八年级数学下册专题突破讲练勾股定理及逆定理的综合应用试题(新版)青岛版

1、勾股定理及逆定理的综合应用、勾股定理的逆定理1重点难点易错点点点辖逋】逆定理222如果二角形二边长 a, b, c满足a b c ,那么这个三角形是直角三角,形，其中c为 斜边。逆定理说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a, b, c为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2时，以a, b , c为三边 的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2时，以a, b, c为三边的三角形是锐角三角形。二、实际应用定理中的注意问题1

2、.定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三 边长a, b, c满足a2 c2 b2,那么以a, b, c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边；2 .勾股定理的逆定理在用问题描述时，不育豌成：当斜边的平方等于两条直角边的平方 和时，这个三角形是直角三角形。三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1 .理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系;2 .掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。工真塞戏留检题裳裳经典】例题1 如图， ABC中，AB=15, AC=& AD是中线，且 AD=8.5 ,贝U BC的长为（A. 15 B. 16 C. 17

3、D. 18解析：延长AD至E使ED=AD利用好“ AD是中线”这个条件，再根据题中数据的特点 正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求 出BD的长度了，再根据 BC=2BD所以BC的长也就求出了。答案：解：延长AD至E,使DE=AD连接BE, . AD=8.5, AE=：2X 8.5=17,在 4ADC 和 4EDB 中，AD= DE / AD仔 / EDB BD= CD. .AD室AEDB( SAS) , . BE=AC=8 BF+AB=82+152=289, aE"=172=289, ./ABE=90 , 在RtBED中，BD是中线，.BD

4、=1aE=8.5,BC=2BD=2 8.5=17。故选 C。2例题2勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图 1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定,理。图2是由图1放入矩形内彳#到的，/ BAC=90 , AB=2, AC=3则D, E, F, G H, I都在长方形KLMJ的边上，则长方形 KLMJ的面积为（）A. 50 B. 52 C. 54 D. 56解析：延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,可得四边形AOLP是正方形，然后求 出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式

5、列式计算即可得解。答案：解：如图，延长 AB交KF于点0,延长AC交GW点P,所以，四边形 AOL无正 方形，边长 AO=AB+AC=2+3=5所以，KL=2+5=7, LM=3+5=8 因此，矩形 KLMJ的面积为 7X8=56。 故选D。阂纷工拓熊总结+提升罚分必讯】利用勾股定理计算角度例题 如图，点E是正方形 ABCg的一点，连接.AE、BE、CE，将 ABE绕点B顺时针 旋转 90° 到4CBE 的位置。若 AE=1, BE=2, CE=3,则/ BE' C= 度。解一析：首先根据旋转的性质得出/ EBE =90° , BE=BE =2, AE=E C=1,

6、进而根据勾 股定理的逆定理求出 EE' C是直角三角形，进而得出答案。答案：解：连接EE',将4ABE绕点B顺时针旋转 90°到4CBE的位置， AE=1, BE=2 CE=3 ./EBE =90°BE=BE =2_ AE=E C=1,EE =2 双 , / BE' E=45 , E' E2+E' C2=8+1=9, EC2=9, . E.EE' C是直角三角形，二./ EE 故答案为：135。E2+E，C2=eC,C=90 , .BE' C=135 。开放性试题是与封闭性试题相对的、 大程度上弥补了封闭性试题的种种不

7、足， 的实践能力和创新意识，以及情感、态度、开放性试题没有固定答案或唯一结论的一种试题形式，它在很特别在考查学生思维的灵活性和广泛性，考查学生价值观等方面有着封闭性试题n所无法取代的优点。可使同学们的主观能动性得到极好的发挥。例题 如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。请给出 并求所拼等腰三角形的周长。4种不同拼法,利用图解析：根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图;形，分别求得每一个等腰三角形的周长。答案：解：4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形如图所示：图1 ：拼成的等腰三

8、角形的周长为10+6+4+J8242 =20+4 J5 ;图2:拼成的等腰三角形的周长为10+10+12=32;图3:根据图示知，64+x2= （x+6） 2,解得，x=7 ,3，拼成的等腰三角形的周长为2X （7+6） +10=26-;33图4:拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8=36。【即学即剖职因提升】（答题时间:45分钟）一、选择题1 .有下面的判断：若 ABC中，a2+b2wc：则4ABC不是直角三角形。ABC是直角 三角形，/C=90 ,则a2+b2=c2。若4ABC中，a2b2=c2,则4ABC是直角三角形。若4ABC 是直角三角形，则（a+b） （ab） =c2。以上判

9、断正确的有（）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个2 .若 ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则此为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定*3.已知正实数a、b、c满足b一c -a- -一c=k,以2k, 2k+1 , 2k1为三边的三a c b角形面积是（）A. 12B. 6C. 12 D. 35*4. 如图，以 ABC的每一条边为边作三个正三角形 ABD 4BCE和4ACF已知这三个 正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则/ FCE=A. 130B. 140E°C.

