中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，点P在。0的直径AB的延长线上，PC为00的切线，点C为切点，连接AC, 过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交00于点E.（1）如图 1,求证:Z DAC=Z PAC：（2）如图2,点F （与点C位于直径AB两侧）在上，BF = FA，连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证：FG=DE+DG：2（3）在的条件下,如图3,若AE=-DG, P0=5,求EF的长.3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3a【解析】【分析】（1）连接0C,求出0CIIAD,求出0C_LPC,根据切线的判定推出即可：（2）连接BE

2、交GF于H,连接0H,求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG, FH=EH,即 可得出答案：（3）设0C交HE于M,连接0E、0F,求出N FHO=N EHO=45。，根据矩形的性质得出12EHII DG,求出 0M二一 AE,设 0M=a,则 HM=a, AE=2a, AE=-DG, DG=3a,23求出 ME=CD=2a» BM=2a» 解百角三角形得出 tanZ MB0=, tanP=- = ,i5BM 2 PO 2OC=k,则PC=2k,根据0P=Jk=5求出k=5根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】（1）证明：连接0C,PC为。的切线,OCX PC,r A

3、DJ_PC, OCII AD,J Z OCA=Z DAC,丁 OC=OA,Z PAC=Z OCA, Z DAC=Z PAC；（2）证明：连接BE交GF于H,连接OH,V FGII AD, Z FGD+Z D=180; Z D=90%/. Z FGD=90°, AB为。O的直径, Z BEA=90",/. Z BED=90°, Z D=Z HGD=Z BED=90°, 四边形HGDE是矩形，/. DE=GH, DG=HE, Z GHE=90%BF = AF，：.Z HEF=Z FEA=-Z BEA=，X 90" =45°, 22/. Z

4、 HFE=900 - Z HEF=45°, Z HEF=Z HFE, FH=EH, FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M.连接OE、OF,丁 EH二HF, OE=OF, HO=HO, FHO EHO,/. Z FHO=Z EHO=45°,V四边形GHED是矩形， EH II DG,/. Z OMH=Z OCP=90°,/. Z HOM=900 - Z OHM=90° - 45°=45°,/. Z HOM=Z OHM, HM=MO,OM±BE,/. BM=ME,1OM二一 AE,22设 OM=a,则 HM=

5、a, AE=2a, AE= - DG, DG=3a,3 Z HGC=Z GCM=Z GHE=90/.四边形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG - GC=2a,; DG=HE, GC=HM,/. ME=CD=2a, BM=2a,.MO a 1在 RtA BOM 中，tanZ MBO=,BM 2a 2,/ EH II DP,/. Z P=Z MBO,CO 1tanP=,PO 2设 OC=k,则 PC=2k,在 R3POC 中，OP=J5k=5,解得：k=小,OE=OC=4，在 RtA OME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5,a=l,. HE=3a=3,在 RSHFE 中,NHE

6、F=45°,EF=72 HE=3V2 .【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键.2.如图，AB为。O的直径，AC为00的弦，AD平分NBAC,交00于点D, DE±AC,交 AC的延长线于点E.(1)判断直线DE与。0的位置关系，并说明理由；(2)若AE=8,。的半径为5,求DE的长.【答案】(1)直线DE与。0相切(2) 4【解析】试题分析：(1)连接 0D, ,AD 平分n BAC,. NEAD=NOAD，: OA=OD, ZODA=ZOAD, A ZODA=ZEAD> /. EAIIOD

7、, V DE±EA, /. DE±OD,又.点D在。0上，二直线DE与。相切(2)作 dflab,垂足为 F,. NDFA=NDEA=90。，, ZEAD=ZFAD，AD=AD,'EAD合 FAD,; AF=AE=8, DF=DE， OA=OD=5,OF=3,在 RtA DOF 中，DF=Ja)2-0产=4' AF=AE=8考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系3.如图泗边形ABCD是。0的内接四边形,AB=CD.如图(1),求证:ADII BC；(2)如图(2),点F是AC的中点，弦DG II AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF： (

8、3)在(2)的条件下，若DG平分N ADC/GE=5,tanZ ADF=4百，求。0的半径.【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析：(3) V129例门)点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推 出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心 距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长.【解析】试题分析：（1）连接AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.（2）延长4。到M 使DN=4D,连接NC.得到四边形48E0是平行四边形，从而有 AD=BE, DN=BE.由圆内接四边形的性质得到N/VDC=N 8.

