微积分习题课《多元函数微分学》

1、习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分学二、多元函数微分学 三、多元函数微分学的应用三、多元函数微分学的应用 多元函数微分学多元函数微分学一、一、 基本概念基本概念连续性连续性 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方向导数存在可微性可微性1. 多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限 、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的关系几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知已知求出求出 的表达式的

2、表达式. ),(yxf解解1 令令,yxu),(vuf)(uvu即即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解解2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法以下与解法1 相同相同., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则则xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限讨论二重极限yxyxyx00lim解解101lim1100 xyyx原式解解2 令令, xky 01lim0kkxx原式

3、解解3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时时, 下列算法下列算法是否正确是否正确?分析分析:yxyxyx00lim解解101lim1100 xyyx解解2 令令, xky 01lim0kkxx原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为此时极限为 1 .第二步第二步 未考虑分母变化的所有情况未考虑分母变化的所有情况, , 1,111xyxxy时例如解解3 令令,si

4、n,cosryrx0sincossincoslim0rr原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了此法忽略了 的任意性的任意性,时当4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在极限不存在 !由以上分析可见由以上分析可见, 三种解法都不对三种解法都不对, 因为都不能保证因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的的变化应该是任意的. 同时还可看到同时还可看到, 本

5、题极限实际上不存在本题极限实际上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf证证: 利用利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故故f 在在 (0,0) 连续连续;知知在点在点(0,0) 处连续且偏导数存在处连续且偏导数存在 , 但不可微但不可微 . 2. 证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 而而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以所以 f 在点在点(0,0)不可微不可微 !232222)()( )()(yxyx机动 目录 上页 下页

6、 返回 结束 , 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构显示结构隐式结构隐式结构1. 分析复合结构分析复合结构(画变量关系图画变量关系图)自变量个数自变量个数 = 变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象判定自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则正确使用求导法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”注意正确使用求偏或全导符号注意正确使用求偏或全导符号3. 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2

7、. 设设其中其中 f 与与F分别具分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解解1 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数有一阶导数或偏导数, 求求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(研研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解2 0),(, )(zyxFyxfxz方程两边求微分方程两边求微分, 得得化简化简消去消去 即可得即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d

8、(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. .设设),(zyxfu 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数, 且且,sin2txz , )ln(yxt求求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题1. 设函数设函数 f 二阶连续可微二阶连

9、续可微, 求下列函数的二阶偏导数求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示:xyxyfxyz2)(2fy 2（1）fxy 232yxz2)(22xy fy2解答提示解答提示: )()2(2xyxfzxyfyz2 fxyxyfxy )1(22222yxz2fxy 2)1(22xyfxy22机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyzxvuxuv2.设设求求,sin,cosvuzveyvexuu

10、yzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsind机动 目录 上页 下页 返回 结束 yvuyuvyz利用行列式解出利用行列式解出 du, dv ：veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusin机动 目录 上页 下页 返回 结束 yu代入代入即得即得 ;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及将代入代入即得即得 .yzyvyu及将t dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有连

11、续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 , )(xyy 及及)(xzz 分别由下两式确定分别由下两式确定求求.ddxu又函数又函数321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 研研 ）机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设设解解: 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导, 得得uzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx解得解得三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1.1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面 (关键关键: 找出找出切向量切向量) 求曲面的切

12、平面及法线求曲面的切平面及法线 (关键关键:找出找出法向量法向量) 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法, 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 求解最值问题求解最值问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解解:CBAoyxED设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y), 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(149

13、22yxyx则则 ACABS2110321yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合时重合时, 三角形三角形面积最大面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.5.在第一卦限作椭球面在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小使其在三坐标轴上的截距的平方和最

14、小, 并求切点并求切点. 解解: 设设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为切点为),(000zyxM则切平面的法向量为则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby)(2020 xxax机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxFFFn 问题归结为求问题归结为求222222zcybxas在条件在条件1222222czbyax下的条件极值问题下的条件极值问题 .设拉格朗日函数设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax

15、)0,0,0(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc令令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点为所求切点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点唯一驻点上求一点上求一点 , 使该点处的法线垂直于使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1. 在曲面在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程并写出该法线方程 . .提示提示: 设所求点为设所求点为, ),(000zyx则法线方程为则法线方程为000zzyyxx利用利用113100 xy得得3,1,3000zyx平面平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面法线垂直于平面点在曲面上点在曲面上机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.22yxz求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解：解：2261zyxd设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点， 则则 P ),(zyxP22yxz的距离为的距离为022zyx问题归结为问题归结为(min)22