高考数学 第二节 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材

1、第二节 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教 材 面 面 观1两角和与差的正余弦公式：cos()_；cos()_；sin()_；sin()_.答案coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossin2两角和与差的正切公式：tan()_；tan()_(、k，k，kZ)答案3辅助角公式asinbcossin()，其中cos_，sin_，tan_.的终边所在象限由_来确定，角称为辅助角答案a、b的符号考 点 串 串 讲1两角和与差的三角公式需理解(1)理解运用公式时应注意的几个问题诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，、中有为的整数倍时，使用

2、诱导公式更灵活、简便要真正明确两角和与两角差的三角函数的意义一般情况下，sin()sinsin，cos()coscos.只有在特殊情况下，才有可能sinsinsin()对于两角和与差公式的异同要进行对比与分析，便于理解、记忆和应用()明确角、函数和排列顺序以及式中每一项的符号()要牢记公式，并能熟练地进行左右两边的互相转化(2)常见的角的代换有：()()()()()()角的代换实质是根据题意的需要把角看活，要在活字上作文章(3)公式的逆向变换、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式用活显得更加重要，这是学好三角函数的基本

3、功如两角和的正切公式tan()，就必须掌握如下的一些变换：tan()1tantantantantan()(1tantan)tan·tan·tan()tan()tantan(4)引入辅助角的变换形如asinxbcosx(a、b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x)的形式这里A，sin，cos，的终边所在象限由a和b确定2二倍角的正弦、余弦、正切(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2tan2公式的推导：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式从推导中可发现，二倍角公式是和角

4、公式的特殊情况(2)应注意的地方对于“二倍角”的理解，不单纯是与2的关系，而应有更广泛的理解如4是2的二倍角；3是的二倍角；是的二倍角；是的二倍角等等当k(kZ)时，tan的值不存在，这时求tan2的值可利用诱导公式即tan2tan2(k)tan(2k)tan0.公式的逆向变换与有关变形1±sin2sin2cos2±2sincos(sin±cos)2a1cos2cos2b1cos2sin2ccos2(1cos2)dsin2(1cos2)e上述公式中，b、c又称为升幂公式，d、e又称为降幂公式(3)知识的延伸及扩展三倍角公式sin33sin4sin3cos34cos

5、33cos半角公式sin±cos±tan±万能公式sincostan和差化积公式sinsin2sincossinsin2cossincoscos2coscoscoscos2sinsin积化和差公式sincossin()sin()cossinsin()sin()coscoscos()cos()sinsincos()cos()3三角函数的求值、化简和证明(1)三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异

6、一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的在解给值求角的题型时需注意角的范围(2)三角式的化简这类问题主要是利用诱导公式、同角关系式、和与差的公式及倍角公式将较复杂的三角式化得较为简单，化简时注意最简式的五种形式和要求化简三角函数式的意义是为更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用化简三角函数式的要求：()能求出值种数尽量少()使项数尽量少()尽量使分母不含三角函数()尽量使被开方数不含三角函数化简常用的技巧()注

7、意特殊角的三角函数与特殊值的互化；()注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质；()对于二次根式，注意二倍角公式的逆用；()注意利用角与角之间的隐含关系；()注意利用“1”的恒等变形；()注意条件的合理使用：尽可能不去破坏条件的整体结构，即要把所求式子适当变形，能使条件整体代入；将条件适当简化、整理或重新改造、组合，使其与所求式子更吻合作为三角变换的基础的三角式的化简，有三种基本类型：根式形式、分式形式、多项式形式常用方法有：公式法、切割化弦法、异名化同名、异角化同角(3)三角恒等式的证明恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析

8、法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证.典 例 对 对 碰题型一 两角和与差的三角公式应用例1求下列各式的值：(1)cos80°cos35°cos10°cos55°；(2)sin75°sin15°；(3)tan15°tan30°tan15°tan30°；(4).解析充分利用公式，把已知的角化为可求的特殊角(1)原式cos80°cos35°sin80°

9、;sin35°cos(80°35°)cos45°.(2)原式sin(45°30°)sin(45°30°)sin45°cos30°cos45°sin30°sin45°cos30°cos45°·sin30°2cos45°sin30°2××.(3)tan45°tan(30°15°)，tan30°tan15°1tan30°tan15&#

10、176;.原式tan30°tan15°tan30°tan15°1.(4)原式tan(45°15°)tan30°.变式迁移1已知ABC中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0.求角A、B、C的大小解析由sinBcos2C0得sinBcos2Csin(2C)由0B、C，所以B2C或B2C.即B2C或2CB.由sinA(sinBcosB)sinC0，得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.所以sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.因

