高三数学 《空间角（10班）》 新人教A版

1、1.(2)范围：范围：20，(1)定义：设定义：设a、b是异面直线，过是异面直线，过空间任一点空间任一点O引引 ，则，则 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)，叫，叫做异面直线做异面直线a、b所成的角所成的角.ba，abba/，（3）求法：）求法：平移法平移法; 向量法向量法设直线设直线AB和和CD所成的角为所成的角为 ，则：，则：coscos|ABCD ，2.(3)范围：范围：20，(1)(1)定义：平面的一条斜线和它在平定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角和这个平面所成的角(2)若直线若直线l 平面平面，则，则 l

2、与与所成角为直所成角为直角角 若直线若直线l平面平面，或直线，或直线l平面平面，则，则l与与所成角为所成角为0定义法的定义法的具体步骤如下：具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。把该角置于三角形中计算。 （4）求法）求法:定义法定义法sin|s|coAB m ， 设设 是平面是平面 的一个法向量，直线的一个法向量，直线AB与平面与平面 所成的角为所成的角为 ，则：，则： m 105PA ABADCD (1)在矩形在矩形ABC

3、D中，连接中，连接BE，因为因为AB=2AD，E为为CD的中点，的中点，所以所以AD=DE，EAB=45，从而从而EBA=45，故，故AEEB.过过D作作DOAE于于O.因为平面因为平面ADE平面平面 ABCE，所以所以DO平面平面ABCE，所以，所以DOBE.又又AEDO=O，所以，所以BE平面平面ADE.可知可知AE为为AB在平面在平面ADE上的射影，上的射影，从而从而BAE为为AB与平面与平面ADE所成的角所成的角,大小大小为为45.(2)由由(1)可知，可知，DO平面平面ABCE，BEAE，过过O作作OFBE，以，以O为原点，为原点，OA、OF、OD分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴

4、建立空间直角坐轴建立空间直角坐标系标系,则则D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).2222设平面设平面CDE的法向量的法向量n=(x,y,z).又又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n = x- y=0 y=x.取取x=1，得，得n=(1,1,-1).又又 =(- ,2 ,- )，cosn, = = .则则BD与平面与平面CDE所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .2CD 2CE 22则则CD CE 22222，得，得DB 222DB 1 (2) 1 2 2( 1) (2)32 3 2323,，B

5、CCDSDSAB 平面（2011全国）如图，四棱锥全国）如图，四棱锥S-ABCD中，中，侧面，侧面SAB为等边三为等边三（）证明：）证明：（）求）求AB与平面与平面SBC所成角的正弦值所成角的正弦值角形，角形，AB=BC=2,CD=SD=1./ABCDADBCS二面角的定义：从二面角的定义：从一条直线一条直线出发的两个出发的两个半半平面平面组成的图形叫做二面角组成的图形叫做二面角复习：复习： 二面角二面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两

6、条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O向量法向量法. .21,nn21,nnABCDEFOPxyz1(0,0)2 3(0,0)23(,0,0)23(0,0)2四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果锐角或

7、钝角，得出问题的结果3,2,2,2 2,60 .ABADPAPDPAB ABCDP3942 34,PB 1534.17CF ACBPFE532（11湖南理湖南理19）如图，在圆锥）如图，在圆锥PO中，已知中，已知PO=D为为AC的中点的中点（）证明：平面）证明：平面POD（）求二面角）求二面角B-PA-C的余弦值。的余弦值。， O的直径的直径AB=2,C是是AB弧的中点，弧的中点，平面平面PAC;AC 5 ,6 .FBFDa EFa AEC22,33FQFE FRFB xyzCRABFDQE2 29291、 lMABAMB为二面角为二面角 -l- 的平面角的平面角.ABFoCDE1o8210

8、xyz(0,0,0)(6,0,0)(0,0,8)(6,6,0)(3,3,8)M例例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，中，侧面侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公是公共的斜边，且共的斜边，且AD，BDCD1，另一个，另一个侧面是正三角形，求二面角侧面是正三角形，求二面角BACD的余弦值的余弦值.ABCD33N222MADNBMN2,MACMN/CD61113,.222226cos,236arccos.3BMACMNACBACDABACBCBMMNCDBNADBMMNBNBMNBM MNBMN作于，作交于 ，则就是二面角的平面角由是