10、150D. 160*5.如图，已知正方形 ABEDiE方形BCFE现从A, B, C, D, E, F六一个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（A. 10 个 B. 12 个 C. 14 个 D. 16 个 二、填空题*6.如图，RtABC中，/C=90度。将4ABC沿折痕BE对折，C点恰好与 AB的中点D重合，若BE=4,则AC的长为一。*7.一如图，在4X5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点 C,使/ACB为直角，则 满足条件的点C个数为 个。*8. 如图，在 ABC中，CE平分/ACB CF平分/ACD且 EF/ BC交AC于M,若CM=

11、522贝U CE+CF=。SCD三、解答题9.阅读以下解题过程：已知a, b, c为 ABC的三边，且满足 a2c2b2c2=a4 b4,试判断 ABC的形状。错解：,a 2c2b2c2=a4b4，.c2 (a2b2) = (a2b2) ( a2+b2)，c2=a2+b2 问：(1 )上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号-。(2)错误的原因是 。(3)本题正确的结论是 。*10.如图，点D是4ABC内一点，把ABD绕点B顺时针方向旋转 60°得到 CBE若AD=4BD=3, CD=5(1)判断 DEC的形状，并说明理由；(2)求/ADB的度数。*11. 如图，四边形

12、ABCD中,AD=DC /ABC=30 , / ADC=60。试探索以 AR BG BD 为边，能否r组成直角三角形，并说明理由。*12. 已知： ABC的周长是D4+2 屁,AB=4, AC=!6 + 42。(1)判断.4ABC的形状；(2)若CD是AB上的中线，DEL AB, / ACB的平分线交 DE于E,交AB于F,连接BE 求证：DC=DE并求 DBE的面积。1. C解析：c不一定是斜边，故错误；正确；正确；若 ABC是直角三角形，c 不是斜边，则(a+b) (ab) wc 2,故错误。共2个正确。故选 Co2. C 解析：4ABC是直角三角形。理由是：:a 2+b2+c2=10a+

13、24b+26c338,，(a 5) 2+(b12) 2+(c13) 2=0, . .a- 5=0, b12=0, c- 13=0,即 a=5, b=12, c=13o / 52+122=132, .ABC是直角三角形。故选 Co3. B 解析：= b_c b c , c ( b+c) =a (a+b) , b (a+b) =c (a+c),化a c b简后得：(ca)(a+b+c)=0,(cb)( a+b+c)=0,a+b+cw0,. . a=b=c,k=2,以2k, 2k+1, 2k1为三边分别为 4, 5, 3; ,3 2+42=52, 三角形为直角三角形，直角边的 长分另为3, 4,根据

14、直角三角形的面积公式，S= 2x3X4 =6。故选B。24. C 解析：由题意，得 Saac+Sabce=Sabd,即:3Ad+qBC aB"。从而 aC+bcaB 所以/ACB=90 , / FCE=360 (90° +60° +60° ) =150° 。故选Co5. C 解析：可得到14个直角三角形，分别为ABE AADE AABtD ABEtD ABCE ACFE BCF ABEF AACF ADF AACD ACDF AAEC DBF 故选C。D E F6. 6 解析：根据题意，得 DE垂直平分 AB,则AE=BE得/ A=/ ABE根

15、据折叠，得/ABE至CBE再根据直角三角形的两个锐角互余得/ A=Z ABE4CBE=30. CE= - BE =2,2则 AC=4+2=6)7. 6 解析：如图，根据勾股定理知 aB"=12+32=10o -,12+32=10, ( J2 ) 2+ ( 2 J2 ) 2=10,（、/5） 2+ （ J5） 2=10, 符合条件的点C有6个。8. 100解析：CE 平分/ACB CF 平分 / ACD ACE=°/ACB /ACF=1/ACD 即Z ECF= 1 ( /ACB廿 ACD) =90° ,又EF/ BC , CE 平分 /ACB, CF 平分 /ACD

16、,2 / ECBW MEC = ECM , / DCFW CFM= MCF , . CM=EM=MF=5 EF=10,由勾股定理可知 CE2+cJ=EF2=100。9 .解：(1)(a2b2)=(a2b2)(a2+b2).应有c2(a2-b2) (a2b2)(a2+b2)=0 得至U (a2b2) c2 (a2+b2) =0 ,(a2b2) =0 或c 2 (a2+b2) =0 ,即 a=b 或 a2+b2=c：根据等腰三角形.得定义和勾股定理的逆定理，知三角形为等腰三角形或直角三角形。故 填。（2）不能确定a2b2是否为0。（3） ABC为等腰三角形或直角三角形。10 .解：(1)根据图形的

17、旋转不变性，AD=EC BD=BE又因为/ DBEW ABC=60 ,所以 ABC和4DBE均为等边三角形，于是 DE=BD=3 EC=AD=4 又因为 CD=5,所 以 Dd+EC2=32+42=52=CD;故 DEC为直角三角形。(2)因为 DEC为直角三角形，所以/ DEC=90 ,又因为 BDE 为等边三角形，所以 Z BED=60 ,故/ BEC=90 +60° =150° ,即/ ADB=150 。11 .解：以AR BG BD为边，能够组成直角三角形。理由如下：以BC为边作等边 BCE连接AE、AG如下图所示。/ Z ABC=30 , / CBE=60 , ./ABE=90 , . AB 2+B邑A1,AD=DC / ADC=60 , .ADC 是等边三角形，在 DCB 和 AACE 中,DC=AC, ，/DCBW DCA4 ACBW ECB廿 ACB =/ACE, 又-. BC=CE, . DC里AACtE BD=AE -BC=BE 由式，可得Bj=AB+BC。.以 AR BG BD为边，能够组成直角三角形。12 .（1）解：4ABC 是直角三角形。. ABC 的周长是 4+26