11、为sinB0，所以cosAsinA.由A(0，)，知A.从而BC，知B2C不合要求再由2CB，得B，C.所以A，B，C.题型二 二倍角公式的应用例2化简：(1)cos72°·cos36°；(2)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°；(3)cos·cos·cos·cos··cos.解析(1)cos36°·cos72°.(2)原式cos20°·cos40°·cos

12、80°.(3)原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式解得原式.点评解的过程中反复地使用二倍角公式sin22sincos.要注意到凡是角是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题时，可采用类似的方法解之.变式迁移2化简：(tan)·(1tan·tan)解析原式····.题型三 角的凑配例3已知，0，cos()，sin()，求sin()的值分析注意到()()()欲求sin()，即求cos()，这只需求出cos()和sin()的值因此“整体变换”的方法是解本题的合理选择解析0，sin()，cos().sin()cos()cos()()

13、cos()·cos()sin()·sin()××().点评角度的和差之间相差k或k(kZ)时，可以用诱导公式进行变换本题若从已知直接去求sin、cos、sin、cos，则解题过程十分复杂因此类似问题中应考虑优先使用上面的简捷解法.变式迁移3已知sin，tan()1，且是第二象限的角，那么tan的值是()A.BC7 D7答案D解析由sin，是第二象限角，可得tan，从而tantan()7.题型四 辅助角公式的应用例4不查表，计算64sin220°.解析原式64sin220°64sin220°64sin220°32co

14、s40°64×32.点评对于形如asin±bcos的三角函数式的化简求值，往往需要通过提取公因式构造辅助角(主要为，)，然后逆用两角和与差的正、余弦公式化简，尤其是当系数中含有时，一般都可运用辅助角公式.变式迁移4已知函数f(x)2cos2xsin 2x，xR.(1)求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；(2)求f(x)的单调递增区间解析(1)f(x)2cos2xsin 2x2sin(2x)1，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，f(x)取最大值3.所以，f(x)的最大值为3，相应的x的取值集合为x|xk，kZ(2)f(x)2sin(2x)1，由2k2x2k(

15、kZ)，得kxk(kZ)所以，f(x)的单调递增区间为k，k(kZ).题型五 给角求值例5求tan20°4sin20°的值分析题中有正切和正弦，所以要切割化弦，统一函数名，然后通分，再适当地选取公式解析原式.点评给角求值(无条件求值)的关键是考虑角与角之间的关系，构造特殊角，或是利用正负相抵消、分子分母约去公因式等手段达到求值的目的.变式迁移5求2sin50°sin10°(1tan10°)·的值解析原式2sin50°sin10°·sin80°2sin50°2sin10°

16、83;cos10°2sin50°·cos10°sin10°·cos(60°10°)2sin(50°10°)2×.题型六 给值求值例6已知tan()3，求sin22cos2的值分析从条件入手，可求出tan，而结论可化为关于tan的关系式，将tan代入即可，也可以将看作一个整体，在结论中通过三角公式构造角.解析解法一：tan()3，3，解得tan.于是sin22cos2sin2cos2111.解法二：sin22cos2sin2cos21cos(2)sin(2)111.点评解法一中转化成ta

17、n后，对欲求式构造分母，利用同角三角函数关系式；解法二是充分考虑角的变换，与2的正余弦的关系，构造角求得，这两种思路都是给值求值中常见的解题思路.变式迁移6设cos()，sin()，其中(，)，(0，)求cos()解析(，)，(0，)，(，)，(，)，sin()，cos().coscos()()cos()cos()sin()·sin()××，cos()2cos212×21.题型七 给值求角例7已知0，0，且3sinsin(2)，4tan1tan2，求的值分析由的关系式可求出的正切值，再据已知和2构造求式，从而可求出的一个三角函数值，再据、的范围求范围，从

18、而确定角.解析由4tan1tan2得tan.由3sin()sin()，得tan()2tan，tan()1.又0，0，0.点评本例中，首先由4tan1tan2的形式联想倍角公式，求得tan.再利用角的变换求tan()，据、范围确定角.一般地，求角的问题可“恰当”地据范围选择一个三角函数值，再据范围确定角，是必不可少的两步.变式迁移7已知tan，tan，并且、均为锐角，求2.解析tan1，tan1，且、均为锐角，0，02.又tan2.tan(2)1，2.题型八 条件等式的证明例8求证以下条件恒等式：(1)已知：2sinsincos，sin22sin·cos，求证：2cos2cos2；(2

