条件不等式的探究、再探究

1、一个条件不等式探究的轨迹 松江四中(201601) 高吉全问题：已知、，且，求证：上述简单的条件不等式，源于课本的习题，我们将从以下多方面对此作些广泛的探究: (1)探究本题的证题思路; (2)利用归纳、类比、联想的数学方法对本题作些推广与拓展；（3）在条件不变的情况下，开放性地寻求本题的多重等价性结论，借此进一步作些探究.点拨1从下述几方面探索本题的证题思路：（1）分析探路，寻找解题突破口；（2）换元着手，伺机利用熟悉的公式、结论；（3）利用函数思想探求函数的值域.探究1-1（分析法）注意、且, 则 探究1-2 (换元法)、且 探究1-3 (函数法) 、且 设. 易知: , 即: 点拨2 对

2、原问题作出推广与拓展.首先注意到原问题的结论表明:两个和为1的正数,它们的倒数和大或等于4; 那么三个和为1的正数,它们的倒数和会有怎样的结果呢? 四个和为1的正数呢? 进一步,个和为1的正数呢?探究2-1 已知、且，则，这个“？”一下子不易估计，注意到在解决原问题时，探究1-1与探究1-2都利用了两个正数和的均值不等式，那么类比地，本例是否可尝试利用三个正数和的均值不等式呢？ , 其中时，等号成立 于是得到结论：若、，则探究2-2 设 ，由原问题与探究2-1的结论表明： 若，则(1) 若 ，则(2) 由（1）、（2）类比猜测,得： 若,则 (3) 由（1）.(2).(3)归纳猜测,得: 若,

3、则 (4) 其中猜测、（4）正确，事实上： 若(、2、3、4)且 （其中时，等号成立）. 若(、2、 且 （其中 时,等号成立).点拨3探究2-1、探究2-1，用类比、归纳、论证的思路，对原问题的结论进行了推广与拓展，从元素个数变动的背景下,得到了一个一般性的结论; 我们还可从元素次数变动的背景下,开拓另一个探究的思路: 既然两个和为1的正数,它们倒数的一次式的和大或等于4,那么它们倒数的二次式的和会有怎样的结果呢? 倒数的三次式的和呢?进一步,倒数的次式的和呢? 探究3-1已知且, 则, 这个“?”利用均值不等式易获解. 于是得到结论:若、且，则（,其中时等号成立.探究3-2 设、且，由原问

4、题与探究3-1的结论表明： （1） （2） 由（1）.(2)归纳猜测,得: (3) 上述猜测(3)成立,事实上: , 其中时,等号成立点拨4 探究2-1、2-2的着眼点是变动元素的个数，探究3-1、3-2的着眼点是变动元素的次数, 由此分别得到了原问题的推广结论. 在此基础上，我们着眼于更大胆的探究思路：同步变动元素的个数和次数. 探究方法是特例摸索、再归纳猜想、最后论证真伪.探究4-1 设 , 由，类比探究下述问题： 若，则 （1） 若 ，则 （2） 若,则 (3) 利用均值不等式,上述问题(1)、（2）、（3）易获解： 当时: 2当时: 当时: 探究4-2反思探究4-1的结论(3), 总觉

5、得这个结论不畅, 其中元素的个数与元素的指数并不独立,互相制约.如果元素的个数与元素的指数互相独立,互不相关,那么结论该是什么呢？即： 若且，则 (4)利用均值不等式, 问题(4)不难获解: (其中时,等号成立) 探究4-2的最终结论比较完满,它表明:“个和为1的正数，它们的倒数的次方和大于或等于的n+1次方”.其中,当“它们的倒数的次方和”改为“它们的倒数的次方和”，就成了探究4-1的最终结论；当“个和为1的正数”改为“两个和为1的正数”，就成了探究31，32的最终结论；当“它们的倒数的次方和”改为“它们的倒数和”，则成了探究21、21、22，探究31、32，探究41的结论全都是探究42结论

6、的特例；而探究42的结论，则是探究21、22，探究31、32，探究41结论推广.点拨5现在换个角度继续对原问题作些探究，要求是：条件不变、结论开放、提出新的不等式命题. 即已知、且，探寻新的关于、的不等式。探究的基本思路有两条：（1）将原问题的结论在题给条件下作等价变形.(2)甩掉原有结论,直接利用条件等)对、重新组合.探究5、 由 得： （1） 由 得： （2） 由 ， ， 得：； (3) （4） 由 得： （5） 由 得： （6） 由 得： （7） 易知，上述（1）（7）各式中，当且仅当时，等号成立.点拨6 探究5的意义在于:由此又开辟了一块又一块的探究天地.既然原问题的一个简单结论,通过

7、归纳、类比、联想、探究，意外掘出了一大箩的宝藏，那末有理由相信，利用探究5所得的一个个简单结论（1）（7）的再探究，一定会掘出一箩又一箩的宝藏，不仿选几个再试试看.探究6-1 由探究5的结论(1)、（2）式：若、且，则， .由此进一步探究拓展推广： 从元素次数上推广: 由上归纳猜测: 若、且，则 上述猜测成立，可由数学归纳法证之.(1) 当、2时，命题显然成立；(2) 若 时，命题成立，即、时，有，则时， 命题也成立.由（1）、（2）: 若、且，则 ，易知当且仅当时，等号成立.从元素个数上推广: 设、且,探究, , 由此,结合探究5的结论(1)式, 归纳猜测: 若、， 且，则，可以证明，这个猜

8、测也是成立的., , , , ) , ,易知当 时,等号成立. 从元素次数、元素个数同步推广： 设、，且，探究 观察反思上述、最后的二个推广结论，发现这二个结论有如下的共性：个和为1的正数，它们的n次方的和都大或等于一个指数式的倒数，这个指数式的底数就是元素的个数 ，指数就是元素的次数与1的差，将此共性写成数学式得： 若、，且,则 上述猜测是成立的(但证明过程已超纲),由幂均不等式 得:即,、，其中当 时，等号成立. 探究6-2由探究5的结论(5)式: 若、且，则 从元素个数进行拓展推广： 设、且，则： 易知时,等号成立.归纳猜测: 若、，且，则上述猜测可由数学归纳法、结合组合知识予以证明，但很麻烦（略）.探究6-3由探究5结论(7)式: 若、且，则 从元素的个数上进行拓展推广：设、 且，探究同理， 归纳猜测：若、2、且，则上述猜测仿照的证题思路可予以证明： ，其中时，等号成立.小结 本节一个条件不等式推广的探究思路如下：点拔4（类比）（变元素个数、次数）次数）（开放结论）点拔3（类比）（变元素次数）数）点拨2（类比）（变元素个数）（证题思路）探究1-1：分析法探究1-2：换元法探究1-3：函数法探