自用教案：物理极值的几种数学求法

1、物理极值的几种数学求法河南省汝阳县实验高中师儆愈高中物理中有许多极值类问题，为使同学们能够全面了解极值类问题的求法，现做简单归纳如下：一.数学方法几何法：切割线定理求极值函数法均值不等式法正弦定理法根的判别式法三角函数法利用三角函数的有界性求极值利用三角函数 “化一”法求三角函数极值二次函数顶点法二次函数法配方法求导数法【典例解析】一、利用三角函数求极值1、利用三角函数的有界性求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。若所求物理量表达式可化为“”的形式，可变为，当时，有极值。2、利用“化一”法求三角函数极值对于复杂的三角函数，例如，要求极值时,先需要把不同名的三角

2、函数和，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”。故y的极大值为。【类型】三角函数（其中为锐角）。当时，三角函数取最大值。【例1-1】如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。bmgN【解析】设斜面倾角为时，斜面长为S，物体受力如图所示，由图知由匀变速运动规律得： 由牛顿第二定律提：mgsin=ma联立解得：可见，在900内，当2=90时，sin2有最大值，t有最小值。即=45时，有最短时间为：

3、OmgF【例1-2】 如图所示，一辆小车静止在粗糙的水平地面上，小车上固定一根竖直轻杆，用一根轻质细线将一个质量为的小球与杆的点相连，然后将细线向左侧拉至水平，最后 将小球由静止释放，小车始终保持静止状态。试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大?最大值为多少?【解析】设绳长为，当小球运动到绳子与竖直方向的夹角为时，速度为。由机械能守恒定律得：由牛顿第二定律得：解得绳子对小球的拉力为由牛顿第三定律得到绳子对小车的拉力为：其水平分量为：由物体平衡条件得，地面对小车的静摩擦力水平向右，其大小为：当，即时，地面对车的静摩擦力最大，其大小为：oFmg【例3】 一个四分之一圆弧形物体置于

4、粗糙的水平面上，质量为的小球从静止开始由顶端无摩擦滑下，物体始终处于静止状态。试分析：当小球运动到什么位置时，地面对物体的静摩擦力最大？最大静摩擦力为多少？【分析与解】设圆弧半径为，当小球运动到圆心小球连线与竖直方向夹角为时，速度为,由机械能守恒定律有由牛顿第二定律沿半径方向有对物体，由平衡条件在水平方向有由以上各式可得地面对物体的静摩擦力为可见当时，静摩擦力最大为。【例2】 如图所示，为防止电线杆被电线拉倒，可用一拉线拉住电线杆，问拉线如何设置可使拉线所受拉力最小？lF2LF1【分析与解】设电线拉力大小为F1，离地高度为L，拉线长度为l，拉力大小为F2，拉线与水平面夹角为，由力矩平衡条件有整

5、理可得拉线拉力大小为可见当时，拉力最小为NFfmg【类型】三角函数（其中、均为锐角，且）。当=时，三角函数取最大值。【例1-3】如图所示，物体放置在水平地面上，物体与水平地面之间的动摩擦因数为，物体重为，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？【解析】设拉力与水平方向的夹角为。由物体平衡条件得：，其中：解得：其中,当时，有最小值：【类型】三角函数（其中、均为锐角，且）。=90-时，三角函数取最大值。【例1-4】如图所示，木板与水平地面间的夹角可随意改变，当=30时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑；若让该小物块从木板的底端以大小恒定的初速度v0=10m/s的速度沿木板

6、向上运动，随着的改变，小物块沿木板滑行的距离s将发生变化，重力加速度g=10m/s2求小物块与木板间的动摩擦因数；当角满足什么条件时，小物块沿木板滑行的距离s最小，最小值多大。【解析】当=30时，小物块匀速上滑， 由平衡条件得：mgsin=mgcos，解得= 当小物块上滑时，由牛顿第二定律得：，又解得其中,故=30，当时，s有最小值：m。Nfmg xF【例1-5】倾角为=30的斜面上放置一个重200N的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为，要使物体恰好能沿斜面向上匀速运动，所加的力至少为多大？方向如何？ 【分析】由于施力的方向没定，先假定一个方向：与斜面成角向上，物体的受力分析如图所示。【解析】x