9、即可证明A48E2AC7VD,得到 AE=CM再由三角形中位线的性质即可得出结论.（3）连接8G,过点A作AH_L8C,由（2）知N AE8=N 4VC,四边形48ED是平行四边 形，得到48=DE.再证明ACDE是等边三角形，A8GE是等边三角形，通过解三角形48£, 得到A8, HB, AH, HE的长,fh EC=DE=AB,得到HC的长.在RtZiAHC中，由勾股定理 求出4C的长.作直径AP,连接CP,通过解AAPC即可得出结论.试题解析：解：（1）连接AC.,48二C。，,弧48=弧8,.N。4c=N4CB,118c.(2)延长4D到N,使D/V=AD,连接NC.丁 4。

10、II NC, DGII 48,四边形A8E0是平行四边形,，/W=8E, 0A/=8E. ,.,48CD是圆内接四边形，.NA/DC=N8.,.,48二C。，1工 AABE= ACND, ：. AE=CN. Y DN;AD, AF=FC,:, DF=-CN, ：. AE=2DF.2(3)连接8G,过点A作AH_L8C,由(2)知N AE8;N ANC,四边形48ED是平行四边 形，/. AB=DE.DFW CN. ：. Z ADF= ANC. ：. Z AEB=A ADF. ：. tanZ AEB= tanZ ADF= 45/3 1 OG 平分Z ADC. ：. Z 4DG=N CDG, 丁

11、4011 BC, Z ADG=A CED,Z NDON DCE. .Z ABC=A NDC, ：. Z ABC=A DCE, : ABW DG, ：. Z ABC=A DEC,，DEC=N ECDN EDC, ,二 ACDE 是等边三角形,：.AB=DE=CE. : N G8C=N GOC=60°,N G=N DCB=60°,A8GE 是等边三角形，8E=GE=5，J.tanZ AEB= tanZ ADF=4y/3，设HE=x,则N 48E=N OEC=60°, Z BAH=30，BH=4x, AB=8x9：.4x+x=5x/3 解得：x=B ；.AB=8B HB

12、=A 小,AH=12. EC=DE=AB=85：.HC=HE+EC= y/3 + 85/3 = 9a/3 .在 RS AHC 中,ACrAH'HC? =8+(96)? =3 而.AC作直径 AP9 连接 CP, ：. Z 4cp=90°, Z P=Z 480600, sinZ P=-,APAC _3a/43_ / 丽一近一"二。的半径是同V4.如图，在直角坐标系中，已知点4一8, 0）, 8（0, 6）,点M在线段48上。（1）如图1，如果点M是线段八8的中点，且OM的半径等于4,试判断直线08与。M 的位置关系，并说明理由：（2）如图2, OM与x轴，y轴都相切，

13、切点分别为E, F,试求出点M的坐标；（3）如图3, 0M与x轴，y轴，线段48都相切，切点分别为E, F, G,试求出点M的 坐标（直接写出答案）2424【答案】（1）08与。M相切：（2）（ 一三，,）：（3） M （-2, 2）【解析】分析：（1）设线段08的中点为。，连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和 圆的位置关系得出即可：3（2）求出过点4、B的一次函数关系式是y= x+6,设M （a, -q）,把x=a, y=-。代 43入片x+6得出关于。的方程，求出即可.4（3）连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,设 ME=MF=MG=r，根据Sanbc= - AOME+

14、- 80MF+ - ABMG= - AOBO 求得 尸2,据此可得答案. 2222详解：(1)直线08与。M相切.理由如下：设线段08的中点为D,如图1,连结MD,.点M是线段A8的中点，所以MDIIAO, MD=4, N A08=N MD8=90°, /. MD±0B.点。在0M 上.又点D在直线08上，.直线08与0M相切：(2)如图2,连接ME, MF,f8k+Z? = 04 ( -8, 0) , 8 (0, 6),.设直线48的解析式是片kx+b, J.,，解b = 63 3得： J, b=6,即直线48的函数关系式是y=：x+6.4 40M与x轴、y轴都相切，.点

15、M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF,设M33(。，-a) ( - 8<a<0),把 x=a, y=-。代入 y= x+6,得：-a= q+6,得：a=- 442424 24二，.点M的坐标为(-一，一).77 7(3)如图 3,连接 ME、MF、MG、MAy MB、MO.TOM与x轴，y轴，线段AB都相切，.MEJ_40、MF±B0. MG±AB,设 1 1 1 1ME=MF=MG=rt 则 SamA0ME+-80MF+ A8MG=-A080. 2222( -8, 0) , 8 (0, 6) ,.40=8、80=6, AB= yAO2 + BO2 =10*

