高考数学分类专题复习之空间角与距离

1、第二十四、二十五讲 空间角与距离Oab600高考在考什么【考题回放】1如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、b都成600角的直线有（ C ）A1 条 B2条 C3条 D4条2（江苏理）正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点 到侧面的距离是（ B ）A B C6 D3（全国理）如图，正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）ABCD4已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于5（四川理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 6在棱长为的正方体ABCDA1B1

2、C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， (1) 求直线A1C与DE所成的角；(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角；(3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。【专家解答】(1)如图，在平面ABCD内，过C作CP/DE交直线AD于P，则（或补角）为异面直线A1C与DE所成的角。在中，易得，由余弦定理得。故异面直线A1C与DE所成的角为。（2）， AD在面B1EDF内的射影在EDF的平分线上。而B1EDF是菱形，DB1为EDF的平分线。故直线AD与面B1EDF所成的角为ADB1在RtB1AD中，则。故直线AD与平面B1EDF所成的角为。O（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为

3、B1D的中点，从而O为正方体ABCDA1B1C1D1的中心，作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HMDE，垂足为M ，连结OM，则OMDE（三垂线定理），故OMH为二面角B1-DE-A的平面角。在RtDOE中，则由面积关系得。在RtOHM中。故面B1EDF 与 面ABCD所成的角为高考考什么【考点透视】异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.【热点透析】1转化思想：将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2求角的三个步骤：一猜,二证,三算猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身

4、的射影一定落在平面的某个地方,然后再证3二面角的平面角的主要作法：定义 三垂线定义 垂面法距离【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】 转化思想： ；异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：体积法； 直接法,找出点在平面内的射影高考将考什么【范例1】如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值解法一：（I）由题意，是二面角是

5、直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为解法二：（I）同解法一（II）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为（III）同解法一【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。【变式】如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1(1

6、) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。【范例2】如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；分析：本小题

7、主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答：解法一：（）取中点，连结为正三角形，正三棱柱中，平面平面，ABCDOF平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得，点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzABCDOFy，平面（）设平面的法向量为，令得为

8、平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。【变式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。解：(1)在梯形ABCD中,AD=2，又平面ACD，故又，且平面BCD（2）因为BA=BC，为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE/AD，OF/BC，所以AD与

9、BC所成的角为或其补角.作FH/BO交AC于H，连结HE, 则FH平面ACD在三角形EOF中，又，EO=1由余弦定理知故异面直线BC与AD所成的角为【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。【范例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA面ABCD，PAABa，E为BC中点.（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABCD，ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A,过A作AOPF于O，连结O

10、D,则AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。得，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为（2）解法1（面积法）如图ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A, 同时BC平面BPA于B,PBA是PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为,cos=SPAB/SPCD=/2 =450，即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45。解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQPA、PD，于是APD是两面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，则APD=45。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45

11、。【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。【范例4】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设点E到平面ACD的距离为在中，而点E到平面ACD的

12、距离为方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量。又点E到平面ACD的距离【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。【变式】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求点B1到平面AMN的距离。解（）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，M（0，0）,

13、C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以,因为所以,同法可得。故为二面角AMN的平面角故二面角AMN的平面角的余弦值为。（）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得, 故可取设与n的夹角为a，则。所以到平面AMN的距离为。【范例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的长；（）求点C到平面AEC1F的距离.解法1：（）过E作EH/BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.AFEC1，FAD=C1EH. RtADFRtEHC1.DF=C1H=2.（）延长

14、C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1F为平行四边形，（II）设为面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的

15、求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。【文】正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离.（2）求直线到平面的距离解：（1）连结BD，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线AC的距离。BACD在中（2）因为AC与平面BD交于的中点，设，则/DE，所以/平面，所以到平面BD的距离等于点到平面BD的距离，等于点到平面BD的距离，也就等于三棱锥的高，即直线到平面BD的距离是【点晴】求空间距离注意三点：_o_E_A_B_C_D_P_x_y_8_z1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距

16、离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例6】如图，在四棱锥PABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.设与的夹角为，则，AC与PB所成角的余弦值为（）N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则由NE面PAC可得即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为