7、方向：y方向： 其中 联立以上三式求解得：，LO+q,mE其中。当时F有极值：【例1-6】一条长度为L的细线，上端固定在O点，下端系着一个质量为m、带电量为+q的小球，将它们置于一个足够大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，把细线拉直并处于竖直位置，然后将小球由静止释放，如图1所示，试求：当细线与竖直方向夹角为多大时小球的动能最大，最大动能为多大。LO+q,mEqEmg【分析】小球被释放后，在重力、电场力和绳子拉力作用下，在竖直面里沿着圆弧来回摆动，其运动的性质是变加速曲线运动，在此过程中，重力势能、电势能、动能发生着周期性的相互转化。【解析】如图所示，设当细线与竖直方向所成角度为时，小

8、球的速度为。根据能量转化和守恒定律可得其中 可见当时 小球的动能最大为【例题1-7】水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为（01)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图，在从0逐渐增大到90的过程中，木箱的速度保持不变，则(AC)A. F先减小后增大 B. F一直增大C. F的功率减小 D. F的功率不变【解析】由于木箱的速度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：mg=N+Fsin，f=N=Fcos两式联立解得，可见F有最小值，所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率，可见在从0逐渐增大到90的过程中tan逐渐

9、增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误。【例题1-8】如图，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为30，质量为m的小球套在杆上，在大小不变的拉力作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端。为使拉力做功最小，拉力F与杆的夹角a_，拉力大小F_。【解析】受力分析，列出平衡方程为故知，当时，即时，此时BCARba【例1-9】如图所示。AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L，导轨平面与平面的夹角是，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B。在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。已知ab与导

10、轨间的滑动摩擦系数为，导轨和金属棒的电阻不计。求ab棒的最大速度。【解析】在下滑过程中，ab受重力mg，支持力Nmgcos，摩擦力fmgcos，安培力F。沿导轨平面有：mgsin-mgcos-=ma ab由静止加速下滑会导致：vFFa 当a0时，ab速度到达最大，即：VVmax所以mgsinmgcos=0 解得：Vmax 。【类型】型或型将变形为因为根据基本不等式，定和求积知：当且仅当，即时y有最大值vvF【例1-10】 一个面积为的风筝，迎着水平方向速度为的风，浮在空中，为使风筝获得最大的升力，风筝与水平方向的夹角应为多大？【分析与解】 设空气密度为，则在时间内与风筝发生作用的空气质量为设空

11、气分子与风筝的碰撞是弹性的，则由动量定理，反射定律可得由牛顿第三定律可知空气对风筝作用力为风筝获得的升力为由以上各式可得可见当时，升力的最大值为 OE1E+Q+QLE2PL【例1-9】相距为的两个相同的点电荷，带电量均为，试求两点电荷中垂直线上何处场强最大，最大为多大？【解析】如图所示，在两点电荷中垂线OP上取一点P，设P点和电荷连线与两电荷连线的夹角为，由几何关系可知P点到两电荷的距离均为由点电荷场强公式可知每个点电荷在P点的场强为由平行四边形定则可知P点场强为联解以上三式可得BmgvCTLOA可见当时，场强的最大值为【例1-11】一条轻质绳子长度为，一端固定在O点，另一端拴一个质量为的小球

