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1、利用倒数求函数单调性3.7 函数单调性的概念函数单调性的概念一，我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单一，我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单调性问题，在此我们再次回顾一下函数单调的定义。调性问题，在此我们再次回顾一下函数单调的定义。定义定义 设函数设函数 f(x)在区间（在区间（a，b）上有定义，如果）上有定义，如果对于区间（对于区间（a，b）内的任意两点）内的任意两点 x1 ， x2 ，满足，满足（1）当）当 x1 x2 时，恒有时，恒有 f(x1) f(x2),则称函数则称函数 f(x)在开区间（在开区间（a，b）内）内单调增单调增； （2）当）当 x1 f(x2),则称函数则称函

2、数 f(x)在开区间（在开区间（a，b）内）内单调减单调减；利用倒数求函数单调性1.一般情况下，单调增函数的图形是一一般情况下，单调增函数的图形是一条沿条沿 x 轴正向逐渐上升的曲线。单调减轴正向逐渐上升的曲线。单调减函数的图形是一条沿函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐下降轴正向逐渐下降的曲线。的曲线。2.如果函数在其定义域内的某些子区间如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增的，而在另一些子区间上是上是单调增的，而在另一些子区间上是单调减的，则称函数为分段单调函数。单调减的，则称函数为分段单调函数。利用倒数求函数单调性例例 .求 y=f(x)=X2-4X+3的增区间和减区间？方法一。此函数

3、为二次函数，画出其图象， 找出对称轴，x=2,可知，当x2时，为增函数；当x0,解的x1，因此，当x （1 ,+ ）时 ，是增函数再令2x-2 0,解的x 0，所以，函数所以，函数 f(x)在这个区间内为在这个区间内为单调增加。单调增加。当当 x (1，2)时，有时，有 f (x) 0，所以，函数所以，函数 f(x)在该区间内为在该区间内为单调减少。单调减少。当当 x （2， ）时，有）时，有 f (x) 0，所以，函数，所以，函数 f(x)在这个区间内为在这个区间内为单调增加。单调增加。利用倒数求函数单调性利用倒数求函数单调性例例 3 证明方程证明方程 sin x = x 只有一个实根。只有一个实根。证明证明：令：令f(x)= sin x -x，则，则f (x) = cos x -1 0,且仅在点且仅在点 x =2n 时，时，有有f (x)=0。从而，当从而，当 x （- ， ）时，）时，函数函数 f(x)为严格单调减少。又由于在为严格单调减少。又由于在 x - 时时, f(x) + ;而在而在 x+ 时时, f(x) - 。因此，函数因此，函数f(x) 有且仅有一个零点。有且仅有一个零点。

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