19、)已知：5sin3sin(2)，求证：tan()4tan0.分析题(1)从条件中消去的正弦，然后推演，题(2)把条件中的角进行拆拼，使出现及，然后推演证明(1)由已知4sin212sincos1sin2，1sin224sin22(12sin2)由此得cos22cos2，所证等式成立(2)把5sin3sin(2)化成5sin()3sin()，得5sin()cos5cos()sin3sin()cos3cos()sin.移项合并得2sin()cos8cos()sin0.依题意k且k，kZ.上式两边都除以2coscos()，即得tan()4tan0.变式迁移8已知sinm·sin(2)，其中

20、m0,2k(kZ)，求证：tan()tan.证明由题得m则.tan()tan.【教师备课资源】题型九 正切公式的应用例9已知tan2，求：(1)tan()的值；(2)的值解析(1)因为tan2，所以tan，所以tan().(2)由(1)知，tan，所以.变式迁移9化简：.解析tan，原式tan.题型十 三角恒等式的证明例10求证：2cos().证明sin(2)2cos()sinsin()2cos()sinsin()coscos()sin2cos()sinsin()coscos()sinsin()sin.两边同除以sin得：2cos().点评证明三角恒等式，可先从两边的角入手变角，将表达式中出现

21、较多的相异的角朝着我们选定的目标转化然后分析两边的函数名称变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.变式迁移10求证：.证明右边左边方 法 路 路 通1利用两角和与差的三角公式，要注意公式的正用、逆用和变形应用例如：sin75°sin(45°30°)；tan(45°)；tantantan()·(1tantan)等分别是公式的正用、逆用和变用2倍角公式具有倍角化单角和升降幂的作用如由cos2cos2sin2可将倍角化单角，由2cos21cos2，起到了降幂的作用3运用公式解题要充分考虑角、名、结构(如sin±

22、;cos，sincos)，化异为同，联想公式，如常见的切化弦，倍角与单角的转化，韦达定理的应用等4要辩证地看待公式中的单角和复角例如，既可视为单角，±为复角；也可视 为复角，例如，视是的二倍角，2的半角；又可视为()与的和角，或是()与的差角，等等即2··2()().5应该熟悉公式的逆用和变形后用公式的顺用是常见的，但逆用和变形后则往往容易被忽视，而公式的逆用和变用则更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变用后，才掌握了公式的应用对于公式tan()，应注意两种变形：tantantan()·(1tan ·tan)

23、和1tan·tan，这些都是在解题中经常用到的6教材淡化了和差化积与积化和差公式，却加强了积和互化的数学化归思想事实上，初中所学的因式分解，其实质就是和积互化的思想，本节中的升降幂公式就是和积互化的典范，而公式asin±bcos·sin(±)(其中tan)就是和差化积的特例，和差化积本身就是数学结构简化统一的一种基本模式，它是化简、求值、证明等问题的落脚点，更是研究三角函数性质的必要手段7三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节在恒等变形中：(1)要注意三角函数式中的特点，即有没有特殊角；有没有与特殊角相关的角；有没有互余、互补的角；角与角之间有

24、没有和差倍半的关系；哪些角需要保留，哪些角需要化掉等(2)要注意公式的灵活运用，即有没有公式可以直接套用；有没有公式可以逆用；有没有公式的变形式(3)要注意常用方法和技巧选择，即有没有常值“1”可代换；是否可以升幂(降幂)；是否需要万能代换等等8公式(T±)在k，k，±k，kZ时不成立；公式T2在和k，kZ时不成立一般情况下，sin(±)sin±sin；sin22sin，cos22cos，这都是学生容易忽视的9求值常用方法：利用所学公式进行转化，使其出现特殊角，若非特殊角，则实施角的拆拼，或使其出现正负相消，或约分的情况10已知角的三角函数值求角时，实际上就是解最简单的三角方程，在没有角的限制条件时，其解不是唯一的，而是有无穷多个已知角的三角函数值求角的一般步骤是：(1)由三角函数值的符号确定角所在的象限；(2)根据角所在的象限求出角的最小正角；(3)最后利用终边相同的角写出角的一般表达式11化简三角函数式常可从“角”“名”“形”三个方面考虑，逐步地进行变换，减少差异，达到化简目的，具体应遵循的原则是：(1)如果不含同角三角函数，一般应从变化函数形式入手，尽量