含参数的一元二次不等式的解法(讲)（课堂PPT）

1、122-3+19 -60 xx如：求不等式的解集23-19 +60 xx3 -1)( -6)0 xx（如何求解一元二次不等式？如何求解一元二次不等式？复习回顾复习回顾分析分析：1213 -1)( -6)=03xxxx相对应方程（的根 = , =6163不等式的解集（ , ）32+( -1) - 0( 0)xa xaa解不等式45121 ,xxa00aa -a1- )(1,+ )a不等式的解集为（，相对应一元二次方程的两根1)() 0 xx a（解析：原不等式等价于62+( -1) -0()xax aaR变式：解不等式7-a1-a(-a)(1)-a1（ ）121,xxa 1)()0 xxa（解析

2、解析：原不等式等价于相对应一元二次方程的两根82+( -1) -10()xaxaR解不等式a二次项含有参数应二次项含有参数应如何求解如何求解？9含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式考点考点x1x2xyO2+( -1) -10()xaxaR解不等式axx1x2yO10 若不等式若不等式ax2bx20的解集为的解集为 则则ab 的值为的值为() A.14 B.15 C.16 D.1711,23xx解关于 的不等式: x220 xkxk11例题讲解例题讲解 例3:解关于 的不等式: x220 xkxk原不等式解集为解：228844kkkkkkxx 由于 的系数大于0,对应方程的根只需考虑的符

3、号. 2x28kk （）当即时，280kk80k 原不等式解集为（）当时得280kk08kk或0 x x 解集为：2x x 解集为：分析分析:（)当 即 时,280kk08kk或(a)当 时,原不等式即为0k022x(b)当 时,原不等式即为8k 08822 xx12(3)当 时,不等式解集为80k 0 x x (4)当 时,不等式解集为0k (2)当 时,不等式解集为2x x 8k 综上所述综上所述，(1)当 时,不等式解集为8k 228844kkkkkkxx 228844kkkkkkxx (5)当 时,不等式解集为0k 13解不等式042 axx解：解：162a 4,40a 当即时R原不等

4、式解集为原不等式解集为；40a 当即时,2ax xRx 且原不等式原不等式解集为解集为；440aa 当或即时，, 此时两根分别为此时两根分别为 21621aax21622aax， 显然显然21xx , 原不等式的解集为：原不等式的解集为： 21621622aaxaaxx或例例4：例题讲例题讲解解14成果验收成果验收相信我能行！相信我能行！21-a)460-3 4的解集为的解集为x|xb, (1)求求a，b的值；的值； (2)解不等式解不等式ax2(acb)xbc0.知能迁移知能迁移116(2)不等式不等式ax2(acb)xbc0， 即即x2(2c)x2c0，即，即(x2)(xc)2时，不等式时

5、，不等式(x2)(xc)0的解集为的解集为x|2xc； 当当c2时，不等式时，不等式(x2)(xc)0的解集为的解集为x|cx2； 当当c2时，不等式时，不等式(x2)(xc)2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|2xc； 当当c2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|cx0的解集是全体实数的的解集是全体实数的条件是条件是_.a0时，时，b-4ac020练习练习.1.1若集合若集合A A=x x| |axax2 2- -axax+10= ,+10= ,则实数则实数a a的取值范围的取值范围 是是 （ ） A. A.a a|0|0a a4 B.4 B.a a|0|0a a44 C. C

6、.a a|0|000时，相应二次方程中时，相应二次方程中 的的=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4, 综上得综上得 a a|0|0a a4. 4. Da21 【2】如果如果a0, 函数函数 的定义的定义域为域为R, 则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是_.12a 23( )log ()f xaxxa 20axxa 对一切实数对一切实数 x 恒成立，恒成立， 20,1 40.aa 或或0,11,22aaa 22 【例例2 2】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10.+10.（1 1）若对所有的实数）若对所有的实数x x不

7、等式恒成立，求不等式恒成立，求m m的取值范的取值范 围；围；（2 2）设不等式对于满足）设不等式对于满足| |m m|2|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, , 求求x x的取值范围的取值范围. . （1 1）由于二次项系数含有字母，所以首）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论先讨论m m=0=0的情况，而后结合二次函数图象求解的情况，而后结合二次函数图象求解. . （2 2）转换思想将其看成关于）转换思想将其看成关于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 利用其解集为利用其解集为-2-2，2 2，求参数，求参数x x的范围的范围. . 思维启迪思维启迪23解解 （1 1）不等

8、式）不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10+10恒成立，即函数恒成立，即函数f f( (x x)=)= mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方. .当当m m=0=0时，时，1-21-2x x0, 时，不等式恒成立时，不等式恒成立, ,不满足题意；不满足题意； 3 3分分 当当m m00时，函数时，函数f f( (x x)=)=mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1为二次函数，为二次函数，需满足开口向下且方程需满足开口向下且方程mxmx2 2-2-2x x- -m m+1=0+1=0无解，即无解，即综上可知不存在这样的

