的位置关系为（ ）A相离 B相切 C相交 D内含6、如图，已知扇形，的半径之间的关系是，则的长是长的（ ）倍 倍 倍 倍10、如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A6cmBcm C8cm Dcm第10题图二、填空题（每题3分，共30分）11、如图，AB切0于点B，AB=4 cm，AO=6 cm，则O的半径为 cm12、如图，点是上两点，点是上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则 13、已知，如图：AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC450。给出以下五个结论：EBC

14、22.50，；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确结论的序号是 。第12题图ABO第11题图第16题图第13题图14、两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距的取值范围是 。15、已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是 （结果保留）16、如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧已知半径，则管道的长度（即的长）为 cm（结果保留）17、O的半径为3cm，B为O外一点，OB交O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止当点P运动的时间为 s时，BP与O相切18、已知、的圆心距=5，当与相交时

15、，则的半径R=_ 的半径r=_（写出一组满足题意的R与r的值即可） 三、解答题（每题10分，共60分）第21题图21、如图，已知是的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，（1）求证：；（2）求的半径22、如图，AB是O的直径，弦BC=8，BOC=60°，OEAC，垂足为E 第22题图(1)求OE的长(2)求劣弧AC的长第23题图23、如图，是的切线，为切点，是的弦，过作于点若，求：（1）的半径；（2）的值；（3）弦的长AEFlBC第24题图24、如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的A构成点B、C分别是两个半圆的圆心，A分别与两个半

16、圆相切于点E、F，BC长为8米求EF的长 一、选择题（每小题3分，共45分）1在ABC中，C=90°，AB3cm，BC2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和A的位置关系是（ ）。AC在A 上 C在A 外 CC在A 内 C在A 位置不能确定。2一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）。A16cm或6cm 3cm或8cm C3cm 8cm3AB是O的弦，AOB80°则弦AB所对的圆周角是（ ）。 A40° 140°或40° C20° 20°或160°4O是ABC的内心，BOC

17、为130°，则A的度数为（ ）。 A130° 60° C70° 80°5如图1，O是ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知A = 100°，C = 30°，则DFE的度数是（ ）。 A55° 60° C65° 70°6如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。A A处 B B处 CC处 DD 处图1 图27已知两圆的半径分别

18、是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（ ）。8.（2009年广西南宁）如图，的直径，弦， 则弦的长为（ ）ABCD9已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。10 B12 15 2010如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（ ）。A3 B4 C5 D6 11下列语句中不正确的有（ ）。相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧A3个 2个 C1个 4个13如图3，ABC中，C=90°，BC=4，AC=3，O内切于ABC ，则阴影部分面积为( )A12- 1

19、2-2 C14-4 6-14如图4，在ABC 中，BC 4，以点A为圆心、2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交 AC于F，点P是A上的一点，且EPF40°，则图中阴影部分的面积是（ ）。A4 B4 C8 D815如图5，圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中相似三角形有（ ）。 A2对 3对 C4对 5对 图3 图4 图5二、填空题（每小题3分，共30分）1两圆相切，圆心距为9 cm，已知其中一圆半径为5 cm，另一圆半径为_.2两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_。5矩形ABCD中，对角线AC4，ACB30&

20、#176;，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_。6.扇形的圆心角度数60°，面积6，则扇形的周长为_。8在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为_。9如图6，ABC内接于O，AB=AC，BOC=100°，MN是过B点而垂直于OB的直线，则ABM=_，CBN=_； 图6 三、解答下列各题（第9题11分，其余每小题8分，共75分）2如图，O1的圆心在O的圆周上，O和O1交于A，B，AC切O于A，连结CB，BD是O的直径，D40°求：A O1B、ACB和CAD的度数。4如图，ABCD是O的内接四边形，DPA

21、C，交BA的延长线于P，求证：AD·DCPA·BC。5如图ABC中A90°，以AB为直径的O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是O的切线。 6如图，已知扇形OACB中，AOB120°，弧AB长为L4，O和弧AB、OA、OB分别相切于点C、D、E，求O的周长。8如图，ABC的CRt，BC4，AC3，两个外切的等圆O1，O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。参考答案（一）一、1、C；2、D；3、A；4、D；5、C；6、A；7、B；8、B；9、C；10、B；二、11、2；12、；13、；14、；15、8；16、；17、1或5；15、要

22、满足的正数R、r即可；19、2、4、6、8；20、21、解：（1）连结切于点，121题答图又，（2），解得即的半径为22、解：(1) OEA C，垂足为E，.AE=EC，A O=B0，OE=BC=5/2， (2)A=BDC=25°，在RtAOE中，sinA=OE/OA，弧AC的长=13423、解：（1）是的切线，（2），（3），24、解：A分别与两个半圆相切于点E、F，点A、B、C分别是三个圆的圆心，AEAF4，BECF2，ABAC6 则在AEF和ABC中，EAFBAC，AEFABC 故则EF25、解：（1）当时，点运动的路程为周长的或设点运动的时间为当点运动的路程为周长的时，解得；

23、当点运动的路程为周长的时，解得当时，点运动的时间为或（2）如图，当点运动的时间为时，直线与相切理由如下：当点运动的时间为时，点运动的路程为连接的周长为，的长为周长的，是等边三角形，直线与相切26、解： EFAC . 四边形ADEG为矩形 . 理由：EGBC，E为切点，EG为直径，EG=AD .又ADBC，EGBC，ADEG，即四边形ADEG为矩形 . 连接FG，由可知EG为直径， FGEF，又由可知，EFAC，ACFG，又四边形ADEG为矩形，EGAG，则AG是已知圆的切线，而AB也是已知圆的切线，则AF=AG， AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心，因此，圆心O就是AC与EG的交点 . 说明：也可据AGOAFO进行说理参考答案（二）A 组一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B 7、C 8、D9、C 10、A 11