16、/. -f8+-r>6+-fl0=-x6x8,解得：r=2,即 ME=MF=2,点 M 的坐标为(-2,22222).小丁点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的 解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有 三种位置关系：已知。的半径为心圆心0到直线/的距离是d，当仁r时，直线/和00 相切.5.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（X八），点N的坐标为（xz, yz）,且 x】nx2, yiwyz,以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称 该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2

17、, 0） , B （0, 273）,则以AB为边的“坐标菱形"的最小内角 为：（2）若点C （1, 2）,点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）。的半径为点，点P的坐标为（3, m）.若在00上存在一点Q,使得以QP为【答案】（1）60°： （2 ） y=x+l 或 y=-x+3： （3） l<m<5- 5<m< - 1【解析】分析：（1）根据定义建立以A8为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长48=4,可得30度 角，从而得最小内角为60。：（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45。，得。（4, 5）或（

18、-2, 5）,易得直线CD的表达式为：y=x+l或y= - x+3；（3）分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线片x,如图3,根据等腰直角三角形 的性质分别求P'8=8D=1, P8=5,写出对应P的坐标：先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线片-x，如图4,同理可得结论. 详解：（1）二点 A （2, 0） , B （0, 2 ） ,OA=2, 08=2 6.在 RSAO8 中，由勾股定理得：AB=收 +（2而2 =% ：.AABO=30°.'：四边形 ABCD 是菱形，. N 48c=2/ 480=60。.,/ ABW CD, ：.

19、Z DCB=130° - 60°=120% 以AB为边的"坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为：60。；（2）如图2.V以CD为边的"坐标菱形''为正方形，直线CD与直线y=5的夹角是45。.过点C作C£J_DE于E,。（4, 5）或（-2, 5 ） , .直线C。的表达式为：y=x+l或片-x+3：(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线片x,如图3.OO的半径为& ,且天OQ'D是等腰直角三角形，. 00=J0Q'=2, /. P,D=3 - 2=1. PD8是等腰

20、直角三角形，P8=8D=1,(0, 1),同理可得：04=2, .48=3+2=5. A8P是等腰直角三角形，"8=5,.P (0, 5) , .当1分45时,以QP为边的“坐 标菱形”为正方形：先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线片-x，如图4.,00的半径为、历，且 0Q'。是等腰直角三角形，.0D=JJ 0Q，=2, .80=3-2=1. PD8是等腰直角三角形，8=8。二1,二P (0, -1),同理可得：04=2, 48=3+2=5. A8P是等腰直角三角形，.P8=5, P (0, -5),，当-5VmW-l时，以QP为边 的坐标菱形为正方形；综上所述

21、：m的取值范围是或-5WmW - 1.点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的"坐 标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论 的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目.6.如图，己知平行四边形0ABC的三个顶点A、B、C在以0为圆心的半圆上，过点C作CDJLAB,分别交AB、AO的延长线于点D、E, AE交半圆。于点F,连接CF.（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由：（2）若半圆O的半径为6,求月。的长.【答案】（1）直线CE与半圆O相切（2） 4【解析】试题分析：（1）结论：DE是。的切线

22、.首先证明ABO, BCO都是等边三角形，再 证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题：（2）只要证明4OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题.试题解析：（1）直线CE与半圆O相切，理由如下：四边形OABC是平行四边形，. ABII OC.Z D=90% /. Z OCE=Z D=90% 即 OC_LDE,直线CE与半圆O相切.（2）由（1）可知：Z COF=60% OC=OF,OCF是等边三角形，/. Z AOC=120°AC的长为120 x 4 x 6F80=4n.7.如图1,已知48是。的直径，4c是。O的弦，过。点作OFL48交。于点D,交47于点E，交8c的延长线

23、于点F,点G是EF的中点，连接CG判断CG与。0的位置关系，并说明理由；求证：2OB2=BCBF；【解析】时，求DE的长.（2）见解析：（3） DE = 2【分析】(1)连接C£,由A8是直径知 ECF是直角三角形，结合G为EF中点知N4E0=N GEC= Z GCE,再由 OA = OC 知N 0C4 = N OAC,根据 0F_LA8 可得N 0C4+N GCE= 90。，即 OCJLGC,据此即可得证：(2)证 FBO得些=”BO BF结合48=280即可得;DEDE+ 2.53EC ED(3)证ECD-AEGC得=，根据CE=3, DG=2.5知EG EC得.【详解】解：(1

24、) CG与。0相切，理由如下:如图1，连接CE，48是00的直径，NACB=N 475=90°,点G是EF的中点， . GF=GE=GC,N4E0=N GEC=N GCE,：OA = OC. . Z 0CA=Z OAC9 OF±AB. . Z OAC+Z AEO=90°f Z OCA+N GCE=90°,即 OCLGC,. CG与。O相切；(2) ZAOE=Z FCE=90 NAEO = ZFEC, Z 04E=N F,又7 Z 8=N 8, a ABC- FBO,BC AB II(1 . =，HP BOAB=BCBF,BO BF：AB = 2B0. .