9、综上可知不存在这样的m m. 6. 6分分21.,0)1 (440无解则mmmm24(2)(2)从形式上看，这是一个关于从形式上看，这是一个关于x x的一元二次不等式的一元二次不等式, , 可以换个角度，把它看成关于可以换个角度，把它看成关于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式，并且已知它的解集为并且已知它的解集为-2,2,-2,2,求参数求参数x x的范围的范围. 7. 7分分设设f f( (m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),),则其为一个以则其为一个以m m为自变量的一次函数为自变量的一次函数, ,其图象是直线其图象是直线, ,由题意知该直线

10、当由题意知该直线当-2-2m m22时线段在时线段在x x轴下方，轴下方，分即901220322,0)2(0)2(22xxxxff25分分的的取取值值范范围围为为分分得得由由得得解解或或得得解解12231271-11231271-231231271271.|., xxxxxxx2613xx 或或2( )(2)44g axaxx( 1)0(1)0gg 此题若把它看成关于此题若把它看成关于x的二次函数的二次函数,由于由于a, x都要都要变变,则函数的最小值很难求出则函数的最小值很难求出,思路受阻思路受阻.若视若视a为主元为主元,则给解题带来转机则给解题带来转机.27则问题转化为则问题转化为mg(x

11、)min解：解：m- -2x2+9x在区间在区间2，3上恒成立，上恒成立，（1）变量分离法）变量分离法(分离参数分离参数)例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9m2( )29 ,2,3,g xxx x 记min( )(3)9,gxg 9.m 【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将

12、问题化归等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题为解关于参数的不等式的问题28问题等价于问题等价于f(x)max0,解：构造函数解：构造函数2( )29,2,3,f xxxm x 2981( ) 2(),2,3,48f xxmx max( )(3)90,fxfm 9.m23y.xo（2）转换求函数的最值）转换求函数的最值例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9m29(2)0(3)0ff 则则10090mm 解：构造函数解：构造函数2( )29,2,3,f x

13、xxm x9.m23y.xo例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9m（）数形结合思想（）数形结合思想30解：解：数，数，31还有什么方法呢？还有什么方法呢？32 【1】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于x R恒成立恒成立,则实数则实数m 的取值范围时的取值范围时( )A.(,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.(, 2 2( )(2)2(2)4,f xmxmx令令(2)020mm 或22m C33 【2】若不等式】若不等式 (m- -2)x2

14、+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于m - -1,1恒成立恒成立,则实数则实数x 的取值范围是的取值范围是_.2( )2)2(2)4(g mmxmx22(2 )244xx mxx( 1)0(1)0gg34 【3】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于x - -1,1恒成立恒成立,则实数则实数m 的取值范围是的取值范围是_.2( )(2)2(2)4,f xmxmx令令2002( 1)0(1)0mmff 或35一、选择题一、选择题1.1.(2009(2009陕西理陕西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集为的解集

15、为M M, ,函函 数数f f( (x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)的定义域为的定义域为N N, ,则则M MN N为为 ( ) ( ) A. A.0,1) B.(0,1)0,1) B.(0,1) C. C.0,10,1 D.(-1,0) D.(-1,0) 解析解析 不等式不等式x x2 2- -x x00的解集的解集M M=x x|0|0 x x1,1,f f( (x x)= )= ln(1-| ln(1-|x x|)|)的定义域的定义域N N=x x|-1|-1x x1,1, 则则M MN N=x x|0|0 x x1.1.定时检测定时检测A362.2.已知不等式已知不

16、等式axax2 2- -bxbx-10-10的解集是的解集是 则不等则不等 式式x x2 2- -bxbx- -a a00的解集是的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+) A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. C. D. 解析解析 由题意知由题意知 是方程是方程axax2 2- -bxbx-1=0-1=0的根的根, ,所所 以由韦达定理得以由韦达定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5,不等式不等式x x2 2- -bxbx- -a a00即为即为x x2 2-5-5x x+60,+62,)2,则实数则实数t t的取值的取值 范围是范围是 （ ）

17、 A. A.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+) B.(-,2)(3,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) D.(-,0)(3,+) 解析解析 由题意知由题意知t t2 2-2-2t t-12-12且且t t0,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0. 0. . 0, 62, 0, 122xxxxxD384.4.设命题设命题p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q: : 则则p p是是q q的（的（ ） A. A.充分不必要条件充分不必要条件 B. B.必要不充分条件必要不充分条件

18、 C. C.充要条件充要条件 D. D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 不等式不等式|2|2x x-3|1-3|1的解是的解是11x x2,2, 不等式不等式 的解是的解是11x x2. 0,0,y y00满足满足f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y),),则不等式则不等式f f( (x x+6)+ +6)+ f f( (x x)2)2f f(4)(4)的解集为的解集为_._. 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x+6)+6)+f f( (x x)=)=f f( (x x+6)+6)x x, , 2 2f f(4)=(4)=f f

19、(16).(16).根据单调性得根据单调性得( (x x+6)+6)x x16,16, 解得解得-8-8x x2.0,+60,x x0,0,所以所以00 x x2. 2. (0,2)(0,2)406.6.若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1=0-1=0有一正根和一负根，有一正根和一负根， 则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 令令f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1,-1, 二次函数开口向上，若方程有一正一负根，二次函数开口向上，若方程有一正一负根， 则只需则只需f f(0)0,(0)0,即即a a2 2-10,-10, -1 -1a a1. 1. -1-1a a10)0恒成立恒成立, ,则则b b的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 依