高考数学压轴大题解析几何

1、高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率（II）设由于x1+x2都是方程的根，且1a20，2. 已知为椭圆C的两焦点，P为C上任意一点，且向量的夹角余弦的最小值为. ()求椭圆C的方程；()过 的直线与椭圆C交于M、N两点，求（O为原点）的面积的最大值及相应的直线的方程.解：()设椭圆的长轴为2a,=又 即 椭圆方程为() 由题意可知NM不可能过原

2、点,则可设直线NM的方程为:设=即 . 由韦达定理得: = = 令 , 则 =. 又令, 易知在1,+）上是增函数,所以当,即 时有最小值5. 有最大值 的面积有最大值.直线的方程为.3. 椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率=，过点C(-1，0)的直线交椭圆于A、B两点，且满足：= ()()若为常数，试用直线的斜率k(k0)表示三角形OAB的面积()若为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程()若变化，且= k21，试问：实数和直线的斜率分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程解：设椭圆方程为(ab0)，由=及a2= b2+c2得a2=3 b2，故

3、椭圆方程为x23y2= 3b2 ()直线：y = k(x1)交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，并且= (2)，(x1+1，y1) =(-1-x2，-y2)，即 把y = k(x+1)代入椭圆方程，得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0，且 k2 (3b2-1)+b20 （*），x1+x2= -， x1x2=， =|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1| 联立、得x2+1=，=· (k0) ()=·=·· (2)当且仅当3| k | =，即k =时，取得最大值，此时x1

4、+x2= -1又x1+1= -( x2+1)，x1=，x2= -，代入得3b2=此时3b25，的值符合(*)故此时椭圆的方程为x23y2=(2) ()由、联立得：x1=-1， x2=-1，将x1，x2代入，得=+1由k2=-1得=+1=1易知，当时，3b2是的减函数，故当时，取得最大值3 所以，当，k =±1(符合(*)时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2 + 3y2 = 3 4. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （I）求椭圆的离心率； （II）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：（I）设椭圆方程为则

5、直线AB的方程为.化简得.令则 共线，得（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.在椭圆上，即 由（I）知又又，代入得 故为定值，定值为1.5. 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为6. 已知点,是抛物线上的两个动点,

6、是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。(I)证明1:整理得:设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2:整理得:.(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得:点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3:整理得:(1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得.解法2:

7、 设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则又因当时,d有最小值,由题设得.11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点DFByxAOE（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值11（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为， 2分DFByxAOE如图，设，其中，且满足

8、方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或6分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为9分，当时，上式取等号所以的最大值为12分12、已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为 (1) 求椭圆的方程；(2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.12、（1）解：椭圆的离心率, . 2分 解得. 椭圆的方程为 4分（2）解法1：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，即 弦长

9、 8分的面积 9分. 12分 当且仅当，即时，等号成立.的面积的最大值为 14分解法2：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆的方程为 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，即 在圆的方程中，令，得， 弦长 （资料来源：数学驿站 ） 8分的面积 9分. 12分当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为15、已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为若有一菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为求椭圆的方程；当直线过点时，求直线的方程；（本问只作参考，不计入总分）当时，求菱形面积的最大值15、解：依题意，1分，解2分，得3分，所以，4分，椭圆的方程为5分。直线：7分，设：8分，由