高考数学理科分类汇编专题09 圆锥曲线

1、专题9 圆锥曲线1.【2014高考福建卷第9题】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A. B. C. D.9D解析设圆心为点C，则圆x2(y6)22的圆心为C(0，6)，半径r.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则y1，即x1010y，|CQ|，当y0时，|CQ|有最大值5，则P，Q两点间的最大距离为5r6.2.【2014高考广东卷理第4题】若实数满足，则曲线与曲线的（ ） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等4A解析本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解0<k<9，9k>0，25k>0.对于双曲线1，其焦距为

2、22；对于双曲线1，其焦距为22.所以焦距相等3.【2014高考湖北卷理第9题】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.29A解析设|PF1|r1，|PF2|r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1r22a1，r1r22a2，平方得4arr2r1r2，4ar2r1r2r.又由余弦定理得4c2rrr1r2，消去r1r2，得a3a4c2，即4.所以由柯西不等式得.所以.故选A.4.【2014高考湖南卷第15题】如图4

3、，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.图1­4151解析依题意可得C，F，代入抛物线方程得ap，b22a，化简得b22aba20，即2210，解得1.5.【2014江西高考理第15题】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为.15.解析设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M是线段AB的中点，所以x1x22，y1y22，且两式作差可得，即，所以，即kAB.由题意可知，直线AB的斜率为，所以，即ab.又a2b2c2，所以cb，e.6.【2014辽宁高考理第10题】已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，

4、记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）ABCD7.【2014辽宁高考理第15题】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.10D解析因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2，3)在准线上，所以p4.设直线AB的方程为x2m(y3)，与抛物线方程y28x联立得到y28my24m160，由题易知0，解得m(舍)或者m2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF.8.【2014全国1高考理第4题】已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）A. B. 3 C. D. 4A解析双曲线的

5、一条渐近线的方程为xy0.根据双曲线方程得a23m，b23，所以c，双曲线的右焦点坐标为(，0)故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.9.【2014全国1高考理第10题】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（ ）A. B. C. D. 10.【2014全国2高考理第10题】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 10B解析由题知F(2，0)，设P(2，t)，Q(x0，y0)，则FP(4，t)，(x02，y0)，由FP4FQ，得44(x02)，解得x01

6、，根据抛物线定义得|QF|x023.11.【2014高考安徽卷理第14题】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_14x2y21解析设F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代入椭圆方程可得b21，解得b2，故椭圆方程为x21.12.【2014高考北京版理第11题】设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为；渐近线方程为.11.1y±2x解析设双曲线C的方程为x2，将(2，2)代入得223，双曲线C的方程为1.令x20得渐近线方程为y±2x.13.【2

7、014江西高考理第9题】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）A. B. C. D.9A解析由题意知，圆C必过点O(0，0)，故要使圆C的面积最小，则点O到直线l的距离为圆C的直径，即2r，所以r，所以S.14.【2014山东高考理第10题】 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.10A解析椭圆C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2.由e1e2·×，解得，所以，所以双曲线C2的渐近线方程是y±x.故选A.15.【2014四川高考理第10题】已知是抛物

8、线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A B C D10B解析由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，·y1y2yy2，解得y1y21或y1y22.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y20，即y1y22.当yy时，AB所在直线方程为yy1(xy)(xy)，令y0，得xy1y22，即直线AB过定点C(2，0)于是SABOSAFOSACOSBCOSAFO×2|y1|×2|y2|×|y1|(9|y1|8|y2|)×23，当且仅当9|y1|8|y2|且y1y22时，等号成立当yy时，取y

9、1，y2，则AB所在直线的方程为x2，此时求得SABOSAFO2××2×××，而>3，故选B.16.【2014浙江高考理第16题】设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是_16.解析双曲线的渐近线为y±x，渐近线与直线x3ym0的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP3，解得a24b2，故该双曲线的离心率是.17.【2014重庆高考理第8题】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.38B解析不妨设P为双曲

10、线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF1|PF2|2a，联立|PF1|PF2|3b，平方相减得|PF1|·|PF2|，则由题设条件，得ab，整理得，e.18.【2014天津高考理第5题】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （）（A）（B）（C）（D）5A解析由题意知，双曲线的渐近线为y±x，2.双曲线的左焦点(c，0)在直线l上，02c10，c5.又a2b2c2，a25，b220，双曲线的方程为1.19.【2014大纲高考理第6题】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 （ ）A

11、 B C D6A解析根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.20.【2014大纲高考理第9题】已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）A B C D9A解析根据题意，|F1A|F2A|2a，因为|F1A|2|F2A|，所以|F2A|2a，|F1A|4a.又因为双曲线的离心率e2，所以c2a，|F1F2|2c4a，所以在AF1F2中，根据余弦定理可得cosAF2F1.21.【2014高考安徽卷第19题】如图，已知两条抛物线和，过原点的

12、两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点.(1) 证明：(2) 过原点作直线（异于，）与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.22.【2014高考北京理第19题】已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.23.【2014高考大纲理第21题】已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.24.【2014高考福建理第19题】已知双曲线的两条渐近线分别为.

13、 （1）求双曲线的离心率； （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一， 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.25.【2014高考广东理第20题】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.26.【2014高考湖北理第21题】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.（1）求轨迹为的方程；（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围

14、.27.【2014高考湖南理第21题】如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.28.【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），.（1）求新桥的长；（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？29.【2014高考江苏第17题

15、】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率的值.30.【2014高考江西理第20题】如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，(为坐标原点）.（1） 求双曲线的方程；（2） 过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值.31.【2014高考辽宁理第20题】圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同

16、的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.32.【2014高考全国1第20题】已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（I）求E的方程；（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.33.【2014高考全国2第20题】设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.34.【2014高考山东卷第21题】已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交

17、轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.35.【2014高考陕西第20题】如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1） 求的值；（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.36【2014高考上海理科第题】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.37.【2014高考上海理科第22题】在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. 求证：点被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.38.【2014高考四川第16题】已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准