12、，拉起小球使轻绳处于水平，然后无初速释放小球，如图1所示，小球在运动到最低点的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？ 【解析】当小球到达绳子与竖直方向成角的位置时，重力的功率为小球从位置到位置的过程，机械能守恒由以上二式可得可见当时，重力功率有最大值二利用三角形正弦定理求极值三角形正弦定理：在三角形ABC中，各边边长和它所对角的正弦的比值相等。即: ABCCABDE【例2-1】如图6所示，巡逻船从港口A处出发去拦截一艘走私船，走私船正以50kmh速度沿直线BD前进，A与BD航线的垂直距离为6km。巡逻船起航时，走私船所在位置B与A的距离为10km，巡逻船起航后立即做匀速直线运动。求巡

13、逻船能拦截到走私船所需的最小速度值。【解析】设巡逻船在C处遇到走私船，速度为，用时为t。在ABC中，由三角形正弦定理得：，即： ，解得：当，即时，最小。即：kmh三利用均值不等式求极值1.如果a，b为正数，那么有： ，当且仅当a=b时，上式取“=”号。.若+=为一定值，则当=时，函数取最大值且；.若为一定值，则当=时，函数取最小值且。2.如果a，b，c为正数，则有 ，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。.若+c=为一定值，则当=c=时，函数取最大值且；.若为一定值，则当=c=时，函数取最小值且。【例3-1】（2010年重庆理综24题）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有

14、质量为的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离后落地。如图3所示。已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为,重力加速度为。忽略手的运动半径和空气阻力。求绳断时球的速度大小和球落地时的速度大小。绳能承受的最大拉力多大？改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？【解析】设绳段后球飞行时间为t。由平抛运动规律得： 解得：由机械能守恒定律得： 解得：设绳能承受的最大拉力大小为，这也是球受到绳的最大拉力。球做圆周运动的半径为。由牛顿第二定律及圆周运动规律得： 解得： 设

15、绳长尾，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大推力不变。由牛顿第二定律得： 解得：绳断后球做平抛运动，竖直位移为，水平位移为，时间为。由平抛运动规律得： 解得：上式中部分当时取最大值，故有最大值，【例3-2】(2010浙江理综22题）如图4所示，在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10m/s2）。求：ABhLH运动员到达B点的速度与高度h的关系。运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离Smax为多少？若图中H=4m

16、，L=5m，动摩擦因数=0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？【解析】设斜面倾角为，斜面长为。在运动员从A运动到B的过程中，由动能定理得：，即：解得：在平抛运动过程，由平抛运动规律得： 解得：因为H-L-h与h之和一定，故当h=H-L-h时, 有最大值故将已知代入中得：H hxh解得：【例3-3】在一个盛水容器的侧壁上开一个小孔，试问小孔应开在离水面多高处，才能使得从小孔中喷出的水射程最远？【解析】从小孔中喷出的水做平抛运动，设容器中水面离桌面高H，小孔离水面为h，如图由机械能守恒定律易得从小孔射出的水流初速度为：从小孔喷出的水在空中运动时间为：，所以水的水平射程为：，vmgABCO

17、LT因是一定值，所以当，即：时，水平射程s有极大值，其值为：【例3-4】一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？ 【解析】当小球运动到绳与竖直方向成角的C时，重力的功率为：P=mg cos=mgsin小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：解可得：令y=cossin根据基本不等式，定和求积知：当且仅当，y有最大值结论：当时，y及功率P有最大值。E rR1R【例3-5】如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R（R R1+r），当滑动变阻器连入电

18、路的电阻RX多大时，在变阻器上消耗的功率最大？【解析】设变阻器连入电路的为RX（0RXR），由闭合电路欧姆定律有：，则，欲使即四利用一元二次函数求极值【.利用一元二次函数的顶点求极值】一元二次函数。 若0，则当时，函数取最小值且； 若0，则当时，函数取最大值且。【例4-1】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前多长时间两车相距最远？此时距离是多少？【解析】绿灯亮时开始计时，经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为，汽车做匀加速运动，其位移为两车相距为 由以上各式可得这