25、 2082 = 8085：(3)由(1)知 GC=GE=GF, Z F=Z GCF, . Z EGC=2N F, 又 Z DCE=2N F,：.Z EGC=N DCE,: Z DEC CEG,：. ECM a EGC,EC ED 茄一花/ CE=3t DG=25,3 DE»一。石+ 2.5 亍'整理，得：OP+2.5DE-9=0,解得：DE=2或DE=-4.5 （舍），故。£=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与 性质及直角三角形的性质等知识点.8.如图，AB是圆。的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且N P

26、DA=N PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E判断直线PD是否为。的切线，并说明理由：如果NBED=60。，PD二求PA的长：将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上，如图2,求证：四 边形DFBE为菱形.【解析】【分析】（1）连接OD,由AB是圆O的直径可得N ADB=90。，进而求得N ADO+N PDA=90。，即可得 出直线PD为。的切线：（2）根据BE是。的切线，则NEBA=90。，即可求得NP=30。，再由PD为。的切线，得 z PDO=90%根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA：(3)根据题意可证得N ADF=N PDA=N PBD=N

27、 ABF,由AB是圆O的直径，得N ADB=90°, 设NPBD=x。，则可表示出N DAFN PAD=9(T+x。，Z DBF=2x%由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出 BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1，连接OD.E图1 AB是圆O的直径， . Z ADB=90%/. Z ADO+z BDO=90%又DO=BO,/. Z BDO=Z PBD,丁 Z PDA=Z PBD,/. Z BDO=Z PDA, , Z ADO+z PDA=90% 即 PD±OD,点D在00上，/.直线PD为。0的切线：(2)

28、V BE是00的切线，Z EBA=90°,Z BED=60°,/. Z P=30%;PD为00的切线， Z PDO=90°.在 R3PD0 中，Z P=30% PD=3tan 30° =,解得 OD=1,PD PO = PD1+OD1 =2, . PA=PO - AO=2 - 1=1：(3)如图2,依题意得：N ADF=Z PDA. Z PAD=Z DAF,Z PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF, /. Z ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,AB是圆0的直径，Z ADB=90°,设N PBD=x",则N DAF=Z P

29、AD=90°+x°, Z DBF=2x°,四边形AFBD内接于00, Z DAF+Z DBF=180°,即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°, . Z ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30BE、ED是00的切线， . DE=BE, Z EBA=90°,LDBE=60°, J BDE是等边三角形， , BD=DE=BE,又Z FDB=Z ADB - Z ADF=90° - 30°=60°Z DBF=2x0=60 BDF是等边三角形, BD=DF=BF,

30、DE=BE=DF=BF,.四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档 题，难度较大.9.如图，48是OO的直径，4。是00的弦，点是。4延长线上的一点，过。0上一点C 作。的切线交DF于点£，CE±DF.求证：AC平分NEA8：若4E=1, CE=2,求。的半径.【解析】试题分析：（1）连接0C,根据切线的性质和圆周角定理，得出N0C4=N0AC与Z CAE=A OCA,然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到NBCA=90。，由垂直的定义，可求出NCEA=90。，从而根据两角对应 相等的两三角形

31、相似可证明 ACB-区AEC,再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的 长，从而得到圆的半径.试题解析：（1）证明：连接oc.,CE 是。的切线，.NOCE =90°,/ CE±DF. ：. Z CEA=90：.Z ACE+N CAEN 4CE+N OGA=90°, /. Z CAE=N OCA*/ OC=OA. ：. Z OCA=A OAC.：.Z CAE=A OAC,即 AC 平分N FAB（2）连接BC.48 是00 的直径，.N4C8=N4EC=900.jAB AC又 Z CAE= OAC. ：. ACB- AECf：.=.AC AE.AE=1, CE=2, ZAEC =90°, ：, AC = >jAE2+CE2 =y2+21 = 75AB = Q =垣L = 5,二。的半径为5AE 12io.己知：BD为。的直径，。为圆心，点A为圆上一点，过点B作。的切线交DA的 延长线于点F,点C为。上一点，且AB=AC,连接BC交AD于点E,连接AC.如图1,求证:Z ABF = Z ABC；如图2,点H为。0内部一点，连接OH, CH若NOHC=NHCA = 90。时，求证：CH =在的条件下，若0H = 6,。0的半