高考数学二轮复习教学案专题 平面向量教师

1、【2013考纲解读】1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【知识络构建】【重点知识整合】1平面向量的基本概念2共线向量定理向量b与非零向量a共线

2、的充要条件是有且只有一个实数，使b·a.如果向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1或者x1y2x2y10，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为，即对应坐标的比值相等3平面向量基本定理对于任意a，若以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对，使ae1e2.4向量的坐标运算a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)5数量积(1)已知a，b的夹角为a，b(0，)，则它们的数量积为a·b|

3、a|·|b|cos，其中|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a·(b·c)(a·b)·c；(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2；(3)两非零向量a，b的夹角公式为cos；(4)|a|2a·a. (5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零【高频考点突破】考点一向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为.(3)方向相

4、同或相反的向量叫共线向量(平行向量)例1、已知关于x的方程：·x2·2x0(xR)，其中点C为直线AB上一点，O是直线AB外一点，则下列结论正确的是 ()A点C在线段AB上B点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点C点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点D以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，abba，a·bb·a，a·b(a·b)与a(b·c)(a·b)c；(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量

5、，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误. 考点二平面向量的数量积1 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定2求非零向量a，b的夹角一般利用公式cosa，b先求出夹角的余弦值，然后求夹角；向量a在向量b方向上的投影为.【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cosa，b及向量模的公式|a|.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：a·b0，未必有a0，或b0；|a·b|a|b|；a(b·c)与(a·b)c不一定相等.考点三平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化

6、为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型例3.已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量bc的长度的最大值；(2)设，且a(bc)，求cos的值解(1)法一：由已知得bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos)1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|max2，所以向量bc的长度的最大值为2.法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.【难点探究】难点一平面向量的概念及线性运算例1、 (1)a，

7、b是不共线的向量，若1ab，a2b(1，2R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A121 B121C1·210 D1210(2) 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上DC、D不可能同时在线段AB的延长线上【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两

8、个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a，b不共线，那么1a2b1a2b的充要条件是11且22.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果xy，则A，B，C三点共线的充要条件是xy1.【变式探究】(1)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n(m，n>0)，则的最小值为()A2 B4 C. D9(2) 设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_【答案】(1)C(2)(4，2)【解析】 (1)，同理，M，O，N三点共线，故，即0.难点二平面向量的数量积例2 如图所示，P为

9、AOB所在平面内一点，向量a，b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量c.若|a|3，|b|2，则c·(ab)的值为()A5 B3 C. D.【答案】C【解析】设AB中点为D，c，所以c·(ab)()····(ab)·(ab)(|a|2|b|2).【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想【变式探究】(1)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：p1：|ab|1；p2：

10、|ab|1；p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3Cp2，p3 Dp2，p4(2)在OAB中，设a，b，则OA边上的高等于_难点三平面向量的共线与垂直的综合运用例3 已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|2，椭圆的离心率为e.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求·的取值范围；(3)已知直线l：ykxm与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AHMN，垂足为H且2·，求证：直线l恒过定点【解答】 (1)由已知得c1，a2，b，所求椭圆方程为1.(2)设

11、P(x0，y0)，又A(2,0)，F1(1,0)，·(1x0)(2x0)yx3x05.由于P(x0，y0)在椭圆上，2x02，可知f(x0)x3x05在区间2,2上单调递增，当x02时，f(x0)取最小值为0；当x02时，f(x0)取最大值为12，·的取值范围是0,12(3)由得(34k2)x28kmx4m2120，由>0得4k23>m2.【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为·0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k，m的方程，确定k，m的关系，把双参数直线系

12、方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为yx，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P、A2P分别与直线l：x交于M、N两点(1)求双曲线的方程；(2)求证：·为定值【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为1，则所求双曲线方程为1.(2)A1(3,0)、A2(3,0)、F(5,0)，设P(x，y)，M，(x3，y)，A1、P、M三点共线，(x3)y0y0，y0，即M. 同理得N.，··. 1，··0，即·

13、0为定值【历届高考真题】【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，则（A）（B）（C）（D）102.【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则abB.若ab，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数，使得b=aD.若存在实数，使得b=a，则|a+b|=|a|-|b|3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A、 B、 C、 D、且【答案】C【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得或为必要不充分条件；C为充分不必要条件；D同B.4.

14、【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是(A) ab (B) ab(C)0,1,3 (D)a+b=ab5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=A2 B4 C5 D10【答案】D【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设，则，,所以，所以,所以，选D.6.【2012高考真题湖南理7】在ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.A. B. C. D.7.【2012高考真题广东理3】若向量=（2,3），=（4,7），则=A（-2,-4） B (3,4) C (6,10) D (-6,-10)【答案】A

15、【解析】故选A8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且和都在集合中，则=A B.1 C. D. 【答案】C【解析】因为，且和都在集合中，所以，所以，因为，所以，故有故选C9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（）10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，若，则=（A）（B）（C）（D）【答案】A11.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为，且；则12.【2012高考真题浙江理15】在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC

16、=10，则=_.【答案】-16【解析】法一此题最适合的方法是特例法假设ABC是以ABAC的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABACcosBAC法二：.13.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是。14.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_.【答案】【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,则,所以，所以，所以。15.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边

17、上的动点，则的值为_，的最大值为_。16.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。【答案】【解析】17.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【答案】。【2011年高考试题】1. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，=( )(A)0 (B) (C) (D)答案：D解析：.2. (2011年高考全国卷理科12)设向量满足|=|=1, ,，=，则的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【答案】A【解析】如图，构造, , ,，所以四点共圆，可知当线段为直径时，最大，最大值为2.二、填空题:1. (201

18、1年高考浙江卷理科14)若平面向量，满足，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是。【答案】【解析】，又2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=6，且，则a与b的夹角为.3.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量的夹角为，则解析：。4.(2011年高考安徽卷江苏10)已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为.【答案】【解析】0,解得.【2010年高考试题】（2010全国卷2理数）（8）中，点在上，平方若，则（A）（B）（C）（D）6.（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B三点不共线，设，则OAB的面积等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】三角形的面积S=|a|b|sin<a,b>，而7.（2010重庆理数）(2) 已知向量a，b满足，则A. 0