19、是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故S有最大值。O乙甲vvxy当 有最大值，时 【例4-2】如图所示，甲、乙两车在正交的马路上均以速率运动，某时刻它们到交叉口的距离分别是和米，问它们之间的距离何时最远，最远为多少？【解析】建立图示坐标系，在时刻，甲、乙两车的坐标分别是，此时二者相距因为所以当时两车相距最远为【例4-3】(2010浙江理综22题）如图4所示，在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10m/s2）。求：运动员要达到最大水平运

20、动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离Smax为多少？ABhLH【解析】在平抛运动过程，由平抛运动规律得： 解得：当时，有最大值所以：mv0MOR【例4-4】如图所示。光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M0.99kg的木块，一颗质量为m0.01Kg的子弹，以V0=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大?且最大值为多少? 【解析】子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V1，则：mV0(m+M)V1，所以：V1=设在轨道最高点平抛时物块的速度为V2，由于轨道光滑，故机械能

21、守恒：所以：V2=则平抛后的位移可以表示为：s =V2t =V24。因为a=-10时，当时，y有极小值为(2) 若a0，显然，当满足b2-4ac0，vQPL即182-43S0得：S27m，Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。【例5-3】如图所示，某工厂用水平传送带传送零件，设两轮子圆心P、Q间的距离为L，传送带与零件间的动摩擦因数为，传送带的速度恒定，在P点轻放一质量为m的零件，并使被传送到右边的Q处。设零件运动的后一段与传送带之间无滑动，试求传送带速度为多大时，零件从P点到Q点的时间最短，最短时间为多长？【解析】刚放在传送带上的零件，起初有个靠滑动

22、摩擦力加速的过程，当速度增加到与传送带速度相同时，物体与传送带间无相对运动，摩擦力大小由f=mg突变为零，此后以速度v走完余下距离。由牛顿第二定律、平行四边形定则知加速阶段加速度为，加速时间；加速位移；匀速运动时间为 ，共用时间 由以上各式整理得 有解则必有 由上式得，此时【例5-4】(2008年四川理综24题)如图5所示，一半径为的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为（）、质量为的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为。球心到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为（）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球

23、P相应的速率。重力加速度为。【解析】根据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为。P受到向下的重力、球面对它沿OP方向的支持力和磁场的洛仑兹力。 根据牛顿第二定律：, ,解得：由于是实数，必须满足：0解得：可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为：此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：解得：【例5-4】一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角射入,穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为1.5。设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t1和t2，则光线从0逐渐增大至90的过程中 ( )At1始终大干t2 Bt1始终小于t2 Ct1

24、先大干后小于t2 Dt1先小于后大于t2【错解】高考中某些考生解法如下：设折射角为，玻璃砖的厚度为h，由折射定律n= ，且n= ，在玻璃砖中的时间为t= ，联立解得t2= 。研究这个函数，若对变化的入射角，和不同光的折射率n，设红光的折射率为n1，蓝光的折射率为n2，且n2n11，讨论：当t红2= t蓝2时，有 = ，化简得sin2 = ，由sin21，可得n1时，即当红光的折射率n1=时出现极值，n1时，入射角从0逐渐增大至90的过程中，一定有t1t2 ，故B正确。实际上，当sin2 ，即 45时，t1t2 。【正解】我们从时间的表达式开始，t = = = = ，对红光的折射角1，蓝光的折射

25、角2，则t红 : t蓝= ，由于1 2 ，故在2190，即145时总有t1t2 ，要入射角从0逐渐增大至90的过程中总成立，要求红光的折射率n1= ，由于题干给定n1=1.5，故总有t1t2 ，B正确。六求导的方法求极值如果当x0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tan。如果f（x0) =0, 则在x0处函数有极值+F1F2QQABDLLC【例6】如图所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电量为q，质量为m的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？【解析】由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线上的D点时，由图可知故其加速度为：发现加速度是一个关于的函数，令，（）即CABD所以当时，加速度有最大值为：七利用圆的切割线定理求极值切割线定理：从圆外