9、的中点，且得由余弦定理得：则解 ，2PAPD（11广东理广东理18）如图）如图5在椎体在椎体P-ABCD中，中， ABCD是边长为是边长为1的棱形，且的棱形，且DAB=600.的中点的中点（1） 证明：证明：AD ,PB=2,E,F分别是分别是BC,PC平面平面DEF;BPDAEFC（2） 求二面角求二面角P-AD-B的余弦值的余弦值 217 ABCPE 262 1515k xyz综综 合合 训训 练练111ABCA B CEF1ACCAFEtan（11湖北湖北18）如图，已知正三棱柱）如图，已知正三棱柱的各棱长都是的各棱长都是4，E是是BC的中点，动点的中点，动点F在侧在侧棱棱CC1上，且不

10、与点上，且不与点C重合重合（）当）当CF1时，求证：时，求证：（）设二面角）设二面角的大小为的大小为，求，求的最小值的最小值(2)由已知由已知PA平面平面ABC，ACAB，PABC2，AB2AC2BC24.(2)若若PABC2，当三棱锥，当三棱锥PABC的体积的体积最大时，求二面角最大时，求二面角AEFD的平面角的余弦值的平面角的余弦值当且仅当当且仅当ABAC时等号成立，时等号成立，V取得最大值，取得最大值，其值为其值为 .二面角二面角AEFD的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的

11、一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果锐角或钝角，得出问题的结果学例2 (2008山东卷山东卷)如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为菱形，为菱形，PA平面平面ABCD，ABC=60,E、F分别是分别是BC、PC的中点的中点. （1）证明：证明：AEPD； （2）若若H为为PD上的动点，上的动点， EH与平面与平面PA

12、D所成最大角的正切值为所成最大角的正切值为 ，求二面角求二面角E-AF-C的余弦值的余弦值.62 （1）证明：由四边形证明：由四边形ABCD为菱形，为菱形，ABC=60，可得，可得ABC为正三角形为正三角形.因为因为E为为BC的中点，所以的中点，所以AEBC，又又BCAD，因此，因此AEAD.因为因为PA平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以所以PAAE.而而PA平面平面PAD,AD平面平面PAD,且且PAAD=A，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD. (2)设设AB=2，H为为PD上任意一点，连接上任意一点，连接AH、EH.由由(1)知，知，AE平面

13、平面PAD，则，则EHA为为EH与平面与平面PAD所成的角所成的角.在在RtEAH中，中，AE= ，所以当所以当AH最短时，最短时，EHA最大，最大，即当即当AHPD时，时，EHA最大最大.此时此时tanEHA= = = ,因此因此AH= .又又AD=2，所以，所以ADH=45，所以所以PA=2.3AEAH3AH622(方法一方法一)因为因为PA平面平面ABCD,PA平面平面PAC，所以平面所以平面PAC平面平面ABCD.过过E作作EOAC于于O，则，则EO平面平面PAC.过过O作作OSAF于于S，连，连接接ES，则，则ESO为二面角为二面角E-AF-C的平面角，的平面角， 在在RtAOE中，

14、中，EO=AEsin30= ， AO=AEcos30= . 在在RtASO中，中，SO=AOsin45= . 因为因为SE= = = , 所以在所以在RtESO中中,cosESO= = = . 即所求二面角的余弦值为即所求二面角的余弦值为 . 32323 2422EOSO 3948 3043 24304SOSE155155（方法二）（方法二）由（由（1）知）知AE、AD、AP两两垂直两两垂直.以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又坐标系，又E、F分别为分别为BC、PC的中点，的中点，所以有所以有A(0，0，0),B( ，-1，0)，C( ，1，0),D(0，2，0),P(0，0，2),E( ，0，0),F( ,12,1),所以所以 =( ,0,0), =( , ,1).33332AE 3AF 3212设平面设平面AEF的一法向量为的一法向量为m=(x1,y1,z1), m =0 x1=0 m